Семинар ДООМ Задачи на проценты Занятие 3

Занятия кружка «Математические фантазии». «Задачи на проценты» (7-8 класс)Елисеева Любовь Васильевна id265

Задачи на концентрицию, смеси и сплавы.

В задачах этого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение:

1. Концентрация (доля чистого вещества в смеси);
2. Количество чистого вещества в смеси (или сплаве);
3. Масса смеси (сплава).

Соотношение между этими величинами следующее:

масса смеси х концентрация=количество чистого вещества

Задача 1. Сколько литров воды надо добавить к 20 литрам пятипроцентного раствора соли, чтобы получить четырехпроцентный раствор? Решение. Соль содержится в каждом из растворов. В 20 литрах пятипроцентного раствора соли содержится 20х0,05=1 (ед.)соли. Ее количество не меняется. Доливается только вода. Каково количество воды? Пусть x – количество добавленной воды. Из условия следует, что 4-% концентрацию раствора характеризует уравнение 1/(20+x)=0,04. Решим это уравнение. 0,04∙(20+x)=1 0,8+0,04x=1 80+4x=100 4x=20 x=5 Ответ: 5 литров.

Задача 2. Сколько граммов воды нужно добавить к 200 г 70% раствора уксусной кислоты, чтобы он стал 40-процентным? Решение. В 200г. 70-процентного раствора уксусной кислоты содержится 200∙0,7=140 (г) самой кислоты. Чтобы эта кислота составляла 40% раствора, его масса x должна удовлетворять условию x:140=100:40 x=140∙100:40 x=350 (г) Из этих желаемых 350 г уже имеется 200 г раствора, значит, следует добавить еще 150 г. воды (350-200=150). Ответ: 150 г.

Задача 3. Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 42% и 65% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив, получить сплав, содержащий 50% меди? Решение. Концентрация 0,42 масса сплава x количество меди 0,42x Концентрация 0,65 масса сплава н количество меди 0,65y Концентрация 0,65 масса сплава x+y количество меди 0,5(x+y) 0,42x+0,65y=0,5(x+y) В уровнении два неизвестных, а в задаче надо найти их отношение x/y. 42x+65y=50(x+y) 42x+65y=50x+50y 65y-50y=50x-42x 15y=8x x:y=15:8 Ответ: Нужно взять первый и второй сплавы в отношении 15 к 8.

Задача 4. Имеется два куска сплавов меди и серебра: первый массой 2 кг содержит 30% меди, второй массой 3 кг содержит 40% меди. Сколько килограммов второго сплава надо сплавить со всем первым куском, чтобы получить новый сплав, содержащий p% меди? Решение. В первом куске содержится 2:100∙30=0,6 кг меди. Пусть взяли x кг второго сплава. Тогда при этом взяли x:100∙40=0,4x кг меди. В новом сплаве будет 0,6+0,4x кг меди. Вес нового сплава 2+ч кг. В новом сплаве меди (0,6+0,4x)/(2+x)∙100%, что равно p%.

Решим уравнение.  Получаем 2p+px=60+40x 

2p-60=x(40-p) x=2(p-30)/(40-p) Решение имеет смысл не для всех p, а только тогда, когда x>=0 и x<=3. Составим соответствующие неравенства и учтем, что p<=100%. Тогда решим каждое неравенство сначала по отдельности и затем учтем оба решения. Получается, что p>=30 и p<=36. Только в этом случае значение x определяется найденной нами формулой..