|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | '''Автор:''' [[Участник:Шувалова Юлия Григорьевна|Шувалова Юлия Григорьевна]]
| + | Попа |
| − | | + | |
| − | '''Тема урока:''' Задачи на построение циркулем и линейкой
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Класс:''' 7
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Тип урока:''' урок проверки и коррекции знаний и умений
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Методы и приёмы ведения урока:'''
| + | |
| − | * фронтальная работа с классом;
| + | |
| − | * закрепление: работа учащихся в группах.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Цели урока:'''
| + | |
| − | | + | |
| − | '''''Обучающая:''''' проверка знания учащимися фактического материала по теме «Задачи на построение циркулем и линейкой»; умений учащихся самостоятельно применять знания в измененных нестандартных условиях.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''''Развивающая:''''' развивать способность учащихся переносить ранее изученные знания и умения в новую ситуацию.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''''Воспитательная:''''' воспитывать ответственное отношение к учебе, воли и настойчивости для достижения конечных результатов.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Оборудование:'''
| + | |
| − | * раздаточный материал (карточки с задачами).
| + | |
| − | * цветные карточки: по две на каждого ученика.
| + | |
| − | * ватман с названиями «В начале урока», «В конце урока» с конвертами.
| + | |
| − | [[Изображение:АВ1.JPG]]
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Задачи урока:'''
| + | |
| − | # обобщить знания учащихся по теме «Задачи на построение циркулем и линейкой»
| + | |
| − | # повторить простейшие построения, которые являются стандартными построениями циркулем и линейкой; основные этапы, из которых состоит осмысленное решение задач на построение и смысл каждого этапа; основной метод решения задач на построение.
| + | |
| − | # проверить знания учащихся по теме «Задачи на построение циркулем и линейкой».
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Ход урока'''
| + | |
| − | | + | |
| − | '''I. Организационный момент'''
| + | |
| − | | + | |
| − | '''II. Постановка цели и задач урока.'''
| + | |
| − | | + | |
| − | '''''Ребята должны'''''
| + | |
| − | | + | |
| − | ''знать:'' стандартные построения циркулем и линейкой, основные этапы решения задач на построение и их смысл.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''уметь:'' применять знания и умения по теме «Построение циркулем и линейкой» при решении задач.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''III. Вводная часть'''
| + | |
| − | | + | |
| − | Учитель предлагает отметить свое настроение в начале урока. Для этого ребятам предлагается положить одну карточку в соответствующий конверт под строкой «В начале урока».
| + | |
| − | | + | |
| − | '''IV. Актуализация опорных знаний'''
| + | |
| − | | + | |
| − | Учитель предлагает учащимся устно ответить на предложенные вопросы, которые заранее записаны на интерактивной доске.
| + | |
| − | | + | |
| − | 1. Какие простейшие построения являются стандартными построениями циркулем и линейкой?
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Ответ:'' построить отрезок, равный данному отрезку; построить середину отрезка; построить перпендикуляр к прямой; построить серединный перпендикуляр; построить угол, равный данному углу; построить биссектрису угла.
| + | |
| − | | + | |
| − | 2. Какие построения мы добавляем к стандартным построениям циркулем и линейкой?
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Ответ:'' построить треугольник (по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам); построить прямоугольный треугольник (по гипотенузе и катету, по гипотенузе и острому углу); построить прямую, проходящую через данную точку параллельно данной прямой; построение отрезков суммы и разности отрезков, отрезка в n раз больше данного; построение углов суммы и разности двух углов; построение угла в n раз больше данного угла; деление данного угла на 4; 8; 16;… равных углов.
| + | |
| − | | + | |
| − | 3. Из каких основных этапов состоит осмысленное решение задач на построение?
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Ответ:'' осмысленное решение задач на построение состоит из 4 основных этапов: анализ, построение, доказательство (синтез), исследование.
| + | |
| − | | + | |
| − | 4. В чем смысл каждого этапа решения задач на построение?
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Ответ:''
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Анализ.''' Составляется план решения. Нужно найти такую зависимость между данными и искомыми величинами, которая позволила бы определить положение искомой точки (отрезка или угла), на нахождение которых нацелено решение задачи.
| + | |
| − |
| + | |
| − | '''Построение''' – механическое выполнение тех приемов, которые были выведены из плана решения задачи, т.е. анализа. Любая задача на построение разбивается на конечное число шагов (простейших задач на построение).
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Доказательство.''' Когда искомая фигура построена, необходимо доказать, что она удовлетворяет всем требованиям задачи. При этом ход рассуждений будет обратный тому, который применялся при анализе.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Исследование''' имеет целью выяснить, всегда ли задача разрешима, сколько решений допускается (одно или несколько). Необходимо рассмотреть всевозможные частные случаи, причем нужно выяснить, меняется ли ход решения в них и как именно.
| + | |
| − | | + | |
| − | 5. Как называется и в чем заключается метод решения задач на построение?
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Ответ:'' Для выполнения основных построений с помощью циркуля и линейки используется метод решения, при котором искомую точку строят как точку пересечения множеств (геометрических мест), определяемых некоторыми условиями.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''V. Повторение и закрепление изученного материала'''
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Задача 1:''' Дан угол и точка внутри него. Постройте отрезок с концами на сторонах угла и серединой в этой точке.
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Изображение:АВ2.JPG]]
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Анализ:'' Дан угол ЕАР и точка М внутри угла. Пусть ВС искомый отрезок, удовлетворяющий условиям задачи: ВМ=МС, В на АЕ, С на АР. Проведем АМ, откладываем на его продолжении отрезок МК=АМ. Треугольники АМВ = КМС (по I признаку). У них: углы ВМА= КМС (вертикальные), АМ=МК, ВМ=МС. Следовательно, углы ВАМ= МКС. Значит, построение ВС сводится к построению точки С на АР, т.е. к построению АК=2АМ и углов МКС= ВАМ.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Построение:''
| + | |
| − | | + | |
| − | 1) Проводим луч АМ, откладываем на его продолжении МК=АМ.
| + | |
| − |
| + | |
| − | 2) Строим углы МКС = ЕАК. Получаем С на стороне АР угла ЕАР.
| + | |
| − |
| + | |
| − | 3) Проводим луч СМ, получаем В на луче АЕ.
| + | |
| − | | + | |
| − | Отрезок ВС – искомый.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Доказательство:'' При построении получаем треугольники АМВ = КМС (по II признаку). У них: углы ВМА= КМС (вертикальные), АМ=МК (по построению), углы ВАМ= МКС (по построению). Следовательно, ВМ=МС. Получаем ВС – искомый отрезок.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Исследование:'' Построение выполнимо всегда, т.к. сводится к построению отрезка, равного данному, и угла, равного данному.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Задача 2.''' Дана прямая, на которой лежит биссектриса угла A треугольника ABC. По разные стороны от этой прямой даны две точки – основания: а) медиан; б) высот, проведенных из вершин B и C. Восстановите треугольник ABC.
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Изображение:АВ3.JPG]]
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Анализ:'' Пусть треугольник АВС (луч АО – биссектриса А, медианы СN, ВМ) – искомый. Проведем ММ1||АО и NN1||АО. Треугольники АКМ= АКМ1 (треугольники АРN= АРN1) (по II признаку). У них: 1) АК (АР) – общая, 2) углы АКМ= АКМ1=90 градусов (углы АРN= АРN1=90 градусов), 3) углы КАМ= КАМ1 – АО биссектриса А. Получаем, что точки М, М1 лежат на АС, а N, N1 лежат на АВ и находятся на одном расстоянии от АО. Аналогично, если точки N, М – основания высот.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Построение:''
| + | |
| − | | + | |
| − | а)
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Изображение:АВ4.JPG]]
| + | |
| − | | + | |
| − | 1) Строим МК перперндикулярно АО и NР перпендикулярно АО. Откладываем КМ1=КМ и РN1=РN. Проводим прямые МN1 и NМ1, получаем А на пересечении АО, МN1 и NМ1.
| + | |
| − | | + | |
| − | 2) Откладываем МС=АМ и NВ=АN. Проводим ВС.
| + | |
| − | | + | |
| − | Треугольник АВС построен.
| + | |
| − | | + | |
| − | б)
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Изображение:АВ5.JPG]]
| + | |
| − | | + | |
| − | 1) Строим МК перперндикулярно АО и NР перперндикулярно АО. Откладываем КМ1=КМ и РN1=РN. Проводим прямые МN1 и NМ1, получаем А на пересечении АО, МN1 и NМ1.
| + | |
| − | | + | |
| − | 2) Строим МВ перперндикулярно АМ (В – точка пересечения МВ и АВ), NС перперндикулярно NА (С – точка пересечения NВ и АМ).
| + | |
| − |
| + | |
| − | Треугольник АВС построен.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Доказательство:'' В обоих случаях мы получаем: точки М и М1 лежат на АС, N и N1 лежат на АВ. Треугольники АКМ= АКМ1 (по I признаку). У них: 1) АК – общая, 2) углы АКМ= АКМ1=90 градусов, 3) КМ= КМ1 – по построению. Углы КАМ= КАМ1, т.к. АО биссектриса А. а) точки N, М – основания медиан, т.к. по построению МС=АМ и NВ=АN. б) точки N, М – основания высот, т.к. по построению МВ перпендикулярно АМ, NС перпендикулярно NА.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Исследование:'' задача не имеет решения, если точки N, М находятся на одном расстоянии от АО. При этом МN1||AO, NМ1||AO МN1||NМ1 точку А построить невозможно.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Задача 3:''' Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с и сумме катетов .
| + | |
| − | [[Изображение:АВ6.JPG]]
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Анализ:'' Пусть треугольник АВС (угол А=90 градусов) построен. На луче ВА отложим отрезок AD = AC. Получим треугольник АDС – равнобедренный, в котором углы С и D равны половине угла А, т.е. 45 градусов (свойство внешнего угла треугольника). Задача сводится к построению треугольника ВСD по двум сторонам BD = b+а, ВС = с и угол D=45 градусов. Чтобы получить точку А, достаточно провести СА перпендикулярно DВ.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Построение:''
| + | |
| − | | + | |
| − | 1) Строим треугольник ВСD: BD = b+а, ВС = с и угол D=45 градусов.
| + | |
| − | | + | |
| − | 2) Проводим СА перпендикулирно DВ.
| + | |
| − | | + | |
| − | Треугольник АВС – искомый.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Доказательство:'' При построении получаем треугольника АDС (угол А=90 градусов – по построению)угол CDA=45 градусов следовательно угол АСD= 45 градусов следовательно АС=DC. Т.к. ВС = с , BD = b+а, то АВ+АС= BD = b+а. Значит, треугольник АВС – искомый.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Исследование:'' Построение выполнимо если b+а>с.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Задача 4.''' Постройте треугольник по данной стороне, углу, к ней прилежащему, суммы двух других сторон.
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Изображение:АВ7.JPG]]
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Анализ:'' Пусть треугольник АВС – искомый. На продолжении АВ отложим AD=CA. Соединим C и D. В треугольнике CBD имеем: BD = b+c, BC = a, угол СBD = углу B. Треугольник CBD можно построить по двум сторонам и углу между ними. Треугольник CAD – равнобедренный: АН – высота, медиана. Проведя серединный перпендикуляр АН к CD, определяем вершину А.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Построение:''
| + | |
| − | | + | |
| − | 1) Строим треугольник CBD: BD = b+c, BC = a, угол СBD = углу B.
| + | |
| − | | + | |
| − | 2) Проводим серединный перпендикуляр АН к CD и получаем вершину А.
| + | |
| − |
| + | |
| − | Треугольник АВС – искомый.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Доказательство:'' При построении получаем треугольник CBD: BD = b+c, BC = a, угол СBD = углу B. Также треугольник CАD: СН=HD, АН перпендикулярно CD следовательно треугольники АНС = АHD (по катетам)следовательно АС=AD. Т.к. BD = b+c, то ВА+АС= BD = b+c. Треугольник АВС – искомый.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Исследование:'' Построение выполнимо если b+а>с.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Задача 5.''' Постройте треугольник по двум углам и периметру.
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Изображение:АВ8.JPG]]
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Анализ:'' Пусть треугольник АВС – искомый. На продолжении стороны АВ в обоих направлениях отложим отрезки DA = АС и ВЕ = СВ и соединим D с С и Е с С, получим треугольник DCE, в котором DE = Р. Треугольники DAC и ВЕС – равнобедренные, и АК перпендикулярно DC, где DK = KC и BF перпендикулярно FE, что позволит определить вершины А и В. Угол D= половине угла А, угол Е= половине угла В (свойство внешнего угла треугольника). Задача сводится к построению треугольника DCE по стороне DE=Р и углам D и E.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Построение:''
| + | |
| − | | + | |
| − | 1) Строим угол D = половине угла А, угол Е = половине угла В (биссектрисы углов).
| + | |
| − | | + | |
| − | 2) Строим треугольник DCE: DE=Р, угол D, угол E.
| + | |
| − | | + | |
| − | 3) Проводим серединные перпендикуляры АК к DC и BF к FE, получаем вершины А и В.
| + | |
| − | | + | |
| − | Треугольник АВС – искомый.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Доказательство: ''
| + | |
| − | | + | |
| − | 1) При построении получаем:
| + | |
| − | | + | |
| − | 1. Треугольник CАD: СК=КD, АК перпендикулярно CD следовательно треугольники АКС = АКD (по катетам) следовательно AD=CA
| + | |
| − | | + | |
| − | 2. Треугольник CВЕ: СЕ=FE, BF перпендикулярно CE следовательно треугольники CFB = BFE (по катетам) следовательно CF=FE
| + | |
| − | | + | |
| − | 2) DE = DA+AB+BE = CA+AB+BC = P
| + | |
| − | | + | |
| − | 3) Угол BAC= удвоенному углу D, угол CBA = удвоенному углу E (свойство внешнего угла треугольника) следовательно углы В и А – искомые.
| + | |
| − | | + | |
| − | Значит, треугольник АВС – искомый.
| + | |
| − | | + | |
| − | ''Исследование:'' Построение выполнимо если угол В + угол А < 180 градусов.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''IV. Физкультминутка''' (в середине урока)
| + | |
| − | | + | |
| − | Учитель проводит с учащимися упражнения для расслабления глаз.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''VI. Домашняя работа'''
| + | |
| − | | + | |
| − | Дома: № 356, №354
| + | |
| − | | + | |
| − | '''VII. Итог урока'''
| + | |
| − | | + | |
| − | Учитель подводит итог урока:
| + | |
| − | * Что нового узнали на уроке?
| + | |
| − | * Какая задача удивила?
| + | |
| − | | + | |
| − | Учитель предлагает отметить свое настроение в конце урока. Для этого ребятам предлагается положить вторую карточку в соответствующий конверт под строкой «В конце урока».
| + | |
| − | | + | |
| − | Учитель объявляет оценки за урок.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''Список используемой литературы'''
| + | |
| − | # Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. М.: Просвещение, 2005. - 335 с.
| + | |
| − | # Далингер В.А. Планиметрические задачи на построение. Омск: Изд-во ОГПИ, 1999. - 78 с.
| + | |
| − | # Ильина Н.И. Геометрические построения на плоскости. М.: Школа - пресс, 1997. - 172 с.
| + | |
| − | # Коренева В.Е. Решение задач на построение методом спрямления. Математика в школе.1995г. №5
| + | |
| − | # Клименченко С.В., Цикунова Т.Д. Задачи на построение треугольников по некоторым данным точкам. Математика в школе. 1990г. №1
| + | |
| − | # Белошистая А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии. Математика в школе. 2002г. №9
| + | |
| − | # [http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/geometry/alexandrov.htm]
| + | |
| − | # [http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=books.sms700.postr&solution=1]
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Категория: Проект ДООМ 2009-2010]]
| + | |
