Участник:Л.Ф. Молоткова

Материал из ТолВИКИ
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 11: Строка 11:
 
по алгебре и началам анализа для кадет I курса
 
по алгебре и началам анализа для кадет I курса
 
<br>
 
<br>
−
<center>'''Тема:''' Неравеннства
+
'''Тема:''' Неравеннства
 
<br>
 
<br>
 
(Подготовка к ГИА)</center>
 
(Подготовка к ГИА)</center>
Строка 21: Строка 21:
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 
<br>
−
'''Учебные цели:''' Закрепить и углубить знания основных УЭ по теме.
+
'''Учебные цели:''' Повторить и закрепить основные УЭ по теме.
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 
<br>
 
'''Учебные вопросы:'''
 
'''Учебные вопросы:'''
 
<br>
 
<br>
−
# Линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.
+
# Использование свойств числовых неравенств.
−
# Линейные неравенства и неравенства, сводящиеся к ним.
+
# Линейные неравенства.
−
# Некоторые рациональные уравнения и неравенства, сводящиеся к ним.
+
# Квадратные неравенства.
 +
# Область определения выражения.
 +
# Метод интервалов.
 +
# Неравенства с параметром.
 
<br>
 
<br>
 +
Решение большинства неравенств сводится к решению соответствующих уравнений. Рассмотрим решение линейных и квадратных неравенств, а также специальный метод решения неравенств – метод интервалов.
 
<br>
 
<br>
−
==Предисловие==
+
==Теоретические сведения==
 
<br>
 
<br>
−
На вступительных конкурсных экзаменах по математике а вузы часто предлагаются для решения уравнения или неравенства с параметрами.
+
'''Определение.''' Всякое значение неизвестного, при котором данное неравенство с неизвестным обращается в верное числовое неравенство, называется '''решением неравенства. Решить неравенство''' – значит найти все его решения или доказать, что их нет.
−
Большинство абитуриентов испытывают затруднения при решении таких задач, ввиду отсутствия у них теоретических и практических навыков их решения. Основной целью данного пособия является привитие и закрепление таких навыков. В методическом пособии изложены основные методы решения уравнений и неравенств с параметрами, входящих во все разделы школьного курса алгебры и начал анализа. По каждой рассматриваемой теме сначала излагается краткая теория и описываются основные методы решения соответствующих задач. Затем разбираются примеры решения наиболее часто предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы. Наконец, приводятся задачи для самостоятельного решения.
+
 
<br>
 
<br>
 +
'''Определение.''' Неравенства вида [[Изображение:mach5.jpg|20 px]] [[Изображение:mach6.jpg|20 px]], где a и b – некоторые действительные числа, неравные нулю, называются неравенствами первой степени, или линейными неравенствами.
 
<br>
 
<br>
−
 
+
'''Определение.''' Неравенства вида [[Изображение:mach7.jpg|20 px]] [[Изображение:mach8.jpg|20 px]], где [[Изображение:mach9.jpg|20 px]], называют неравенствами второй степени с одним неизвестным, или '''квадратными неравенствами.'''
−
==Линейные уравнения==
+
−
Часть 1. Линейные уроавнения
+
 
<br>
 
<br>
−
Уравнение вида
+
<center>'''Свойства числовых неравенств'''<br>
 +
(''a, b, c'' – действительные числа)</center>
 
<br>
 
<br>
−
<center>'''А х = В''', (1)</center>
+
Если ''a>b'' и ''b>c'', то ''a>c''. (1)
 +
<br>                                                  
 +
Если ''a>b'', то и ''a+ c > b+ c''. (2)
 +
<br>                                             
 +
Если ''a>b'' и ''c'' – положительное число (''c > 0''), то ''aс>bc'' (3)
 
<br>
 
<br>
−
где А, В – выражения, зависящие от параметров,
+
Если ''a>b'' и ''c'' – отрицательное число (''c < 0''), то ''aс<bc'' (4)
 
<br>
 
<br>
−
х – неизвестное, называется '''линейным уравнением с параметрами'''.
 
−
<br>
 
−
'''Решить уравнение с параметрами''' – значит для всех значений параметров найти множество корней заданного уравнения.
 
−
<br>
 
−
Линейное уравнение (1) исследуется по следующей схеме:
 
−
<br>
 
−
1) Если А = 0, то имеем уравнение 0*х = В. Тогда, если, кроме того, В[[Изображение:mach1.jpg|20 px]]  0, то уравнение имеет пустое множество решений (х [[Изображение:mach2.jpg|20 px]] [[Изображение:mach3.jpg|20 px]]), а если В = 0, то уравнение имеет вид 0*х = 0 и удовлетворяется при любом х, т.е. решением уравнения будет множество всех действительных чисел (х [[Изображение:mach2.jpg|20 px]] R).
 
−
<br>
 
−
2) Если А [[Изображение:mach1.jpg|20 px]] 0, то уравнение имеет единственное решение [[Изображение:mach4.jpg|60 px]] .
 
−
<br>
 
−
''Замечание.'' Если линейное уравнение или уравнение, сводящееся к линейному, не представлено в виде (1), то сначала его нужно привести к виду (1) (стандартному виду) и только после этого проводить исследование.
 
−
Если для каких-нибудь значений параметров уравнение не имеет смысла, то для этих значений параметров множество решений уравнения пусто. Кроме этого, уравнение может иметь пустое множество решений и при других значениях параметров.
 
−
<br>
 
−
[http://www.do.tgl.ru/files/metod/molotkova/urav/z1.pdf Скачать задачи и решения]
 
−
==Линейные неравенства и неравенства, сводящиеся к ним==
 
−
Часть 2. Линейные неравенства и неравенства, сводящиеся к ним
 
−
<br>
 
−
Неравенства А х > В, А х < В, А х  В, А х  В,
 
−
<br>
 
−
где А, В – выражения, зависящие от параметров,
 
−
<br>
 
−
х – неизвестное, называются линейными неравенства-ми с параметрами.
 
−
<br>
 
−
Решить неравенство с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество решений заданного неравенства.
 
−
Неравенство вида А х > В исследуется по следующей схеме:
 
−
<br>
 
−
1) Если А > 0, то  .
 
−
<br>
 
−
2) Если А < 0, то .
 
−
<br>
 
−
3) Если А = 0, то неравенство имеет вид 0х >B. При В0 неравенство имеет пустое множество решений; при В<0 решением неравенства будет множество всех действительных чисел R.
 
−
<br>
 
−
Остальные неравенства исследуются аналогично.
 
−
<br>
 
−
[http://www.do.tgl.ru/files/metod/molotkova/urav/z2.pdf Скачать задачи и решения]
 
−
==Некоторые рациональные уравнения и неравенства, сводящиеся к линейным==
 
−
 
−
Часть 3. Некоторые рациональные уравнения и неравенства, сводящиеся к линейным
 
−
<br>
 
−
[http://www.do.tgl.ru/files/metod/molotkova/urav/z3.pdf Скачать задачи и решения]
 
−
 
−
==Задачи, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям==
 
−
<br>
 
−
Часть 4. Задачи, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям
 
−
<br>
 
−
[http://www.do.tgl.ru/files/metod/molotkova/urav/z4.pdf Скачать задачи и решения]
 
−
 
 
<br>
 
<br>
−
[http://www.do.tgl.ru/files/metod/molotkova/urav/z.pdf  Читать полную версию]
+
[http://www.do.tgl.ru/files/metod/molotkova/nerav/z.pdf  Читать полную версию]

Версия 14:38, 31 марта 2010

Неравенства
учебное пособие по алгебре и началам анализа для кадет I курса (подготовка к ГИА)

ВОЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ КАДЕТСКИЙ КОРПУС


Дисциплина:
«Математика, основы информатики и вычислительной техники»



УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

по алгебре и началам анализа для кадет I курса
Тема: Неравеннства

(Подготовка к ГИА)

Преподаватель: Молоткова Л. Ф.

г. Тольятти 2009 г.


Тема: Неравенства (подготовка к ГИА).

Учебные цели: Повторить и закрепить основные УЭ по теме.

Учебные вопросы:

  1. Использование свойств числовых неравенств.
  2. Линейные неравенства.
  3. Квадратные неравенства.
  4. Область определения выражения.
  5. Метод интервалов.
  6. Неравенства с параметром.


Решение большинства неравенств сводится к решению соответствующих уравнений. Рассмотрим решение линейных и квадратных неравенств, а также специальный метод решения неравенств – метод интервалов.

Теоретические сведения


Определение. Всякое значение неизвестного, при котором данное неравенство с неизвестным обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.
Определение. Неравенства вида Mach5.jpg Mach6.jpg, где a и b – некоторые действительные числа, неравные нулю, называются неравенствами первой степени, или линейными неравенствами.
Определение. Неравенства вида Mach7.jpg Mach8.jpg, где Mach9.jpg, называют неравенствами второй степени с одним неизвестным, или квадратными неравенствами.

Свойства числовых неравенств
(a, b, c – действительные числа)


Если a>b и b>c, то a>c. (1)
Если a>b, то и a+ c > b+ c. (2)
Если a>b и c – положительное число (c > 0), то aс>bc (3)
Если a>b и c – отрицательное число (c < 0), то aс<bc (4)

Читать полную версию

Источник — «http://wiki.tgl.net.ru/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:%D0%9B.%D0%A4._%D0%9C%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0&oldid=148906»
наши друзья
http://аудиохрестоматия.рф/