Копилка знаменитых задач продолжение 4
Посмотреть страницу Копилка знаменитых задач.
Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице Копилка знаменитых задач продолжение 5
Содержание |
Задачи участников ДООМ
Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224
Задача № 30. Крестьяне и картофель
Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.
Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.
Решение.
8*3/2=12- остаток после второго,
12*3/2=18- остаток после первого,
18*3/2=27- первоначальное число.
Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.
--"Жареные семечки" 20:40, 26 октября 2008 (UZT)
--"Пифагор ID 220" 15:35, 27 октября 2008 (UZT)
Задача 2 В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу: Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря: -Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: -Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
Решение: За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+2²+23+…+2(24-3) копеек. Сумма эта равна (2²∙2-1/4): (2-1) =2²²-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
Задача №3 Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: (10²+11²2+12²+13²+14²):365
Решение: 10²+11²+12²=13²+14². Так как 100+121+144=365,то на картине выражение равно 2.
Задача 4. (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера): Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?
Решение: У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х) За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х²+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение: Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k²=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60.
Задача 5. Стая обезьян (индусская задача) : На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась; Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали. Вместе сколько, ты мне скажешь. Обезьян там было в роще?
Решение: Общая численность стаи х, тогда (х:8)²+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче.
Задача 6. Продажа кур.
Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня?
Решение: Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n. Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35; вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35; третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим: (m- n) x+10n=35 (m- n) y +16n=35 (m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно: (m- n) (z - x) +16n=0 (m- n) (z - y) +10n=0 или
(m- n) (x -z ) =16 n (m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5 или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда x = z+8 t y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям (m- n) x+10 n=35 (m- n) y +16 n=35 (m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.
Задача 7. (старинная народная задача). Доплата: Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?
Решение: Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6. В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)², равен 100 a²+2 a b+ b²= (10 a²+2 a b)10+ b². Десятков в этом числе (10 a²+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b². Но 10 a²+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)², будет нечетным, если в числе b² окажется нечетное число десятков. b²- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a²+2 a b+ b² может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6. Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям.
Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»). Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца.
Решение:Купец имел некоторую сумму денег. х В первый год он истратил 100 фунтов. х-100 К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3 В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3 и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9 В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9 После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27 капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х Х=1480 рублей
Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта). Условие задачи Решение Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6 Двенадцатая часть протекла еще жизни- покрылся пухом его подбородок. Х:12 Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7 Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5 Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом. Х:2 И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4 Скажи, сколько лет жизни достигнув, Смерть воспринял Диофант? Х= 84 Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет.
Задача 10. (Лошадь и мул). «Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?»
Решение: Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными: У+1=2(х-1) У-1=х+1 Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул.
Задача 11. (Птицы у реки). У одного арабского математика XI века находим следующую задачу. На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Решение: Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ²= 30²+х², АС²= 20²+ (50-х)². Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому 30²+х²= 20²+ (50-х)². Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.
Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".
1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?
Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.
Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.
2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?
Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.
Составим и решим уравнение:
х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120, х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120, 3х + 30 = 120, 3х = 90, Х = 30.
Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.
Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.
3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?
Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.
Ответ: В стаде было 360 быков.
4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).
Решение:
1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.
2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.
3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.
4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.
5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?
Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).
Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).
Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).
Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.
Ответ: Путники встретятся на 12 день. --Решарики ID 284 17:13, 27 октября 2008 (UZT)
Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212
Задача Л.Н. Толстого. Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцатипятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей. Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку
Решение. Хозяин из лавки отдал шапку стоимостью 10 руб, сдачу 15 руб и еще 25 рублей купцу соседу. Т.е. потерял 10+15+25=50 руб.
--Великолепная восьмерка ID 212 17:23, 27 октября 2008 (UZT)
Задача Пауссона.
Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь.
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт.
Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт?
Решение 1) оставить 3 пинты вина в среднем. 2) перелить эти 3 пинты в пустой малый бидон. 3) из полного бидона отлить 2 пинты в малый
--Великолепная восьмерка ID 212 17:23, 27 октября 2008 (UZT)
Задача Пифагора
Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил:
— До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала.
В какое время суток был задан вопрос?
Решение
х+х+х=24( х часть суток, которая уже прошла; 24 часов всего в сутках) , т.е. х= 8. Вопрос был задан утром в 8 часов
--Великолепная восьмерка ID 212 17:23, 27 октября 2008 (UZT)
Старинная задача.
Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было».
Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни?
Решение
Яиц в корзине может быть больше 7 и их число кратно 7. но не делятся на 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 49=7*7, то при делении на пять в остатке получим 4, а не 1, как в условии задачи. Следующие кратные7: 7*8, 7*9, и т.д до 7*10 мы взять не можем, т.к получим числа кратные 2, 3, 4, 5, 6. Если взять 77= 7*11, то при делении на 5 получим остаток 2. 7*12 кратно 6. Проверим 7*13=91, это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ : в корзине было 91 яйцо.
Задача Ньютона о быках.
Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.
«Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и
24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».
РешениеВведем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение
недели прирастает травы 3 1/3у, а в течение 4 недель 3 1/3у* 4 = 40/3у того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в (3 1/3 + 40/3 у) гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади (3 1/3 + 40/3 у):48 = (10+40у)/144 гек¬таров. Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели из данных для второго луга: недельный прирост на 1 га— у, 9-недельный прирост на 1 га— 9у, 9-недельный прирост на 10 га- 90у. Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна 10+90у. Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели,— (10+90у)/(9*21)=(10+90у)/189 гектаров. Обе нормы прокормления должны быть оди¬наковы: (10+40у)/144=(10+90у)/189 Решив это уравнение, находим у = 1/12 Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели: (10+40У)/144=5/54 гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем: (24+24*18*1/12)/(18*х)=5/54 откуда х =36. Третий луг может прокормить в тече¬ние 18 недель 36 быков.
--Великолепная восьмерка ID 212 17:23, 27 октября 2008 (UZT)
Задача Старинная восточная притча. «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
—О мудрейший! — сказал старший брат.
—Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
Нет ничего проще, — ответил им мудрец.»
Что же посоветовал мудрец сыновьям.
Решение
Возьмите моего верблюда, - предложил мудрец. -Тогда их у вас будет 20. И вы сможете легко их поделить.
Таким образом, старший брат получил 10 верблюдов, средний 5, а младший 4 верблюда. При этом один верблюд (10 + 4 + 5 = 19) остался «лишним». Братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
-О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд лишний.
-Не лишний, - ответил мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.
--Великолепная восьмерка ID 212 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
Задача, приписываемая Л. Эйлеру Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.). Определить число сыновей и размер завещанного сбережения. РешениеТак как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1 000 р. меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8 000 р. меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, еще восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 р. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1 000 р., а остальные 7 000 р. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 1 7000*7 = 49000р. О т в е т: 7 сыновей; завещано 49 000 р. --Великолепная восьмерка ID 212 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
Задача Кант и часы. Один из крупнейших немецких философов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет. Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходимо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поставить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Глянув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращался по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размеренным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов. Откуда Кант мог знать точное время? Решение Кант определил время следующим образом. 1. Выходя из дому, он точно заметил время и сделал это вторично сразу же по возвращении. Таким образом, он легко мог высчитать, сколько времени он находился вне дома (А часов). 2. Входя к Шмидту в дом, Кант также заметил время, и при выходе сделал это вторично, следовательно, он мог высчитать, сколько времени он оставался в доме Шмидта (В часов). 3. Разница (А-В), разделенная на 2, - это время, которое Кант затратил на всю дорогу, чтобы вернуться домой, а зная точно, во сколько он вышел от Шмидта, математик без труда определил время
--Великолепная восьмерка ID 212 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача Роскошно липа расцвела. Под ней червяк завелся малый, Да вверх пополз во всю он мочь -Четыре локтя делал в ночь, Но днем сослепу полз обратно Он на два локтя аккуратно. Трудился наш червяк отважный, И вот итог работы важной, Награда девяти ночей: Он на верхушке липы сей. Теперь, мой друг, поведай ты, Какой та липа высоты. Решение Первую ночь червяк поднялся на высоту в четыре локтя, во вторую достиг отметки в шесть локтей (на два локтя днем сполз, на четыре ночью поднялся), т. е. со второй ночи он поднимался всякий раз на два локтя и, таким образом, за девять ночей оказался на высоте 4 + 2 • 8 = 20 локтей. О т в е т: 20 локтей.
--Великолепная восьмерка ID 212 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
Дэдвудский экспресс Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор. Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди! Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого. Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут. Каковы размеры двух ящиков?
--Великолепная восьмерка ID 212 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
Сватовство сиамского короля
Принцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей». Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?
--Великолепная восьмерка ID 212 17:29, 27 октября 2008 (UZT)
ID_278
- Задача Герона Александрийского. Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.
Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.
- Бхаскара II.Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.
Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.
Участник:Шоу"модель" ID_278--Шоу "модель" 20:02, 27 октября 2008 (UZT)
Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224
Задача №31. Задача Ньютона
Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?
Решение.
Скорость А: 7/2 км/ч,
скорость В: 8/3 км/ч, скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)
за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км. Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)
Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.
Задача №32 Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?
Решение.
Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.
Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.
Задача №33.
Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:
«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»
По-видимому, смысл задачи следующий:
«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»
Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.
Задача №34.
В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:
«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»
Решение как в задаче №33
Ответ: 19607.
Задача №35.
В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.
Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):
В Сент-Айвз как-то я шагал
И семь женщин повстречал,
И у каждой семь мешков,
А в мешках по семь котов,
У котов по семь котят.
Сколько всех пройти хотят
В Сент-Айвз: женщин и мешков,
И котяток, и котов?
Решение как в задаче №33
Ответ: 19607.
Задача №36.
Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:
Шли семь старцев.
У каждого старца по семи костылей,
На каждом костыле по семи сучков,
На каждом сучке по семи кошелей,
В каждом кошеле по семи пирогов,
В каждом пироге по семи воробьев,
Сколько всего?
Решение как в задаче №33
Ответ: 19607.
--"Жареные семечки" 20:34, 27 октября 2008 (UZT)
--Гимназисты 11:30, 28 октября 2008 (UZT) Старинная задача Л.Ф. Магницкого
Условие: Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?
Решение:
Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.
Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:
1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади
Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.
Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.
--Гимназисты 11:30, 28 октября 2008 (UZT)
Старинная задача среднеазиатского ученого Бируни
Условие: Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов в два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца?
Решение:
Найдем, сколько дирхемов дохода приносят 10 дирхемов за один месяц:
5 : 2 = 2,5 (дирх.)
Тогда один дирхем за один месяц приносит доход:
2,5 : 10 = 0,25 (дирх.)
Найдем, какой доход приносят 8 дирхемов за один месяц:
8 : 0,25 = 2 (дирх.)
Тогда за три месяца 8 дирхемов приносят доход:
2 * 3 = 6 (дирх.)
Ответ: 8 дирхемов приносят доход 6 дирхемов за 3 месяца. --Гимназисты 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
Задача Эйнштейна А. Эйнштейн придумал эту задачу в прошлом веке и полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить. Принадлежите ли вы к 2% самых умных людей планеты? Здесь нет никакого фокуса, только чистая логика.
1. Есть 5 домов каждый разного цвета. 2. В каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга национальности. 3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит определенное животное. 4. Никто из 5 человек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковое животное.
Вопрос: кому принадлежит рыба?
Подсказки: Англичанин живет в красном доме Швед держит собаку Датчанин пьет чай Зеленый дом стоит слева от белого (считайте, что эти дома стоят рядом - иначе в задаче получаются два решения) Жилец зеленого дома пьет кофе Человек, который курит Pall Mall, держит птицу Жилец из среднего дома пьет молоко Жилец из желтого дома курит Dunhill Норвежец живет в первом доме Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill Курильщик сигарет Winfield пьет пиво Норвежец живет около голубого дома Немец курит Rothmans Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду
Это всё, что необходимо для решения задачи.
Ответ: Хозяин рыбы - немец.--Гимназисты 11:34, 28 октября 2008 (UZT)
Искатели ID_249 17:34, 28 октября 2008 (UZT)
Задача № 1--Искатели ID 249 18:54, 28 октября 2008 (UZT)
Три брата получили 24 яблока. Каждый получил столько, сколько ему лет. Младший предложил: «Я оставлю себе половину, а остальные разделю между вами. Пусть потом средний оставит себе половину. А остальные разделит между нами поровну. Потом старший оставит себе половину, а остальные разделит между мною и средним поровну.» Братья согласились. В результате у всех яблок оказалось поровну. Сколько лет каждому брату?
РЕШЕНИЕ:
В конце обмена у каждого стало по 24:3=8 яблок. Старший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у старшего было 8*2=16 яблок, у среднего 8-8:2=4 яблока и у младшего 8-8:2=4 яблока. Средний оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у среднего его было 4*2=8 яблок, у старшего 16-4:2=14 яблок и у младшего 4-4:2=2 яблока. Младший оставил себе половину, а остальные разделил между братьями. Следовательно, у младшего было 2*2=4 яблока, у среднего 8-2:2=7 яблок и у старшего 14-2:2=13 яблока.
Ответ: Старшему брату 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года.
Задача № 2--Искатели ID 249 18:54, 28 октября 2008 (UZT)
Медведь
в кашолке плюшки нёс.
И на лесной опушке
Он половину плюшек съел
И плюс ещё полплюшки.
Шёл, шёл. Уселся отдохнуть.
И под «ку-ку» кукушки
Вновь половину плюшек съел
И плюс ещё полплюшки.
Стемнело. Он ускорил шаг.
И на крыльце избушки
Он снова пол остатка съел
И плюс ещё полплюшки.
С пустой кашолкою , увы,
Он в дом вошёл уныло…
Хочу чтоб мне сказали вы, А сколько плюшек было?
РЕШЕНИЕ:
На крыльце медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После этого корзинка была пуста. Следовательно, полплюшки – это вторая половина оставшегося. Следовательно, когда подошёл к крыльцу, у него была 1 плюшка.Он сел отдохнуть и съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталась 1 плюшка. Следовательно, оставшаяся 1 плюшка и полплюшки - это вторая половина. Следовательно, перед тем как сел отдохнуть у него было 3 плюшки. На лесной опушке медведь съел половину оставшегося и ещё полплюшки. После чего осталось 3 плюшки. Следовательно, оставшиеся 3 плюшки и полплюшки - это вторая половина. Значит, всего было 7 плюшек.
Ответ: 7 плюшек.
Задача № 3--Искатели ID 249 18:58, 28 октября 2008 (UZT)
Зашли 3 друга на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Сварила хозяйка, будить не стала, поставила миску на стол и ушла. Проснулся 1-й, сосчитал картофель , съел свою часть и заснул. Проснулся 2-й, ему невдомёк было, что его товарищ уже съел свою часть, поэтому он пересчитал картофель, съел третью часть и уснул. Проснулся 3-й, пересчитал картофель, съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Сколько подала на стол хозяйка?
РЕШЕНИЕ:
Осталось 8 картофелин. Следовательно, 3-й съел 8:2=4 картофелины. Когда он проснулся, было 8+4=12 картофелин. 2-й оставил 12, следовательно, съел 12:2=6. Когда он проснулся, было 12+6=18 картофелин. 1-й оставил 18, следовательно, съел 18:2=9. Когда он проснулся, было 18+9=27 картофелин.
Ответ: хозяйка сварила 27 картофелин.
Задача № 4--Искатели ID 249 18:58, 28 октября 2008 (UZT)
Андрей и Фёдор обменивались деньгами. Сначала Андрей отдал Фёдору часть денег, потом Фёдор Андрею, затем опять Андрей Фёдору, и, наконец, Фёдор Андрею в последний раз. После чего у каждого стало по 160 рублей. Количество переданных денег всякий раз было равно количеству денег у получавшего. Сколько денег было у Андрея и Фёдора первоначально?
РЕШЕНИЕ:
Осталось по 160 рублей. Следовательно, во время 4-го обмена Фёдор отдал Андрею 160:2=80 рубле. До этого у Фёдора было 160+80=240 рублей, а у Андрея 160-80=80 рублей. Во время 3-го обмена Андрей отдал Фёдору 240:2=120 рубле. До этого у Фёдора было 120 рублей, а у Андрея 80+120=200 рублей. Во время 2-го обмена Фёдор отдал Андрею 20:2=100 рубле. До этого у Фёдора было 120+100=220 рублей, а у Андрея 200-100=100 рублей. Во время 1-го обмена Андрей отдал Фёдору 220:2=110 рубле. До этого у Фёдора было 110 рублей, а у Андрея 100+110=210 рублей.
Ответ: у Федора было 110 руб., у Андрея было 210 руб.
Задача № 5--Искатели ID 249 17:26, 13 ноября 2008 (UZT)
Человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, у него осталось 20 алтын. Когда он хотел купить 9 бочек, ему не хватало 1,5 рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
Задача № 6--Искатели ID 249 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)
Хозяин нанял работника на 1 год и пообещал дать ему 12 рублей и кафтан. Но работник отработал только 7 месяцев. При расчёте хозяин дал ему 5 рублей и кафтан. Сколько стоит кафтан?
Задача № 7--Искатели ID 249 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)
Хозяин нанял работника с условием: за каждый рабочий день будет платить по 20 копеек, а за каждый нерабочий – вычитать 30 копеек. По прошествии 60 дней работник ничего не заработал. Сколько было рабочих дней?
Задача № 8--Искатели ID 249 18:14, 13 ноября 2008 (UZT)
Один человек купил 112 баранов старых и молодых, заплатив за них 49 рублей и 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и 4 полушки, а за молодого по 10 алтын. Сколько каких баранов было куплено?
--Участник:Интнграл ID 233 Задача из "Азбуки" Л.Н. Толстого На бочку приделали 2 трубы, из обеих труб вода течет в бочку. Из одной трубы вода наполняет бочку в 24 минуты, из другой в 15 минут. Еще есть в бочке дыра; из дыры вытечет вода из бочки в 2 часа. Наполнится ли бочка и скоро ли если пустить воду из обеих труб и вода будет течь в дыру? Решение: 1/15 -производительность 1 трубы; 1/24 - производительность 2 трубы; 13/120 - производительность обеих труб; 1/120 - производительность дырки; 13/120-1/120=1/10 - производительность 1:1/10=10 минут. Ответ: бочка будет полна в 10 минут. --Участник:ОМОН ID 230 Задача из "курса чистой математики" Е. Д. Войтяховского Нововыезжей в Россию французкой мадаме вздумалось оценить свое богатство в чемодане: новой выдумке нарядное фуро и праздничный чепец а ля фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: "Богатство твоего первое фуро вполчетверте дороже фигаро; вообще же стоят не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина". Спрашивается каждой вещи цена, с чем француженка к россам привезена. Решение: "Вполчетверте дороже" означает дороже в 3,5 раза. "С половиною четыре алтына" значит 4 алтына и еще прибавить пол алтына, то есть 4*3+0,5*3=13,5 копеек. --Участник:ЭВРИКА ID 228 ЗАДАЧА С.А.РАЧИНСКОГО Сосчитать в уме, сколько будет квадрат 84. Решение: 84*84=7*12*7*12=7*7*12*12=49*144=50*144-144=7056-это есть число квадратных дюймов в одной квадратной сажени. --Участник:КУБ ID 234 ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА Найти число, четвертая степень которого, деленная на половину самого числа и увеличенная на 14 1/4, равнялась бы 100. Решение: 2х^3+14 1//4=100; х=7/2
Участник:Истина_ID_218
Старинные китайские задачи
Задача о похищении риса. Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.
Решение.
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой.
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком.
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской.
19х+1 = 17y+14+12z
19x = 12z
x = 12z/19
Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что
z=19t
17y+13 = 228t
Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14)
x = 168
y = 187
z = 266
Похитили:
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го.
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го.
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го.
Задача о глубине озера.
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
Ответ. 12 футов.
Задача о прямоугольном треугольнике.
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.
Решение.
Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
a+b+c = p;
a^2+b^2 = c^2;
ab/2 = s;
Из 2-го и 3-го уравнений имеем:
(a+b)^2 = 4s+c^2
(p-c)^2 = 4s+c^2
Решая относительно с получим:
c = (p^2-4s)/2p
a+b = (p^2-4s)/2p
Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения:
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.
Задача о городе, обнесенном круговой стеной.
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города.
--Истина ID 218 20:24, 27 октября 2008 (UZT)
--Bookworm ID 213 14:54, 28 октября 2008 (UZT) Задача № 22. Задача Л. Н. Толстого: Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Так как три дома разделить было нельзя на 5 частей, то их взяли три старших брата, а меньшим за то выделили деньги. Каждый из трех братьев заплатил по 800 р. Меньшие братья разделили эти деньги между собой, и тогда у всех стало поровну. Много ли стоит один дом? Решение: Сначала узнаем, сколько денег получили младшие братья: 800*3:2=1200 рублей. След-но у всех братьев наследство оценивается в 1200*5=6.000 рублей. Значит стоимость дома 6000:3=2000 рублей. Ответ: 2000 рублей.
Задача № 23. Задача Л. Кэррола: Узелок 4: Имеются 5 мешков. Первый и пятый мешки вместе весят 12 фунтов, второй и третий – 13,5 фунтов, третий и четвёртый – 11,5 фунтов, четвёртый и пятый – 8 фунтов, первый, третий и пятый – 16 фунтов. Требуется узнать, сколько весит каждый мешок. Решение: Сумма результатов всех 5 взвешиваний равна 61 фунту, при этом вес третьего мешка входит в 61 фунт трижды, а вес остальных мешков лишь дважды. Вычитая из 61 фунта удвоенную сумму результатов первого и четвертого взвешиваний, получаем, что утроенный вес 3 мешка равен 21 фунту, След-но вес 3 мешка равен 7 фунтам. Из результатов 2 и 3 взвешиваний находим вес 2 и 4 мешков: второй мешок весит 6,5 фунтов, четвертый – 4,5. Затем, что 5 мешок 5, 5 фунтов и 3 мешок 3,5 фунтов. Ответ: вес 3 мешка равен 7 фунтам; второй мешок весит 6,5 фунтов; четвертый – 4,5, 5 мешок 5,5 ; 3 мешок 3,5 фунтов. --Bookworm ID 213 14:52, 28 октября 2008 (UZT)
Участник:Максимум ID-251
1. Стая уток.
Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток? Ответ: Летели одна за другой три утки
2. Задача Льва Толстого.
Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов ЗАДАЧА Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседкаи и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. ВОПРОС: на сколько обманули продавца? Ответ: Рассуждаем: доходы продавца: 25р от мальчика расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р) итого 50-25=-25, т.е. убыток 25р Можно рассуждать и по другому: соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать. Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка)
3. Как поделить?
Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине. Ответ: Один человек берет яблоко вместе с корзиной.
4. По старому стилю.
В 1918 году Россия перешла на новый стиль летоисчисления - григорианский календарь - путем прибавления 13 дней к текущей дате. Если день Октябрьской революции, произошедший 25 октября по старому стилю, отмечают 7 ноября по новому стилю, т.е. спустя 13 дней, то почему Новый год отмечают наоборот: сначала по новому стилю, а потом, через 13 дней, по старому стилю? Ответ: Перенос всех текущих дат 1918 года на 13 дней вперед означает, что продолжительность этого года умешилась на 13 дней. Следовательно, в новом летоисчислении новый, 1919 год (и все последующие), наступил на 13 дней раньше, чем это было "по-старому". Поэтому Старый новый год отмечается на 13 дней позже нынешнего Нового года.
5. О размножении микробов.
В банку попал 1 микроб, и через 35 минут банка была наполнена микробами, причем известно, что количество микробов ежеминутно удваивалось. За сколько минут банка была наполнена микробами на половину? Ответ: За 34 минуты, т. к. за 35 минут банка будет уже заполнена.
6. Год за три.
Позавчера Феде было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть? Ответ: Утверждение сделано 1 января. День рождения Феди - 31 декабря. Позавчера ему было 17. Вчера ему исполнилось 18. В этом году будет 19, а в следующем - ровно 20.
7. Задача Козьмы Пруткова.
У Козьмы Пpуткова есть такая коpоткая басня, котоpая называется "Пастух, молоко и читатель": Однажды нес пастух куда-то молоко, Да так ужасно далеко, Что уж назад не возвpащался. Читатель! Он тебе не попадался? И, пpи пpочтении этого четвеpостишия вспоминается такая очень дpевняя задача, на котоpую большинство дает ответ очень быстpо и очень непpавильно: ЗАДАЧА: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то куда пpидешь? Hо вы-то пpежде чем писать ответ, подумаете, пpавда? А pешив эту несложную задачку, подумайте над втоpым вопpосом: Будет ли путь бесконечным? Ответ: Если идти все вpемя на севеpо-восток, то пpидешь на севеpный полюс. Путь бесконечным не будет, и это легко доказывается. Действительно, если мы пойдем со скоpостью v, то будем в нашем случае постоянно пpиближаться к полюсу со скоpостью v/sqrt(2), независимо от шиpоты местности. Так как pасстояние от любой точки земной повеpхности до полюса конечно, конечен и наш путь.
8. Сколько оборотов?
На столе лежат две одинаковые монеты. Пусть одна из них лежит неподвижно, а другая обкатывается вокруг нее, все время с нею соприкасаясь. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает вторая монета, обойдя один раз вокруг неподвижной монеты? Ответ: Вторая монета дважды повернется вокруг своей оси.
9. Задача для первоклассников.
При поступлении в школу детям дают задачку: КОРОВА - 2 ОВЦА - 2 СВИНЬЯ - 3 СОБАКА - 3 КОШКА - 3 УТКА - 3 КУКУШКА - 4 ЛОШАДЬ - 5 ПЕТУХ - 8 Что тогда ОСЛИК? Ответ: 2. Посчитайте количество букв в звуках, издаваемых животными.
Задачи из книги Р. Смаллиана "Как же называется эта книга?"
1. Следующая очень простая задача - одна из многочисленных занимательных задач, снискавших широкую известность.
В темной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Сколько носков следует взять из ящика, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? (В этой и в следующей задаче речь идет о наименьшем числе носков.) Ответ: Обычно на вопрос задачи дают неправильный ответ: 25 носков. Если бы в задаче спрашивалось, сколько носков следует взять из ящика, чтобы среди них было по крайней мере 2 носка различного цвета, то правильный ответ действительно был бы таким: 25 носков. Но в нашей задаче речь идет о том, чтобы среди взятых из ящика носков по крайней мере 2 носка были одного цвета, поэтому правильный ответ задачи иной: 3 носка. Если я возьму из ящика 3 носка, то они либо все будут одного цвета (и в этом случае я заведомо смогу выбрать из них по крайней мере 2 носка одного цвета), либо 2 носка будут одного цвета, а третий носок другого, что позволит мне также составить пару одноцветных носков.
2. Задача о медведе.
Эта задача обладает любопытной особенностью: многие слышали ее и знают ответ, но рассуждения, при которых они пытаются обосновать его, совершенно неудовлетворительны. Поэтому, даже если вы считаете, что знаете ответ задачи, проверьте себя, заглянув в решение. Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура? Ответ: Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике - вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить из Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник - в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственно. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь - в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в 1/3 от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче. Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы "насолить" автору задачи.
3. Задача о железнодорожном движении.
Поезд отправляется из Бостона в Нью-Йорк. Через час другой поезд отправляется из Нью-Йорка в Бостон. Оба поезда едут с одной и той же скоростью. Какой из них в момент встречи будет находиться на меньшем расстоянии от Бостона? Примечание: размерами (длиной) поездов можно пренебречь. Ответ: Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.
--Максимум ID 251 16:44, 28 октября 2008 (UZT)
Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224
Задача №37. Из "Курса чистой математики" Е.Д. Войтяховского.
Служилому воину дано вознагрождение за первую рану 1 к., за вторую 2 к., за третью 4 к., и т.д. Всего воик получил 655 р. 35 к. Спрашивается число его ран.
Решение.
Геометрическая прогрессия:
1,2,4,8,10,... Знаменатель равен 2.
Сумма 65535. S(n) = 1*(1-q^n)/(1-q)
(1-2^n)= 65535*(1-2), 65536=2^n, n =16
Ответ. 16 ран.
Задача №38. Древний Вавилон. Второе тысячелетие до нашей эры.
«10 братьев, 5/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимется не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше?»
Решение.
Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины ( 1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии.
A + 7d = 6, 5*60/3 = (2A +9d)*10/2,
100/5 = 2A+9d, A= 6-7d. 2(6-7d)+9d=20, 5d=-8, d=-1,6.
Ответ. – 1, 6.
--"Жареные семечки" 19:15, 28 октября 2008 (UZT)
Участник:Модные переменные_ID_222
Крестьянин и чёрт
Идёт крестьянин и плачет: "Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает,что на всякие свои деньги они ещё деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел".
Только успел это сказать, как глядь, а перед ним чёрт стоит.
- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?
- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.
- Ну, так стоит тебе перейти только через мост - у тебя бедет вдое больше денег, чем есть. Перейдёшь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до перехода.
- Ой ли? - говорит крестьянин.
- Верное слово! - уверяет чёрт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.
- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги всё будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!
Перешёл он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки чёрту и перешёл через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим.Отсчитал он 24 копейки, отдал чёрту и перешёл через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнёхонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать чёрту. Отдал он их и остался без копейки.
Сколько же у крестьянина было денег сначала?
Решение
Задача разрешается очень легко, если решение её начать с конца, приняв во внимание, что после третьего перехода у крестьянина оказалось ровно 24 коп., которые он должен был отдоть.
Если после последнего перехода у крестьянина оказалось 24 коп., то, значит, перед этим переходом у него было 12 коп. Но зти 12 коп., получилось после того, как он отдап 24 коп., значит, всего у него было 36 коп. Следовательно, второй переход он начал с 18 коп., а эти 18 коп. получились у него после того, как он в первый разперешёл мост и отдал 24 коп. Значит всего после первого перехода у него было денег 18+24=42 коп. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз вступить на мост, крестьянин имел в кармане 21 коп. собственных денег.
Ответ: 21 копейка. --Модные переменные ID 222 01:43, 29 октября 2008 (UZT)
1. (Задача, приписываемая Эйлеру). Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми своими сыновьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и 1/8 часть остатка; следующий – 2000 руб. и 1/8 нового остатка; третий сын – 3000 руб. и 1/8 часть третьего остатка и т.д.». Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.
Решение: Так как все сыновья получили поровну, то 1/8 часть каждого нового остатка была на 1000 руб. меньше 1/8 части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 руб. меньше предыдущего. Так как, по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё 1/8 часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 руб. Из него предпоследний сын получил 1/8 часть, равную 1000 руб., а остальные 7000 руб. получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном. ОТВЕТ: сыновей было 7, а завещанная сумма 7000*7=49000 (руб.)
2. Задача №64 из папируса Райнда. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между десятью людьми; разница между каждым человеком и его соседом должна составлять 1/8 меры зерна».
Решение:
1) 1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8+9/8=45/8 (мер) – на столько меньше мер, если было бы поровну.
2) 10-45/8=35/8 (мер) – ячмень на 10 человек
3) 35/8/10=35/80=7/16 (мер) – получит 1 человек, остальные – каждый на 1/8 мер больше.
ИТОГО: 7/16; 9/16; 11/16; 13/16; 15/16; 17/16; 19/16; 21/16; 23/16; 25/16.
--Борей ID 238 12:40, 29 октября 2008 (UZT)
Внимание! Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице Копилка знаменитых задач продолжение 5
