Копилка знаменитых задач продолжение 7
Посмотреть страницу Копилка знаменитых задач.
Задачи участников ДООМ
--Волшебники города формул ID 207 16:38, 14 ноября 2008 (UZT)
Задачи из папируса Ахмеса
У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?
Решение: Лиц -7 Кошек – 7*7=49 Мышей – 49*7=343 Колосьев – 343*7=2401 Ячмень – 2401*7=16807 Вся сумма равна 19607
Наставление, как определять разности. Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры.
Решение: 10 мер хлеба автор разлагает на 10 членов арифметической прогрессии с разностью 1/8 и получает, что 10-й член прогрессии равен 1+9*1/2*1/8=одна целая девять шестнадцатых.
Задачи Вавилона
Задача на глиняной табличке (ок. 1950 до н. э.)
Площадь А, состоящая из суммы площадей двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет уменьшенные на 10 две трети стороны другого квадрата. Каковы стороны квадратов?
Решение: Пусть а - сторона одного квадрата, тогда сторона другого квадрата 2/3*а-10. Площадь первого квадрата + площадь второго квадрата = 1000. Решаем уравнение а2+(2/3а-10)2=1000.Получаем а=30 – это сторона одного квадрата, а 30*2/3-10=10 – сторона другого квадрата
Задачи Древней Греции
Задача «Суд Париса»Один из древнейших мифов содержит сказание о суде троянского царевича Париса… Однажды на свадьбе богиня раздора Эрида подбросила собравшимся гостям яблоко с надписью «прекраснейшей». Из-за этого яблока возник спор между богиней мудрости и справедливой войны Афиной, богиней любви и красоты Афро¬дитой и сестрой и супругой Зевса Герой. Они обратились к царю и отцу богов и людей Зевсу, чтобы он решил, кому должно достаться яблоко. Зевс отправил богинь на гору к Парису, который пас там свои стада. Парис должен был решить, какая из богинь самая прекрасная. Каждая из богинь старалась склонить юношу на свою сторону: Афина предлагала ему мудрость и военную славу, Афродита — красивейшую женщину на земле в жены, Гера — власть и богатство. Как Парис определил прекраснейшую из богинь, можно узнать, решив старинную задачу.
Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения. Афродита. Я самая прекрасная. (1) Афина. Афродита не самая прекрасная. (2) Гера. Я самая прекрасная. (3) Афродита. Гера не самая прекрасная. (4) Афина. Я самая прекрасная. (5) Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрыл глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, кто из них самая прекрасная. Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?
Решение Пусть Парис предположил, что Афина из¬рекла истину. Тогда она прекраснейшая из бо¬гинь, и по предположению утверждение (4) ложно. Мы приходим к противоречию, так как Гера не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Афина. Таким образом, исходное предположение ложно. Если Парис предположит, что истину изрекла Гера, то она прекраснейшая из богинь, и по предположению утверждение (2) ложно. Мы снова приходим к про¬тиворечию, так как Афродита не может быть прекраснейшей из богинь, коль скоро прекраснейшая из богинь Гера! И это исходное предположение ложно. Если Парис, наконец, предположит, что Афродита изрекла истину, то Афро¬дита — прекраснейшая из богинь. Отрицания утверждений (2), (3) и (5) истинны и показывают, что Афродита — прекраснейшая из богинь. Итак, по «суду Париса» прекраснейшей из богинь является Афродита.
Задача Дидоны В древнем мифе рассказывается, что тирский царь Пигмалион убил Сихея, мужа своей сестры Дидоны, чтобы овладеть его богатством. Дидона, покинув Фи¬никию, после многих приключений оказалась в Северной Африке. Король нуми-дийцев Ярб обещал подарить Дидоне участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Хитрая Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие полоски, связала из них очень длинную веревку и отмерила большой участок земли, на котором основала город Карфаген. Участок земли какой формы окружила Дидона веревкой дан¬ной длины, чтобы получить наибольшую площадь?
Решение Решение задачи Дидоны легко и красиво следует из изопериметрического свойства круга: среди всех плоских фигур данного периметра максимальную пло¬щадь имеет круг. Это замечательное свойство круга было известно в Древней Греции. Поэтому Дидона окружила имевшейся веревкой участок земли в форме полукруга с центром на берегу моря.
Задача о школе Пифагора Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат,— отвечал Пифагор.— Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из ко-торых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины». Сколь¬ко учеников было у Пифагора?
Решение: ½+1/4+1/7=25/28, да плюс 3 юноши, т.е. 3/28. Получается 1. Значит, у Пифагора было 28 учеников.
Задача о статуе Минервы Сохранилась «Греческая антология» в форме сборника задач, составленных в стихах, главным образом гекзаметром, которым, как известно, написаны знаме¬нитые поэмы Гомера (IX—VIII вв. до н. э.) «Илиада» и «Одиссея». «Греческая антология» была написана в VI в. н. э. грамматиком Метродором. В «Греческой антологии» содержится задача о статуе богини мудрости, покровительнице наук, искусств и ремесел Минерве. Я — изваянье из злата. Поэты то злато В дар принесли: Харизий принес половину всей жертвы, Феспия часть восьмую дала; десятую — Солон. Часть двадцатая — жертва певца Фемисона, а девять Всё завершивших талантов — обет, Аристоником данный. Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?
Решение: ½+1/8+1/10+1/20=31/40, да плюс 9 от Аристоника, т.е. 9/40. Получается 1. Значит, поэты принесли вместе в дар 40 злат.
Задача о музах По представлениям древних греков науками и искусствами ведали мифические женские существа — музы: Евтерпа — богиня-покровительница музыки; Клио — истории; Талия — комедии; Мельпомена — трагедии; Терпсихора — танцев и хорового пения; Эрато — поэзии; Полимния — лирической поэзии; Урания — астрономии; Каллиопа — эпоса и красноречия. Местопребыванием муз и Аполлона служила гора Геликон. Учреждения, где протекала деятельность ученых, назывались музеумами (музеями) — жилищами муз. В поэтической задаче о музах бог любви
Эрот жалуется богине красоты и любви Киприде на муз. Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает: «Что так тебя огорчило, ответствуй немедля!» «Яблок я нес с Геликона немало,— Эрот отвечает,— Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу. Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио Пятую долю взяла. Талия — долю восьмую. С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора. С частью седьмою Эрато от меня убежала. Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать Взяты Уранией; триста плодов унесла Каллиопа. Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками. Только полсотни плодов мне оставили музы на долю. Сколько яблок нес Эрот до встречи с музами?
Решение: 1/12+1/5+1/8+1/20+1/4+1/7=715/840, 1 - 715/840=125/840, Плоды, которые унесли Полимния, Урания, Каллиопа и сам Эрот, составляют 500. Если обозначить за х все яблоки, то получается, что 500/х=125/840 Х=3360 Значит, у Эрота было 3360 яблок.
Задача о грациях Красивая идея равенства проводится в задаче о трех грациях. Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по оди-наковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каж¬дой из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой из граций до встречи с музами?
Решение: Пусть у каждой из граций было по х плодов и они отдали каждой из муз по у плодов. Тогда по условию задачи должно быть х-9у=3у или х=12у. Значит, у каждой из граций до встречи с музами число плодов было кратно 12.
Задача Евклида Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью: «Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка? Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру, Если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись». Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.
Решение: Если х-груз мула, то (х-1) – груз осла, увеличенный на единицу, а следовательно, первоначальный груз осла был (х-2). С другой стороны, х+1 в два раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. х-3. Таким образом, х+1=2(х-3). Отсюда груз мула х=7 и груз осла х-2=5
Задачи Герона Александрийского Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бас¬сейн за 1 день, второй — за 2 дня, третий — за 3 дня и чет¬вертый — за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника вместе?
Решение: Производительность первого – 1 Производительность второго – 1/2 Производительность третьего – 1/3 Производительность четвертого – 1/4 Производительность всех вместе – 1+1/2+1/3+1/4=25/12 Значит, наполнят весь бассейн все четыре источника за 1/25/12=12/25
Древнеримская задача (II в.) Некто, умирая, завещал: «Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене — остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3». Родилась двойня — сын и дочь. Как же разделить имение? Решение: Относительно жены сын должен получить в два раза больше, а дочь в два раза меньше. Поэтому имение разделится между сыном, женой и дочерью в соотношении 4:2:1.
Задача о Диофанте из Палатинской антологии Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец. Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил, Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Решение: Пусть х лет прожил Диофант, тогда 1/6х+1/12х+1/7х+5+1/2х+4=х 75/84х+9=х, х=84
Задачи Древнего Китая
Задача из «Математики в девяти книгах» Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу (доу — мера объ¬ема) зерна. Из 2 снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу зерна. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 сно-пов плохого урожая получили 26 доу зерна. Спрашивается, сколько зерна получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая.
Решение: Обозначим за х- хороший урожай 1снопа, у-средний, с-плохой урожай. Получим, 3х+2у+с=39, 2х+3у+с=34, х+2у+3с=26. Решаем полученную систему и получаем х=9,25 у=4,25 с=2,75
Задача Чжан Дюцзяня 1 петух стоит 5 цяней (цянь — денежная единица), 1 курица стоит 3 цяня, 3 цыпленка стоят 1 цянь. Всего на 100 цяней купили 100 птиц. Спрашивается, сколько было в отдельности петухов, кур, цыплят. Решение: Пусть купили х петухов, у куриц, с цыплят. Составим систему уравнений: 5х+3у+с/3=100, х+у+с=100. Отсюда, возможны четыре варианта: Первый: х=0, у=25, с=75 Второй: х=4, у=18, с=78 Третий: х=3,у=11, с=81 Четвертый: х=12, у=4, с=84
Задачи Древней Индии
Задача-легенда (начало н. э.) Происхождение шахмат иногда связыва¬ют с магическими квадратами. В эпической поэме величайшего персидского поэта Фир¬доуси «Шах Намэ» («Книга царей») (1010) описывается легенда, согласно которой шах¬матную игру изобрели мудрецы, желая с ее помощью рассказать матери царевича Тал-хаида о том, как он, не будучи побежденным в сражении, пал в разгаре боя с войсками своего брата-близнеца Гава. В поэме английского писателя У. Джонса (1746—1794) рассказывается, что бог войны Марс пленился красотой дриады Каиссы и склонил ее к взаимности изобретением шахмат. Однако наибольшую известность имеет другая версия.
В старинной легенде о происхождении шахмат рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему в награду на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую — 2 зерна, на третью — 4 зерна и т. д. Сколько зерен запросил мудрец?
Решение:
Задачи стран Ислама
Задача из легенды «История Морадбальса» Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через 4 двери, у каж¬дой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставших¬ся яблок. Так же она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?
Решение: 10*2*2*2*2=160
Задача из сказки «1001 ночь» (ночь 458-я) Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?
Решение: Пусть х и у – число голубей на дереве и под деревом, то по условию имеем систему уравнений: У-1=(Х+1)/3 Х-1=У+1 Получаем, х=5 и у=3
--Волшебники города формул ID 207 16:38, 14 ноября 2008 (UZT)
--ТЕКСТиК ID 290 --ТЕКСТиК ID 290 17:39, 14 ноября 2008 (UZT) Логические задачи 19 века. Неизвестный спонсор премировал трёх богатырей за отличную ратную службу – дал им10 кошельков . Когда богатыри открыли эти кошельки, оказалось, что один кошелёк пуст, во втором лежит одна монета, в третьем- две, и т.д. до десятого, в котором оказалось девять монет. Илья Муромец взял себе два кошелька. Добрыня Никитич и Алёша Попович разделили между собой остальные кошельки так, что Добрыня Никитич, как более старший, получил большую сумму. Но рассеянный Алёша Попович по дороге потерял 4 кошелька. У него осталось только 10 монет. Какие кошельки взял себе Илья Муромец? Ответ:
Барбара- юная леди, с очень необычными вкусами. Она любит цвет хаки, но не любит коричневый цвет. Ей нравиться рандеву, но не свидание. Она всегда ходит в кафе, но никогда не в столовую. Как вы думаете, заказывает она желе или кисель? Ответ:
[[--Участник:ЗВЕЗДА ID 248]]
Задача № 1
Об основании города Карфагена существует древнее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого её братом, бежала в Африку. Там она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезали воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточной для сооружении крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, а в последствие был построен и город. Попробуйте приблизительно определить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что размер воловьей шкуры 4кв. м, а ширина ремешков, на которые Дидона её разрезали, 1мм.
Решение.
Если площадь воловьей шкуры 4кв.м (или 4 млн. кв.мм), а ширина ремешков 1мм, то общая длина вырезанного ремня (Дидона, надо думать, вырезали его спирально) – 4миллиона миллиметров, или 4000м, то есть 4км. Таким ремнём можно окружить 1кв. км и круглый – в1,3кв.км.
Задача №2
Три древних мудреца вступили в спор: кто из троих более мудр? Спор помог решить случайный прохожий, предложивший им испытание на сообразительность. - Вы видите у меня, - сказал он,- пять колпаков: три чёрных и два белых. Закройте глаза! С этими словами он надел каждому по чёрному колпаку, а два белых спрятал в мешки. - Можете открыть глаза. Кто угадает, какого цвета колпак украшает его голову, тот вправе считать себя самым мудрым. Долго сидели мудрецы, глядя друг на друга … Наконец один воскликнул - На мне чёрный! Как он догадался?
Решение.
Мудрец рассуждал так: «Я вижу перед собой два колпака. Предположим, что на мне белый. Тогда второй мудрец, видя перед собой чёрный и белые колпаки, должен рассуждать так: «Если бы на мне был тоже белый колпак, то третий сразу бы догадался и заявил, что у него чёрный. Но он молчит, значит на мне не белый, а чёрный». А так как второй не говорит этого, значит на мне тоже чёрный».
Задача №3
Это старинная народная задача. Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у неё половину всех яиц и ещё пол-яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца. Третья купила всего одно яйцо. После того у крестьянки осталось ничего. Сколько яиц она принесла на базар.
Решение.
Задачу решают с конца. После того как вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца, у крестьянки осталось только одно яйцо. Значит, полтора яйца составляют вторую половину того, что осталось после продажи. Ясно, что полный остаток составляет три яйца. Прибавив пол-яйца, получим половину того, что имелось у крестьянки первоначально. Итак, число яиц, перенесенных ей на базар, семь. 7/2=3,5 3,5+0,5=4 7-4=3 3/2=1,5 1,5+0,5=2 3-2=1 Это вполне согласуется с условием задачи.
Задача 4
Дележ верблюдов
Старик, имевший трёх сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний - треть и младший –девятую часть всех верблюдов. Сыновья начали делёж, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал и разделил по завещанию. Как он сделал?
Решение: Мудрец пустился на уловку. Он прибавил к стаду на время своего верблюда, тогда их стало18. Разделив это число, как сказано в завещании (старший брат получил 18 *1/2=9 верблюдов, средний 18*1/3=6 верблюдов, младший 18*1/9=2 верблюда), мудрец взял своего верблюда обратно (9+6+2+1=18). Секрет, как и в предыдущей задаче, заключается в том, что части, на которые по завещанию должны были делить стадо сыновья, в сумме не составляют 1. Действительно, 1/2+1/3+1/9=17/18.
Задача 5
Сколько воды в бочке? В одной сказке хозяин, нанимая работника, предложил ему следующее: -Вот тебе бочка, наполни её водой ровно наполовину, ни больше, ни меньше. Но смотри, палкой, верёвкой или чем-либо другим для измерения не пользуйся. Работник справился с заданием. Как он это сделал?
Решение:
Если вода в бочке налита ровно до половины, то, наклонив бочку так, чтобы уровень воды пришёлся как раз у края бочки, мы увидим, что высшая точка дна находится также на уровне воды. Это случится потому, что плоскость, проведённая через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружности бочки, делит её на две равные части. Если вода налита менее чем до половины, то при таком же наклонении бочки из воды должна выступить часть дна. Наконец, если воды в бочке более половины, то при наклонении дно окажется под водой.
Рассудив именно так, работник справился с заданием.
--ЗВЕЗДА ID 248 14:57, 15 ноября 2008 (UZT)
--Bookworm ID 213 15:45, 15 ноября 2008 (UZT)
Задача №104. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)Три купчихи – Олимпиада, Сосипатра и Поликсена –пили чай. Если бы Олимпиада выпила на пять чашек больше, то она выпила бы столько, сколько две другие вместе. Если бы Сосипатра выпила на 9 чашек больше, то выпила бы столько, сколько две другие вместе. Определите, сколько каждая выпила чашек и у кого какое отчество, если известно, что Уваровна пила чай вприкуску, количество чашек чая, выпитых Титовной, кратно трем, а Карповна выпила 11 чашек.
Решение. Обозначим количество выпитых чашек за а,в,с купчихами Олимпиадой, Сосипатрой и Поликсеной соотвтственно. Тогда решим систему уравнений: а+5=в+с и в+9=а+с . Складывая уравнения , получим с = 7 . Вычитая их , получим а=в+ 2.Усли в = 11, то а = 13, некратно 3. Значит, в не равно 11. Тогда а = 11 , в = 9. Ответ: Олимпиада Карповна выпила 11 чашек, Сосипатра Титовна – 9 чашек, Поликсена Уваровна – 7 чашек.
Задача №105. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР) Дама сдавала в багаж: диван, чемодан, саквояж, картину, корзину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж вместе, и столько же, сколько картина и картонка вместе. Картина, корзина и картонка весили поровну причем каждая из них – больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы. При проверке оказалось, что собака перевешивает диван, если к ней на весы добавить саквояж или чемодан. Докажите, что претензия дамы была справедлива.
Решение: Обозначим массы предметов первыми буквами их названий: Д – масса дивана, Ч – чемодана, С – саквояжа, К – картины ( а также корзины картонки – они весили поровну),М – маленькой собачонки. Если претензия дамы справедлива то:
Д=Ч+С=2К, К>M, M+C>Д.
Отсюда М>Ч, М>C, 2К=Ч+С<2M<2K – противоречие.
Задача №106. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР) Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из пункта А в пункт В. Проехав треть пути, велосипедист остановился и поехал дальше лишь тогда когда мотоциклисту оставалась треть пути до В. Мотоциклист, доехав до В, сразу поехал обратно. Кто приедет раньше: мотоциклист в А или велосипедист В?
Решение: велосипедист приедет раньше. Поскольку велосипедист проехал треть пути раньше, чем мотоциклист проехал две трети то скорость велосипедиста больше половины скорости мотоциклиста. Ответ: велосипедист приедет раньше.
Задача №107. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР) За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или поправился за год?
Решение: Похудел. Если в начале весны обломов весил М кг., то к конце года он стал весить 0,75 *1.2*0.9*1.2М = 0.972М кг. Ответ: похудел.
Задача №108. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)Ивана Александровича Хлестакова пригласили управлять департаментом и в течении трёх дней прислали ему 35000 курьеров. Если бы в первый день было прислано в двое больше курьеров, чем на самом деле, то общее число курьеров было пятой степенью того числа, на которое в третий день прислали курьеров больше, чем во второй. Сколько курьеров присылали каждый день?
Решение. Обозначим, а,в,с – количество курьеров в 1,2,3 дни соответственно. Единственная пятая степень целого числа заключённая в промежутке от 35000 до 70000, - это 95. Тогда, имеем уравнения: а+в+в +9 = 35000 и 2а+ в+ в+ 9 = 59049 . Значит, а = 24049, в= 5471, с = 5480 Ответ: 24049, 5471, 5480 курьеров в первый, второй и третий дни соответственно.
Задача №109. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)После представления «Ревизора»состоялся следующий диалог. Бобчинский: Это вы, Пётр Иванович, первый сказали «Э!». Вы сами так говорили. Добчинский: Нет, Пётр Иванович, я так не говорил. Это вы семгу первый заказали. Вы и сказали «Э!». А у меня зуб во рту со свистом. Бобчинский: Что я семгу первый заказал, это верно. И верно, что у вас зуб свистом А всё–таки, это вы первый сказали «Э!». Выясните кто первым сказал «Э!», если известно, что из девяти произнесённых в этом диалоге фраз-утверждений чётное число верных.
Решение. Вычёркивая два равносильных утверждения, мы не меняем чётности числа верных среди оставшихся, а вычёркивается два противоположных утверждения, мы меняем чётность.
Ответ: : Бобчинский
Задача №110 Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)В 9 «Г» классе учатся три брата: Алёша, Лёня и Саша. Учитель заметил, что если кто-то из них получает подряд две четвёрки или две тройки, то дальше он учится кое-как и получает тройку; если он получает подряд две пятёрки, совсем перестаёт заниматься и получает двойку, а если он получает две разные оценки, то следующий будет большая из них. В начале полугодия Алёша получил 4 и 5, Лёня – 3 и 2, Саша – 2 и 4. Какие итоговые оценки они получают за полугодие, если учитель выставил каждому по 30 оценок, а итоговая оценка – ближайшее число к среднему арифметическому полученных оценок?
Решение: Начиная выписывать оценки каждого из ребят, обнаруживаем, что с некоторого момента они периодически повторяются. Подсчитав среднее значение оценок, получаем ответ. Алёша и Саша получают 4, а Лёня оценку – 3.
Задача №111 Мартина Гарднера(США) В Бронкс или Бруклин? Один молодой человек живет в Манхэттене возле станции метро. У него есть две знакомые девушки. Одна из них живёт в Бруклине, вторая – в Бронксе. Когда он едет к девушке из Бруклина, то садится в поезд, подходящий к платформе со стороны центра города. Когда же едет к девушке из Бронкса, то садится в поезд, идущий в центр. Поскольку обе девушки нравятся ему одинаково, он просто садится в тот поезд, который приходит первым. Таким образом, в выборе, куда ехать, он полагается на случай. Молодой человек приходит на станцию каждую субботу в разное время. И в Бруклин и в Бронкс поезда ходят с одинаковым интервалом в 10 минут. Тем не менее по каким-то непонятным причинам большую часть времени он проводит с девушкой из Бруклина; в среднем из каждых десяти поездок девять приходится на Бруклин. Попробуйте догадаться, почему у Бруклина такой огромный перевес.
Решение.
Решение головоломки опирается на маленькую хитрость в расписании поездов. Оно составлено та, что поезд, следующий Бронкс, всегда прибывает на минуту позже бруклинского, в то время как интервалы движения обоих поездов одинаковы -10 минут. Отсюда ясно, что поезд в Бронкс прибудет раньше бруклинского только в том случае, если молодой человек явится на вокзал в течение этого минутного интервала. В любое же другое время (то есть в течение девятиминутного интервала) бруклинский поезд будет прибывать первым. Поскольку молодой человек приходит в совершенно произвольные моменты времени, он с вероятностью 0,9 отправляется в Бруклин.
Задача №112 Мартина Гарднера(США)Два парома. Два парома отходят одновременно от противоположных берегов реки и перпендикулярно берегам. Скорости у паромов постоянны, но у одного больше, чем у другого. Паромы встречаются друг с другом на расстоянии 720 м от ближайшего берега. Прежде чем плыть обратно, оба парома в течение 10 мин стоят у берега. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?
Решение.
Когда паромы встречаются первый раз (верхняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстоянии равна ширине реки. Когда каждый из них причаливает к противоположному берегу, эта сумма равна удвоенной ширине реки, а когда они встречаются второй раз (нижняя часть рис. 54), сумма пройденных ими расстояний в три раза больше ширины реки. Поскольку оба парома двигаются с постоянной скоростью в течение одного и того же промежутка времени, мы можем заключить, что к моменту второй встречи каждый из них прошел расстояние втрое больше пройденного к моменту первой встречи. Это расстояние равно ширине реки. Поскольку белый паром прошел до первой встречи 720 м, к моменту второй встречи все пройденное им расстояние равно 720х3=2160 м. Из чертежи видно, что это расстояние на 400 м больше ширины реки, поэтому надо из 2160 вычесть 400. Получится 1760 м. Это и есть ширина реки. Время стоянки паромов в решение не входит. К решению задачи можно подойти и иначе. Пусть ширине реки х. Вначале отношение расстояний, пройденных паромами, равно (х-720)/720. Ко второй встрече оно будет составлять (2х-400)/(х+400). Эти отношения равны, из них мы легко находим х. Ответ:1760 м.
Задача №113 Мартина Гарднера(США) Как пересечь пустыню? У одного края пустыни шириной 800 миль имеется неограниченный запас бензина. В самой пустыне заправочных станций нет и бензина достать негде. Грузовик может перевозить столько бензина, сколько необходимо для того чтобы проехать 500 миль (это количество мы бум называть одной «заправкой»). Кроме того, его экипаж разрешается строить заправочные станции в любом месте трассы. Бензохранилища могут быть любых размеров; предполагается, что потерь на испарение нет. Какое количество ( в «заправках») бензина необходимо для того, чтобы грузовик мог пересечь пустыню? Существует ли предельная ширина пустыни, которую можно пересечь на грузовике?
Решение.
Назовём «единицей» расстояние в 500 миль, одной «заправкой» - количество бензина, необходимое для того, чтобы проехать 500 миль, и «рейсом» - поездку, совершаемую грузовиком в любом направлении от одной остановки до другой. Две заправки позволяют грузовику пройти максимальное расстояние в 1 1/3 единицы. Для этого необходимо совершить четыре рейса. Сначала на расстоянии 1/3 единицы от пункта отправления строится бензохранилище: грузовик полностью заправляют ( на это уходит ещё 1 заправка), после чего он едет к бензохранилищу, оставляет там 1/3 заправки возвращается назад. Его снова полностью заправляют ( на что уходит ещё 1 заправка). Он опять едет к бензохранилищу и забирает оставленную там 1/3 заправки ( таким образом, он снова оказывается полностью заправленным). После этого он может проехать ещё расстояние в 1 «единицу». Три заправки позволяют грузовику проехать расстояние в 1 1/3 + 1/5 «единицы», причём для этого потребуется совершить девять рейсов. Сначала на расстоянии 1/5 «единицы» от пункта отправления строят бензохранилище и завозят в него 6/5 заправки. На это уходят три рейса. Затем грузовик возвращается, полностью заправляется (на что уходит последняя «заправка») и прибывает к первому хранилищ, имея в своих баках 4/5 заправки. Вместе с уж имеющимся в бензохранилище топливом это количество составляет две полные заправки, что достаточно для того, чтобы грузовик мог пройти ещё 1 1/3 «единицы» расстояния (как это сделать, мы только что объяснили). Нам осталось ещё ответить на второй вопрос о минимальном количестве бензина, необходимо для того, чтобы грузовик мог проехать 800 миль. Три заправки, как мы только что выяснили, позволяют грузовику покрыть расстояние в 766 2/3 мили (1 1/3 + 1/5 «единицы» ), поэтому на расстояние 33 1/3 мили (1/15 «единицы») от пункта отправления необходимо построить ещё одно (третье) бензохранилище. З пять рейсов экипаж грузовика сможет построить это хранилище и завезти в него столько горючего, что когда в коне седьмого рейса грузовик поравняется с третьим хранилищем, общее количество бензина в его баках и в хранилище составит три заправки. Как м уже знаем, этого количества топлива достаточно для того, чтобы грузовик смог пройти оставшееся расстояние в 766 2/3 мили. На семь рейсов, совершенных между пунктом отправления и вновь построенным бензохранилищем, израсходовано 7/5 заправки. Трёх оставшихся заправок как раз достаточно для того, чтобы проехать оставшуюся часть пути. Таки образом. На весь путь будет израсходовано 3 7/15, или больше 3,46, заправки. Всего потребуется совершить шестнадцать рейсов. Рассуждая в том же духе, можно показать, что, имея четыре заправки, грузовик сумеет проехать расстояние в 1 1/3 + 1/5 + 1/7 «единиц». На границах отрезков путь длиной в 1 1/3, 1/5 и 1/7 следует расположить бензохранилища. С увеличением числа заправок этот бесконечный ряд расходится, поэтому грузовик сможет пересечь пустыню любой ширины. Если ширина пустыни 1000 иль, то для преодоления этого расстояния потребуется построить 7 бензохранилищ, совершить 64 рейса и израсходовать 7,673 «заправки» бензина.
--Bookworm ID 213 15:45, 15 ноября 2008 (UZT)
Участник:Плюс-ID_298:
1. Задача о грациях. Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой из граций стало по одинаковому числу плодов. Тогда по условию задачи должно быть:
х-9y = 3y x=12y
Ответ: т.е. у каждой из граций до встречи с музами число плодов было кратно 12.
Задача 2. Трое хотят купить дом за 2400 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй – одну треть, а третий -оставшуюся часть. Сколько даст каждый? Решение: Пусть х – цена дома, тогда первый даст – второй – , а третий – 1- - =
=1200 ливров, =800 ливров, =400 ливров.
Ответ: первый – 1200 ливров, второй – 800 ливров, третий – 400 ливров.
Задача 3. Шли 7 старцев. У каждого старца по 7 костылей, На каждом костыле по 7 сучков, На каждом сучке по 7 кошелей, В каждом кошеле по 7 пирогов, В каждом пироге по 7 воробьев. Сколько всего? Решение: 7+7•7+7•7•7+7•7•7•7+7•7•7•7•7+7•7•7•7•7•7= 7+49+343+2401+16807+112649=137256 Ответ: 137256 Сколько месяцев, недель, дней и часов, прожил человек, которому в 1136г исполнилось 26 лет? Ответ: 312 месяцев, 1356 недель, 9497 дней, 227928 часов.
Задача 4. Задача Ал-Карнахи .Решить систему x2+y2 = z2 xz = y2 xy = 10
Решение: Приводим решение самого Ал-Кархи. Из последнего уравнения . Тогда из второго уравнения с учетом полученного соотношения . Следовательно, первое уравнение данной системы примет вид , или . Решая это уравнения как квадратное относительно , получим . Следовательно,
.
Ответ: .
Задача 5. Вечеринка. На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга – с восемью, Вера – с девятью и так далее до Нины, которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров(мужчин) было на вечеринке?
Решение: Задача решается очень просто, если удачно выбрать неизвестное. Будем искать число не танцоров, а танцорок, которое обозначим через Х:
1-я, Мария, танцевала с 6+1 танцорами 2-я, Ольга, » с 6+2 » 3-я, Вера, » с 6+3 » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Х-я, Нина, » с 6+х »
Имеем уравнение: , откуда х=7, а следовательно, число танцоров – 20–7=13.
Ответ: 13 танцоров.
Задача 6. морская разведка. Разведчику (разведывательному кораблю), двигавшемуся в составе эскадры, дано задание обследовать район моря на 70 миль в направлении движения эскадры. Скорость эскадры – 35 миль в час, скорость разведчика – 70 миль в час. Требуется определить, через сколько веремени разведчик возвратится к эскадре.
Решение: Обозначим искомое число часов через х. за это время эскадра успела пройти 35х миль, разведывательный же корабль 70х. разведчик прошел вперед 70 миль и часть этого пути обратно, эскадра же прошла остальную часть этого же пути. Вместе они прошли путь в 70х+35х, равный 2•70 миль. Имеем уравнение: 70х+35х=140, Откуда часов. Разведчик возвратился к эскадре через 1 час 20 минут. Ответ: разведчик возвратился к эскадре через 1 час 20 минут.
Задача 7. мнимая нелепость.
Вот задача, которая может показаться совершенно абсурдной: чему равно 84, если 8•8=54?
Этот странный вопрос далеко не лишен смысла, и задача может быть решена с помощью уравнений.
Решение: Вероятно, что числа, входящие в задачу, написаны не по десятичной системе, - иначе вопрос «чему равно 84» был бы нелепым. Пусть основание неизвестной системы счисления есть х. число «84» означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е. «84»=8х+4 Число «54» означает 5х+4. Имеем уравнение 8•8 =5х+4, т.е. в десятичной системе 64=5х+4, откуда х=12. Числа написаны по двенадцатеричной системе, и «84»=8•12+4=100. значит, если 8•8= «54», то «84»=100. Ответ: «84»=100.
Задача 8. на велодроме. По круговой дороге велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположных направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дороги 170 м?
Решение: Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он проезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170 – 10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 10х=10у.
Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е. 170х – 170у=170
После упрощения этих уравнений получаем: х+у= 17, х –у =1, откуда х=9,у=8(метров в секунду).
Задача 9. рукопожатия. Участники заседания обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. сколько человек явилось на заседание?
Решение: Задача решается весьма просто алгебраически. Каждый из х участников пожал х – 1 руку. Значит, всех рукопожатий должно было быть х(х – 1); но надо принять во внимание, что когда Иванов пожимает руку Петрова, то и Петров пожимает руку Иванова; эти два рукопожатия следует считать за одно. Поэтому число пересчитанных рукопожатий вдвое меньше, нежели х(х – 1), имеем уравнение или, после преобразований, . Откуда . Так как отрицательное решение (-11 человек) в данном случае лишено реального смысла, мы его отбрасываем и сохраняем только первый корень: в заседании участвовало 12 человек. Ответ: в заседании участвовало 12 человек.
Задача 10 При каком расположении четыре двойки изображают наибольшее число? Решение: Возможны 8 комбинаций: 2222, 2222, 2222, 2222, 222 ,222 ,22 ,22 Займемся сначала верхним рядом, т.е. числами в двухъярусном расположении.
Первое – 2222, - очевидно, меньше трех прочих.
Чтобы сравнить следующие два – 2222 и 2222, Преобразуем второе из них: 2222 = 222•11 = = 48411. Последнее число больше, нежели 2222, так как и основание, и показатель у степени 48411 больше, чем у степени 2222.
Сравним теперь 2222 с четвертым числом первой строки – с 2222. Заменим 2222 большим числом 3222 и покажем, что даже это большее число уступает по величине числу 2222. В самом деле, 3222 = = 2110 – степень меньшая, нежели 2222.
Итак, наибольшее число верхней строки – 2222. Теперь нам остается сравнить между собой пять чисел – сейчас полученное и следующие четыре: 222 ,222 ,22 ,22 Последнее число, равное всего 216, сразу выбывает из состязания. Далее, первое число этого ряда, равное 224 и меньшее , чем 324 или 220, меньшее каждого из двух следующих. Подлежат сравнению, следовательно, три числа, каждое из которых есть степень 2. Больше, очевидно, та степень 2, показатель которой больше. Но из трех показателей 222, 484 и 220+2 (= 210•2 • 22≈ 106 • 4) последний – явно наибольший. Поэтому наибольшее число, какое можно изобразить четырьмя двойками, таково: 22 . Не обращаясь к услугам логарифмических таблиц, мы можем составить себе приблизительное представление о величине этого числа, пользуясь приближенным равенством 210 ≈ 1000. В самом деле, 222 = 220 • 22 ≈ 4 • 106,
≈ 24000000 > 101200000.
Итак, в этом числе – свыше миллиона цифр.
Задача 11. Из города А в город В, расположенный ниже по течению реки, пароход шел (без остановок) 5 часов. Обратно ,против течения, он шел(двигаясь с той же собственной скоростью и так же не останавливаясь) 7 часов. Сколько часов идут из А в В плоты (плоты движутся со скоростью течения реки)? Решение: Обозначим через х время (в часах), нужное пароходу для того, чтобы пройти расстояние от А до В в стоячей воде (т.е. при движении с собственной скоростью), а через у – время движения плотов. Тогда за час пароход проходит – расстояния АВ, а плоты (течение) этого расстояния. Поэтому вниз по реке пароход проходит за час расстояния АВ, а вверх (против течения) . Мы же знаем из условия задачи, что вниз по реке пароход проходит за час расстояния, а вверх . Получаем систему Заметим, что для решения этой системы не следует освобождаться от знаменателей: нужно просто вычесть из первого уравнения второе. В результате мы получим: , откуда у =35. плоты идут из А в В 35 часов. --8Б 14:22, 16 ноября 2008 (UZT) МАКСИМУМ ID_266
Задача индийского математика Магавиры
О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов.
решение:C1+C2+C3+C4+C5=(1+1)5-C0=31
Задача индийского математика Шридхары
Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми оттенками: острым, вяжущим, кислым, солёным, сладким. Друг, скажи, каково число всех разновидностей?
решение:Х1+Х2+Х3+Х4+ Х5+Х6=(1+1)6-Х0=63
Задачи Л.Н. Толстого
В рассказе Л.Н. Толстого "Много ли человеку земли нужно?" крестьянину отводилось столько земли, сколько он успевал обежать в течение одного дня. По какому контуру ему выгоднее бежать: по квадратному, шестиугольному(правильный шестиугольник) или по кругу?
Решение: При равенстве периметров этих фигур наибольшую площадь имеет круг.
Задача Пуассона
Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда, один в 8, а другой в 5 пинт. Спрашивается, каким образом налить 6 пинт в сосуд в 8 пинт.
Решение
Приводим один из вариантов решения:
12 8 5
4 8 0
4 3 4
9 3 0
9 0 3
1 8 3
1 6 5
6 6 0
Участник:Весёлые умницы ID_296
1. ЗАДАЧА ВАВИЛОНА
Для определения площади че¬тырехугольника вавилоняне брали произведение полусумм противопо¬ложных сторон. Выяснить, для каких четырехугольников эта формула точно определяет площадь.
Решение. Согласно условию задачи, площадь четырехугольника
где a, b и с, d — две пары противоположных сторон. Эта формула будет точной для прямоугольника. Действитель¬но, для прямоугольника а = b; с = d; S= ac.
2. ЗАДАЧА ИЗ МОСКОВСКОГО ПАПИРУСА
Определить объем квадратной усеченной пирамиды, если ее высота равна 6, сторона нижнего основания 4, верх¬него 2.
Решение. Египтяне решали эту задачу по формуле Vус.пир.= h/3(a2+ab+b2), где h- высота пирамиды, a и b - соответственно нижнее и верхнее основание. Ответ объем равен 56.
3. ЗАДАЧА АРХИМЕДА (автором задачи является величайший математик, фи¬зик всех времен Архимед Сиракузский (287-212 гг. до и. э.). Задача взята из трактата Архимеда «Леммы».).
Если круг описан около квадрата, а другой в него вписан, то описанный круг по площади вдвое больше впи¬санного.
Решение. Sопис. =πR2; Sвпис. =πr2; ; ;
где а — сторона квадрата. Тогда Sопис. =(πа2): 2; Sвпис. =(πа2):4;
Следовательно, Sопис. = 2Sвпис.. что и требовалось доказать.
4. ЗАЧА ДИОФАНТА
Найти два числа, отношение которых 3, а отноше¬ние суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5.
Решение. Вопрос сводится к решению системы уравнений ; . После возведения в квадрат первого равенства получим = 9 или, прибавив по единице к левой и правой частям равенства, найдем, что
= 10, откуда x2 + y2 = 10 y2.
Тогда второе равенство системы можно представить так: или 10y2=5(x+y). Имея в виду, что х =y (согласно первому равенству си¬стемы), получим 10y2 = 5(3y + y); 10 y2 = 20у, откуда у = 2. Следовательно, х = 6.
5. ЗАДАЧА ДИОФАНТА
Найти три числа, если дано, что произведение суммы первых двух на третье есть 35, суммы первого с третьим на второе — 27, а суммы второго с третьим на пер¬вое — 32.
Решение. Вопрос сводится к решению системы (х + у)z= 35; (у + z)у = 27; (у + z )х = 32. Вычитая второе уравнение из первого, находим хz — ху = 8. Складывая полученное уравнение с третьим, будем иметь xz = 20. Но тогда ху =12 и уz = 15. Умножая хz = 20 на уz = 15, получаем xуz2 = 20 •15 или 12z2 = 20 • 15, откуда z= 5. Следовательно, х = 4, у = 3.
6. ЗАДАЧА МЕТРОДОРА (о жизни Метродора ничего не изве¬стно, даже нет сведении о времени его рождении и смерти. В историю математики он вошел как автор интересных задач, составленных в стихах. Задачи Метродора входили в рукописные сборнике и имели большое распространение).
Здесь погребен Диофант, и камень могильный
При счете искусном расскажет нам,
Сколь долог был его век. Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни; В двенадцатой части затем прошла его светлая юность. Седьмую часть жизни прибавим — перед нами очаг Гименея. Пять лет протекли, в прислал Гименей ему сына. Но горе ребенку! Едва половину он прожил Тех лет, что отец, как скончался несчастный. Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой И умер, прожив для науки. Скажи мне, Скольких лет достигнув, смерть восприял Диофант?
Решение. Условие задачи приводит к уравнению
решая которое, получим х = 84. Следовательно, Диофант умер 84 лет.
7. ЗАДАЧА АРИАБХАТЫ (задача взята из трактата «Ариабхатиам» известного индийского математика конца V - начала VI в. Ариабхаты).
Два светила находятся на данном расстоянии (d) друг от друга, движутся одно к другому с данными ско¬ростями (v1, v2). Определить точку их встречи.
Решение. Обозначим через х путь, пройденный до встречи одним светилом, тогда время, необходимое ему для про¬хождения этого пути, будет x : v1. За это время второе светило пройдет путь d- х и затратит на него время (d - x):v2. Теперь составим уравнение x : v1=(d - x):v2, откуда x=dv1:(v1+v2)
8. ЗАДАЧИ БЕГА-ЭДДИНА
Требуется найти число, которое, будучи умножено само на себя, сложено с двумя, затем удвоено, вновь сложе¬но с тремя, разделено на 5, наконец, умножено на 10, в результате дает 50.
Решение. Решение дается «методом обращения»: 50 : 10 = 5; 5 • 5 = 25; 25 - 3 = 22; 22 : 2 = 11; 11 - 2 = 9; = 3, что и будет служить ответом.
9. ЗАДАЧИ АЛ-КАШИ
Найти число, одна треть и одна четверть которого составляют 21.
Решение. Эту задачу в своем арифметическом трактате «Рас¬крытие тайн науки Габар» ал-Кальсади решает «методом чашек весов».
Пусть х = 12 (правая чашка), тогда первая погрешность будет 14. Если же х = 24 (левая чашка), то вторая погреш¬ность будет 7. Следовательно,
что и составляет окончательный результат.
10. ЗАДАЧА БХАСКАРЫ
Корень квадратный из половины пчелиного роя полетел к кусту жасмина. Восемь девятых роя осталось дома. Одна пчелка полетела за трутнем, обеспокоенная его жужжанием в цветке логоса, куда он попал вечером, при¬влеченный приятным ароматом, и не мог оттуда выбраться, так как цветок закрылся. Скажи мне число пчел роя.
Решение. Полагая, что число пчел роя 2х2, получаем уравне¬ние 2х2 = х + 16:9х2+2 или откуда 2 х2 = 9х = 18, откуда х = 6 и 2х2 = 72.
11. ЗАДАЧА ИЗ РУКОПИСИ XVII а.
Пришел христианин в торг и прянес лукошко яиц. И торговцы его спрошали: «Много ли у тебя в том лукошке яиц?» И христианин молвил им так: «Яз, господине, всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только яз помню: перекладывал яз те яйца из лукошка по два яйца, ино одно яйцо лишнее осталось на земли; и яз клал в лукошко по 3 яйца, ино одно же яйцо осталось; и яз клал по 4 яйца, ино одно же яйцо осталось; и яз их клал по 6 яиц, ино одно же яйцо осталося; и яз клал по 7 яиц, ино все по сему при¬шло. И по сколько в том лукошке яиц было, сочти ми».
Решение. Составитель рукописи приводит ответ: 721 яйцо. Видимо, он не был знаком с понятием наименьшего кратного и дал не наименьшее возможное решение. Наименьшее ре¬шение составляет 49 яиц.
12. ЗАДАЧА БЕЗУ( задача составлена французским математиком Этьеном Безу (1730—1783)
Некто купил лошадь и спустя некоторое время про¬дал ее за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается, за какую сумму он ее купил.
Решение. Предположим, что лошадь куплена за х пистолей, тогда при продаже некто потерял х2:100 пистолей. Следовательно, согласно условию задачи, х – х2:100=24. Решая полученное квадратное уравнение, получаем два результата: х1 = 40 и х2 = 60. Таким образом, некто купил лошадь за 40 или 60 пис¬толей .
--Bookworm ID 213 17:40, 17 ноября 2008 (UZT) Задача №114. «Профессор на эскалаторе». Мартин Гарднер(США)Польский математик Станислав Шляпенарский, идя очень медленно по движущемуся эскалатору, успевает спуститься на 50 ступеней прежде чем эскалатор кончается Из любопытства он взбегает затем по тому же эскалатору (не пропуская при этом ни одной ступени) и оказывается наверху после того, как преодолеет 125 ступеней. Сколько ступеней можно будет насчитать в остановившемся эскалаторе, если предположить, что вверх профессор взбегает в пять раз быстрее, чем спускается вниз (то есть за то время, за которое, идя вниз, профессор опускается на одну ступеньку, взбегая наверх, он успевает подняться на пять ступенек)?
Решение: Пусть n-число ступеней на видимой части эскалатора. Время, за которое профессор Шляпенарский успевает спуститься на одну ступеньку, примем за единицу. Поскольку для того, чтобы спуститься по движущему вниз эскалатору, профессору необходимо пройти 50 ступеней, за время спуска (равное 50 единицам) под гребенкой эскалатора исчезают и становятся невидимыми n-50 ступеней. Поднимаясь наверх (против движения) по тому же эскалатору, профессор преодолевает 125 ступеней, проходя за каждую единицу времени 5 ступеней. Следовательно, в принятых нами единицах время подъема составляет 125/5, или 25 единиц, и под гребенкой эскалатора успевают исчезать 125-n ступеней. Поскольку эскалатор можно считать движущимся с постоянной скоростью, для n получается следующее линейное уравнение: (n–50)/50=(125–n)/25, получим, что n=100. Ответ: 100 ступенек.
Задача №115. Задача «Рассеянный кассир». Мартин Гарднер(США)Рассеянный кассир, оплачивая чек мистеру Брауну, перепутал доллары и центы и отсчитал клиенту доллары вместо центов и центы вместо долларов. Купив газету за пять центов, Браун обнаружил, что денег у него ровно в двое больше, чем он должен получить по чеку. На какую сумму был выписан чек?
Решение: Пусть х – число долларов, а у – число центов в той сумме, на которую мистер Браун выписал чек. Запишем условие задач в виде уравнения: 100у+х–5=2(100х+у), или, 99у-199х=5. Это диофантово уравнение, имеющее бесконечно много решений в целых числах. Обычный метод решения с помощью непрерывных дробей дает наименьшее значение в положительных числах х=31, у=63. Следовательно, мистер Браун выписал чек на сумму 31 доллар 63 цента. Это единственный ответ к задачи, поскольку ближайшее к найденному решение х=129, у=262 не удовлетворяет требованию: у должен быть меньше 100 (В одном долларе сто центов). Ответ: 31 доллар 63 цента.
Задача №116. задача «Чему равен один лунар?» Мартин Гарднер(США)Герои романа Герберта Уэллса «Первые люди на Луне» обнаружили, что наш естественный спутник населен разумными насекомообразными существами, обитающими в пещерах под лунной поверхностью. Предположим, что эти существа пользуются единице длины, которую мы назовем «лунаром». Она выбрана так, что площадь лунной лунной поверхности, выраженная в квадратных лунарах, в частности, совпадает с объемом Луны в кубических лунарах. Диаметр Луны составляет 3476 км. Скольким километрам равен один лунар?
Решение: Объем сферы равен кубу ее радиуса, умноженному на 4π/3. Площадь поверхности сферы равна квадрату ее радиуса, умноженному на 4π. Выразив радиус Луны в лунарах и предположив, что ее поверхность в квадратных лунарах равна ее объему в кубических лунарах, мы сможем определить длину радиуса, если приравняем оба выражения и решим полученное уравнение относительно радиуса. Число π сокращается и в правой и в левой части , и мы получаем, что радиус Луны равен трем лунарам. Поскольку радиус Луны равен 1738 км, один лунар равен 579 ⅓ км. Ответ: 579 ⅓ км.
Задача №117. Задача «Марширующие курсанты и беспокойный терьер». Мартин Гарднер(США)Курсанты военного училища построены в каре (квадрат со стороной 15м) и маршируют с постоянной скоростью. Небольшой терьер, любимец роты выбегает из середины последней шеренги (из точки А) и устремляется по прямой к середине первой шеренги (к точке В). Достигнув цели, он поворачивает и снова бежит по прямой к середине последней шеренги. К моменту его возвращения в точку А курсанты успевают пройти ровно 15м. какое расстояние про бежал терьер, если предположить, что он двигался с постоянной скоростью, и пренебречь потерей времени на повороте?
Решение: Примем за единицу длины ширину (или равную ей глубину) строя курсантов, а за единицу времени – то время, которое требуется им, чтобы пройти единицу длины. В принятых единицах скорость передвижения строя также будет единичной. Пусть х – полное расстояние пройденное терьером (его скорость будем выражать той же величиной х). Когда пес бежит к первой шеренге, его скорость относительно курсантов равна х–1. При возвращении в последнюю шеренгу скорость терьера составляет х+1.яКаждый раз он пробегает (относительно шеренги) расстояние 1 и путешествия в оба конца затрачивает единицу времени. Получим уравнение: 1/(х-1)+1/(х+1)=1, или квадратное х2-2х-1=0. Положительный корен этого уравнения будет равен 1+√2. Умножив его на 15, получаем окончательный ответ 36,15……м. Ответ: 36,15м.
Задача № 118. Задача «Самолет и ветер». Мартин Гарднер (США)Самолет летит по прямой из аэропорта А в аэропорт В, а затем обратно из В в А и снова по прямой. Он летит с постоянной скоростью, ветер отсутствует. Будет ли время в пути больше, меньше или останется таким же, если полет происходит по том уже маршруту, с той же скоростью, но на обоих отрезках пути дует с одинаковой скоростью ветер? Направление ветра из А в В.
Решение: поскольку при полёте из А в В дует попутный ветер, а при полёте из В в А, - встречный ветер, многие поддаются искушению и думают, что опережение графика в первом случае и запоздание во втором компенсируют друг друга; так что полное время в полёте остаётся таким же, как и при отсутствие ветра. Такое заключение неверно, ибо во время полёта самолёта с попутным ветром меньше, чем время полёта против встречного ветра, в силу чего самолёт запаздывает. Полное время полёта при постоянном по величине и направлению ветре, независимо от этой величины и направления, всегда больше, чем в безветренную погоду.
Задача №119. Сколько стоят обитатели зоомагазина? Мартин Гарднер(США) Владелец небольшого зоомагазина приобрёл некоторое количество хомяков и вдвое меньше количество пар длиннохвостых попугаев. За каждого хомяка он заплатил по два доллара, а за каждого попугая – по одному. При продаже он запрашивал за каждого из них на 10% больше той что платил сам. Распродав всех хомяков и попугаев, кроме семи, владелец магазина обнаружил, что выручка от продажи в точности равна сумме, затраченной им на всю покупку. Следовательно, его потенциальная прибыль равна общей цене оставшихся семи хомяков и попугаев. Сколько стоит оставшаяся живность?
Решение: Пусть х – число первоначально купленных хомяков (и равное им число попугаев), у – число хомяков среди семи оставшихся непроданными обитателей зоомагазина. Тогда число непроданных попугаев, равно 7-у. Число проданных хомяков (по цене 2.20 доллара за штуку – 2 доллара «себестоимость» + 10% надбавки) равно х-у, а число проданных попугаев (по 1.10 доллара за каждого) равно х-7+у. Вырученная хозяином сумма составляет 2х долларов за хомяков и х долларов за попугаев, то есть всего 3х долларов. От продажи хомяков хозяин получил 2,2(х-у) долларов, а от продажи попугаев – 1.1(х-7+у) долларов, то есть всего 3.3х-1.1у-7.7 доллара. Далее получаем уравнение: 3х=11у+77. Поскольку х и у – целые положительные числа и у не может превышать 7, проще всего подставить вместо у восемь возможных значений (в том числе и нулевое) и посмотреть, при каком из них х также принимает целое значение. Попугаев покупают парами. Это дополнительное условие исключает у = 2. Теперь уже ничто не мешает нам восстановить полную картину. Владелец зоомагазина приобрёл 44 хомяка и 22 пары попугаев, уплатив за всю покупку 132 доллара. Он продал 39 хомяков и 21 пару попугаев за 132 доллара. Оставшиеся 5 хомяков стоят 11 долларов, а два попугая – 2.20 доллара, то есть всего 13.20 доллара. Прибыль равна 13,20 доллара.
Задача №120. Рекламные щиты на шоссе. Мартин Гарднер(США)Смит мчался на своей машине по шоссе с постоянной скоростью. Рядом с ним в кабине сидела его жена. «Ты заметила, - спросил он, - что эти надоедливые щиты с рекламой пива расставлены на одинаковом расстоянии друг от друга? Хотелось бы знать, на каком именно.» Миссис Смит посмотрела на часы и сосчитала, сколько рекламных щитов промелькнуло за окном в течение одной минуты. «Какое странное совпадение! – воскликнул Смит. – Если это число умножить на 10, то получится в точности скорость нашей машины в милях в час.» Предположи, что скорость машины постоянная, щиты расставлены через правильные промежутки, а минуты, отмеренная миссис Смит, начинается и кончается в моменты когда машина как раз по серди расстояния, отделяющего один рекламный щит от другого. Спрашивается, чему равно это расстояние?
Решение: Пусть х – число щитов, промелькнувших в течении одной минуты. За час машина проедет мимо 60х щитов. Скорость машины, как известно из условия задачи, равна 10х миля/час. Пройдя расстояние в 10х миль машина проедет мимо 60х щитов, следовательно, на расстоянии 1мили она проедет мимо 60х/10х, или 6 щитов. Это и означает, что расстояние между щитами равно 1/6 мили, или 880 футам.
Задача №121 Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)Андрей бегает на лыжах быстрее Вити, но медленнее Жени. Они одновременно побежали по круговой дорожке из одного места в одном направлении и остановились в момент, когда был все трое в одном месте. За это время Женя обогнал Витю 13 раз. Сколько всего было обгонов?
Решение. Те 13 моментов времени, когда Женя обгонял Витю, разбивают всё время движения на 14 промежутков, и за каждый промежуток Женя обгонял Витю ровно на один круг. Значит, Женя сделал на 14 кругов больше Вити. Пусть Андрей сделал на k кругов больше Вити. По условию 0<k<14. Рассуждая аналогично, получаем, что Андрей обогнал Витю k – 1 раз. Но Андрей сделал на 14 – k кругов меньше Жени, поэтому Женя обогнал его 13 k – раз. Всего произошло 13+( k-1)+(13- k)=25обгонов.
Задача №122 Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР) Математик шел домой вверх по течению ручья со скоростью, в полтора раза большей, чем скорость течения, и держал в руках шляпу и паку. На ходу он бросил в ручей шляпу, перепутав её с палкой. Вскоре, замети ошибку, он бросил палку в ручей и побежал назад со скоростью вдвое большей той, с какой шел вперёд. Догнав плывущую шляпу, он мгновенно достал её из воды, и как ни в чём ни бывало пошел домой с прежней скоростью. Через 30 секунд после того, как он догнал шляпу, он встретил палку, плывущую ему на встречу. Насколько раньше пришел бы он домой, если бы всё время шел вперёд?
Решение. на две с половиной минуты. Пусть математик бежал назад t секунд. Тогда палка плыла назад t+40 секунд. Обозначим скорость течения v. Тогда скорость ходьбы равна 1,5v, бега - 3v. Расстояние, которое он бежал назад, равно расстоянию, которое плыла палка до встречи с ним, плюс расстояние, которое он шел вперёд, выловив шляпу, до встречи с палкой: 3vt=1,5v * 40 + v(t+40), Откуда t = 50 секунд. Время, которое он потерял, равно 50 секунд плюс время, которое ему потребовалось, чтобы пройти то же расстояние, а оно вдвое больше. Всего получается 50+50*2 = 150 секунд.
Задача №123 Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., (СССР)Четверть участников шахматного турнира составляли гроссмейстеры, остальные были мастера. Каждые два участника сыграли друг с другом один раз. За выигрыш присуждалось одно очко, за ничью – полочка, за проигрыш – ноль. Мастера в сумме набрали 3 1,2 раза больше очков, чем гроссмейстеры. Сколько было мастеров и сколько гроссмейстеров?
Решение. Ответ: 9 мастеров и 3 гроссмейстера. Если n – число участников матча, то n(n-1)/2 – общее количество очков в этом матче. --Bookworm ID 213 17:40, 17 ноября 2008 (UZT)
Задачи из сборников занимательных задач конца XVIII века.
1 Коза.
Один человек купил трех коз и заплатил 3 рубля. Спрашивается: по чему пошла коза?
Ответ: Коза пошла по земле.
2 Много ли ног? .
Мельник пришел на мельницу. В каждом из четырех углов он увидел по 3 мешка, на каждом мешке сидело по 3 кошки, а каждая кошка имела при себе троих котят. Спрашивается, много ли ног было на мельнице?
Ответ: Было две ноги (ноги мельника).
3 Одним мешком- два мешка .
Как можно одним мешкои пшеницы, смоловши ее, наполнить 2 мешка, которые столь же велики, как и мешок, в котором находится пшеница.
Решение: Нужно один мешок вложить в другой мешок и засыпать муку.
4 Сколько уток? .
Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток?
Ответ: Всего летело 3 утки.
5 Что это такое?.
Что это такое: две ноги сидели на трех, а когда пришли четыре и утащили одну, то две ноги, схватив три, бросили их в четыре, чтобы четыре оставили одну.
Получился следующий сюжет: Человек сидел на табуретке (трехногой), пришла кошка и утащила куриную ногу. Человек бросил табуретку в кошку, чтобы та оставила куриную ногу.
6 Возможно ли такое?.
Что это может быть: две головы, две руки и шесть ног, а в хотьбе только четыре?
Решение: Это всадник на лшади.
7 За сколько минут? .
Ребыта пилят бревна на метровые куски. Отпиливание одного такого куска занимает одну минуту. За сколько минут они распилят бревно длиной 5 метров?
Решение: Чтобы распилить бревно длиной 5 метров на метровые куски, нужно сделать 4 надпила. На отпиливание одного куска уходит минуту, значит на отпиливание 4х таких кусков уйдет 4 минуты (и еще один, пятый метровый кусок останется).
Ответ: 4 минуты.
8 Землекопы.
Два землекопа выкапывают 2 м канавы за 2 часа. Сколько землекопов за 5 часов выкопают 5 м канавы?
Ответ: Два землекопа.
9 Два отца и два сына.
Два отца и два сына поймали трех зайцев, а досталось каждому по одномузайцу. Спрашивается, как это могло случиться?
Ответ. Их было трое: дедушка, отец и сын.
10 Как это могло быть?.
У одного старика спросили, сколько ему лет. Он ответил, что ему сто лет и еще несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это может быть?
Ответ: Старик родился в весокосный год, 29 февраля, а потому праздновал день рождения раз в четыре года.
11 Как разделить полтину на половину? .
Решение: Так как полтина - это 50 копеек, то надо разделить 50 копеек на 1/2. получим 500: 1/2 = 50*2=100 (коп). 100 коп. = 1 руб.
ответ: 1 рубль.
12 Написать число .
Написать цифрами число, состоящее из одиннадцати тысяч, одиннадцати сотен и одиннадцати единиц.
Решение: Конечно, многие считают, что это будет число 111 111. На самом деле это число равно 12111, так как если к 11 000 прибавить 11 сотен,т.е. 1100, и 11 единиц, то получим число 12 111.
Ответ: 12 111. --Решарики ID 284 00:03, 18 ноября 2008 (UZT)
