Точка пересечения биссектрис треугольника

Тема исследования

Точка пересечения биссектрис треугольника

Актуальность проблемы

Исследование по этому вопросу дает возможность различать все замечательные точки треугольника, составить алгоритм или правило нахождения центра вписанной окружности в треугольник и строить эту окружность.

Цель

Формирование компетентности в сфере самостоятельной деятельности, навыков в работе в команде и индивидуально с большим объемом информации, умение видеть проблему и находить пути решения.

Задачи

• Сформировать представление о том, что каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла и обратно: если точка одинаково удалена от сторон угла, то эта точка принадлежит биссектрисе угла.
• Сформировать представление о том, какую окружность называют вписанной в треугольник и что в любой треугольник можно вписать окружность, центром которого является точка пересечения биссектрис треугольника.
• Выработать умение применять данные свойства при решении различных задач.
• Научиться излагать в кратной форме свои мысли устно и письменно.
• Научиться оформлять правильно результаты исследований.

Гипотеза

В любом треугольнике все биссектрисы пересекаются в одной точке

Этапы исследования

1.Поиск информации в различных источниках.

2.Измерения и вычисления.

3. Анализ, обработка и систематизация полученной информации.

4. Консультация учителя.

5.Отчет группы по результатам проделанной работы.

6. Корректировка плана по теме исследования.

7. Создание презентации.

8. Представление работы творческой группой.

9.Обсуждение готового продукта по критериям оценок результатов исследования.

10.Подведение итогов исследования.

Объект исследования

• Треугольник,
• Биссектриса треугольника,
• Вписанная в треугольник окружность.

Методы

1. Сбор информации.

2.Анализ собранной информации.

3. Систематизация данных.

4.Взаимообсуждение

5. Выводы

Ход работы

Для решения поставленных задач по данной теме учащиеся разделились на группы.

1-ая группа исследовала вопрос о равноудалености точек биссектрисы угла от сторон угла. Проведены необходимые построения и измерения. Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки: Дан угол ВАС, проводим окружность произвольного радиуса с центром в вершине А этого угла. Она пересечет стороны угла в точках В и С. Затем проводим две окружности одинакового радиуса с центрами в точках В и С. Они пересекутся в двух точках, из которых хотя бы одна лежит внутри угла. Обозначим ее буквой Е. Луч АЕ является биссектрисой угла. Учащиеся приводят доказательство того, что луч АЕ является биссектрисой угла ВАС. Рассмотрим треугольники АСЕ и АВЕ. Они равны по трем сторонам. АЕ – общая сторона; СЕ=ВЕ по построению; АС=АВ как радиусы одной и той же окружности. Из равенства треугольников АСЕ и АВЕ следует, что углы САЕ и ВАЕ равны , т.е. луч АЕ- биссектриса угла ВАС. Затем учащиеся опытным путем находят расстояния от какой либо точки биссектрисы угла до сторон этого угла. Измерения показывают равенство этих расстояний. Эта же группа приводит доказательство того, что каждая точка биссектрисы неравернутого угла равноудалена от его сторон. Возьмем произвольную точку М на биссектрисе угла ВАС, проведем перпендикуляры МК и МД к прямым АВ и АС и докажем, что МК=МД. Рассмотрим прямоугольные треугольники АМК и АМД. Они равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, МК=МД.

2-ая группа учащихся исследует вопрос о том, что каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на биссектрисе. Пусть точка М лежит внутри угла ВАС и равноудалена от его сторон АВ и АС. Покажем, что АМ- биссектриса угла ВАС. Проведем перпендикуляры МК и МД к прямым АВ и АС. Прямоугольные треугольники АМК и АМД равны по гипотенузе и катету (АМ- общая гипотенуза, МК=МД по условию). Следовательно углы МАК и МАД равны, луч АМ- биссектриса угла ВАС.

3-я группа учащихся исследует вопрос о том, что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АД и ВН треугольника АВС и проведем из этой точки перпендикуляры ОК,ОМ и ОТ соответственно к прямым АВ,ВС,АС. ОК= ОМ и ОК= ОТ. Поэтому ОМ=ОТ, т.е.. точка О равноудалена от сторон угла АСВ, значит лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно: все биссектрисы треугольника пересекаются в точке О.

4-ая группа учащихся исследует вопрос о том, что в любой треугольник можно вписать окружность. Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведем из токи О перпендикуляры ОК,ОМ и ОД соответственно к сторонам АВ, АС и ВС треугольника АВС. Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то ОК=ОД=ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, Д, М так как они перпендикулярны к радиусам ОК, Д, и ОМ. Значит, окружность с центром ОК является вписанной в треугольник.

По результатам своих исследований учащиеся проконсультировались с учителем.

Затем провели обсуждение результатов исследований.

После корректировки планов исследования каждая группа представила задачи:

• Стороны угла А равного 60 градусам касаются окружности с центром О радиуса r=5см. Найдите ОА.
• В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса 4см. Гипотенуза этого треугольника равна 26см. Найдите периметр этого треугольника.
• Точка касания окружности , вписанной в равнобедренный треугольник делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3см и 4см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.
• В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см., а боковая сторона равна 13см. найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Мозговой штурм.

Самооценка и взаимооценка результатов исследований.

Обсуждение готового продукта по критериям оценки результатов исследования.

Рефлексия.

Наши результаты

• Создали презентацию по теме « Пересечение биссектрис треугольника –это центр вписанной окружности в треугольник».
• Создали буклет на тему « Окружность, вписанная в треугольник»
• Составили набор задач по данной теме

Выводы

• Результаты наших исследований показали , что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка равноудалена от сторон этого треугольника.
• В любой треугольник можно вписать окружность , центром которого является точка пересечения биссектрис этого треугольника, а радиусом расстояние от центра до любой из сторон.
• Научились применять полученные в результате исследований свойства при решении задач.
• Научились работать в команде и индивидуально с большим объемом информации.
• Научились правильно оформлять результаты своих исследований .

Список ресурсов

Печатные издания:

• Смирнова Е.С. « Курс наглядной геометрии» М., Просвещение 2002г
• Б.Г.Зив, В.М. Мейлер « Дидактические материалы по геометрии 8 класс» М., Просвещение 2006г
• Атанасян Л.С., БутузовВ.С. и др. «Геометрия, 8 кл. Рабочая тетрадь», - М: Просвещение, 2007- 2010г.
• С.М. Саврасова « Упражнения по планиметрии на готовых чертежах» М., Просвещение, 2003г