Фокусы на службе у учителя
Эвристическое мышление - это мышление, направленное на выбор определенных средств и
приемов, с помощью которых решается ранее неизвестная ученику проблема. В процессе
обдумывания любой эвристической задачи или ситуации человек сам находит способ действия, сам
подбирает ключи к ответу. При этом каждый с учетом собственных способностей, склонностей и
интересов, накопленного багажа знаний и опыта находит свой, неповторимый путь решения
проблемы, тем самым развивая эвристический способ мышления и “оттачивая” свою
индивидуальность. Поэтому эвристическое мышление школьников следует формировать, так как оно
является неотъемлемой составляющей характеристики индивидуальности человека.
Я стараюсь развивать эвристическое мышление на занятиях математического кружка. Я согласна
с высказыванием Льва Толстого о том, что « Если ребенок понимает, как работать с числами, то
его эта работа увлекает больше, чем сам сюжет задачи». Поэтому на занятиях кружка мы не
только решаем задачи повышенной сложности и логические задачи, разбираем приемы быстрого
счета, признаки делимости, различные системы счисления, но и пытаемся решать проблемы.
В этом году я поставила перед детьми проблему: Как повысить у школьников интерес к
математике? Как убедить их в том, что вычисления на калькуляторе и телефоне пагубно влияют на
их способности?
Я получила много предложений от детей, как по их мнению можно попытаться решить, хоть
частично, эту проблему. Но одно мне понравилась больше всех. Её предложил мне мой сын,
Сергей, ученик 5 класса. Более того, он не только предложил, но и стал претворять свою идею
на практике. Этой идеей я хочу поделиться с вами.
Как стать успешным в классе? Как стать интересным для одноклассников? Как показать людям,
что считать быстро и правильно это очень здорово и полезно? Надо их удивить, надо им показать что то, что заденет их за живое – математические фокусы!!! Их показывают редко, но освоить их может любой, но чем меньше ребенок, тем более ошеломляющий эффект он производит. Фокусы можно показывать не только на занятиях кружка, но и на уроках, на предметной неделе и т. д. А если не говорить разгадку, а дать время, чтобы дети сами додумались, как это делается…То у детей может развиваться не только эвристическое мышление, но и многое другое…
Далее в работе рассмотрены признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13. Собран материал о двоичной системе, правилах сложения и произведения, правила перевода из десятичной в двоичную систему и, наоборот, из двоичной в десятичную.
Приведены несколько фокусов на признаки делимости и использование двоичной системы, и
использование циклического числа.
Глава 1. Признаки делимости
1.1.ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 2, НА 5, НА 10.
Числа, делящиеся на 2, называются четными числами; не делящиеся на 2 – нечетными числами. Четные и нечетные числа имеют некоторые очень простые свойства: сумма, разность,
произведение четных чисел – четны; четна сумма и разность нечетных чисел, а их произведение
нечетно.
Делимость натурального числа на 2,на 5, и на 10 зависит от последней цифры этого
числа: число делится на 2, на 5, или на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра
делится соответственно на 2,на 5 или 10.
Если число не делится на 2, на 5 или на 10, то и само число и его последняя цифра дают
при делении на 2, на 5 или 10 одинаковые остатки
Почему?
2, 5, 10, - это единственные делители числа 10 (кроме еще 1), а мы записываем числа в
десятичной системе. Если 10 делится на 2, то и любое количество десятков будет делиться на 2.
Всякое число складывается из какого-то количества десятков, и какого – то количества единиц.
Рассуждая аналогично, получаются признаки делимости на 5 и на 10
ВЫВОД:
Делимость зависит от последней цифры.
1.2.ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 3, НА 9
Делимость натурального числа на 3, и на 9 зависит от суммы цифр этого числа: число
делится соответственно на 3 или на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3
или на 9.
Если сумма цифр числа не делится на 3 или на 9, то остаток при делении этого числа на 3
или на 9 совпадает с остатком от деления на 3 или на 9 его суммы цифр.
ВЫВОД:
Делимость зависит от суммы цифр.
1.3. ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 4, НА 8
По последней цифре можно определить, делится ли число на какой – нибудь делитель числа
10. Число 4 является делителем числа 100, а число 8 является делителем числа 1000.
Всякое число складывается из какого – то числа сотен и какого – то числа единиц. Так как
любое число сотен делится на 4, то все число делится или не делится на 4 в зависимости от
того, сколько в нем единиц сверх целого числа сотен. Если на 4 делится число, записываемое
двумя последними цифрами данного числа, то на 4 делится и все число.
Всякое число складывается из какого – то числа тысяч и какого – то числа единиц. Так
как любое число тысяч делится на 8, то все число делится или не делится на 8 в зависимости
от того, сколько в нем единиц сверх целого числа тысяч. Если на 8 делится число, записываемое
тремя последними цифрами данного числа, то на 8 делится и все число.
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда на 4 делится число, записываемое двумя его
последними цифрами.
Числа делится на 8 тогда и только тогда, когда делится на 8 число, записываемое тремя
последними его цифрами.
1.4. ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 6
Признак делимости на 6 связан с признаком делимости на 2 и на 3. Если число делится на 6, то
оно должно оканчиваться на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8), а сумма его цифр должна делиться на 3
1.5. ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 7
Признак делимости на 7 нельзя применять к числам меньшим 1000. Для двузначных и трехзначных
чисел делимость на 7 приходится проверять прямым делением.
Правило деления числа на 7:
Чтобы узнать, делится ли многозначное число на 7, нужно отделить от него три знака справа;
получится два числа, одно из которых трехзначное; затем от большего из этих чисел надо отнять
меньшее; исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда полученная разность делится
на 7.
Признак делимости получается из того, что на 7 делится число1001. Но 1001 = 7*11*13.
Значит, 1001 делится на 7, на 11, на 13, на 77, на 91, на 143 и на 1001. Проверять делимость
на каждое из этих чисел можно тем же способом, что и делимость на 7.
1.6. ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 11
Существует и другой признак делимости на 11 для любых чисел.
Чтобы узнать, делится ли число на 11, нужно
1. найти сумму цифр, стоящих на нечетных местах (справа налево)
2. найти сумму цифр, стоящих на четных местах (всех остальных)
3. найти разность полученных сумм
4. если разность делится на 11, то и число делится на 11.
Знание делителей и кратных помогает находить ошибки в вычислениях, даже не повторяя этих
вычислений.
Глава 2. Двоичная система
Наименьшее из чисел, которое можно взять за основание системы счисления,- это
число2.
Соответствующая этому основанию система, называется двоичной, - одна из очень старых систем.
Она встречалась в весьма несовершенной форме у некоторых племен Австралии и Полинезии.
Удобство этой системы в ее необычайной простоте. В двоичной системе участвуют только две
цифры: 0 и 1, а число 2 представляет собой единицу уже следующего разряда. Просто выглядят и
правила действий над числами в двоичной системе.
Основные правила сложения задаются основными равенствами: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=(10)2
Недостаток двоичной системы состоит в том, что для записи не очень больших чисел
приходится использовать много знаков. Например, число 1000 записывается в двоичной системе в
виде
1111101000 т.е. с помощью десяти цифр.
Однако этот недостаток окупается рядом преимуществ, которые служат причиной того, что
двоичная система получила широкое распространение в различных областях техники,
в особенности в современных вычислительных машинах и компьютерах.
Глава 3. Математические фокусы
ФОКУС ПЕРВЫЙ
Один человек записывает на листочке бумаги любое трехзначное число. Передает другому. Второй
приписывает к этому числу справа такое же число и передает эту запись уже шестизначного числа
третьему. Третий пусть разделит данное число на 7 и передаст четвертому. Четвертый разделит
этот результат на 11 и передаст пятому. Пятый разделит результат на 13 и передаст первому.
Если все вычисления были выполнены правильно, то первый получит трехзначное число, которое он
первоначально написал на бумаге.
В данном фокусе удивляет не то, что первый получает записанное им число, а то что
«фокусник» уверен, что данное число делится на 7, 11, 13 – что бывает не так уж и часто.
Разгадка в том, что приписывая к трехзначному числу точно такое же трехзначное число это
равносильно умножению на 1001. А 1001 равно произведению 7, 11, 13.
ФОКУС ВТОРОЙ
Попросить человека записать число. Затем найти сумму его цифр. Затем вычесть из числа его
сумму цифр. Затем в полученной разности зачеркнуть любую цифру, кроме нуля. И сообщить
получившееся число. Можно сразу сказать, какую цифру он зачеркнул.
Разгадка фокуса в том, что задуманное число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при
делении на 9. Значит, их разность будет делиться на 9, поэтому сумма цифр этой разности
делится на 9. Остается только найти сумму не зачеркнутых цифр и ближайшее число, которое
делится на 9. Зачеркнутая цифра равна разности между найденной суммой и ближайшим числом,
делящимся на 9. Если сумма сразу делится на 9, то зачеркнутая цифра равна 9, так как
зачеркивать 0 нельзя.
ФОКУС ТРЕТИЙ
Попросить человека написать на одном листочке четное число, а на другом нечетное число и
положить одну табличку в левый карман, а другую в правый. Пытаемся угадать, где четное число,
в правом или в левом кармане. Для этого человек должен только умножить на 2 содержимое
правого кармана и прибавить к результату содержимое левого кармана. Если он сообщит четный
результат, то в правом кармане число нечетное, а если он сообщит нечетный результат, то в
правом кармане четное число.
Разгадка фокуса в том, что при умножении на 2 произведение всегда будет четным, а если к
четному числу прибавить четное, то сумма будет четным числом, а если прибавить нечетное
число, то сумма будет нечетным числом.
ФОКУС ЧЕТВЕРТЫЙ
Загадайте целое число от 1 до 1000. Это число можно отгадать, задав максимум 10 вопросов, на
которые ответ будут только «да» или «нет».
Разгадка фокуса в том, что число от 1 до 1000 может быть записано в двоичной системе при
помощи не более чем десяти знаков. Вопросы и задания будут следующие:
1. Разделите задуманное число на 2. Разделится ли оно без остатка? Если ответ «да», то
запишем цифру нуль, если «нет», то запишем единицу (мы записываем остаток от деления
задуманного числа на 2)
2. Разделите на 2 то частное, которое получилось при первом делении. Делится ли оно без
остатка? Если ответ «да», то пишем нуль, если «нет», то один. и т.д.
3. Повторив эту процедуру 10 раз (или меньше) мы получим 10 цифр (или меньше), каждая
из которых есть нуль или единица.
4. Цифры образуют запись искомого числа в двоичной системе. Осталось только перевести
число из двоичной системы в десятеричную систему и число будет отгадано.
ФОКУС ПЯТЫЙ
Есть 7 табличек, каждая из которых содержит, подобно шахматной доске, 64 клетки. В эти
клетки вписаны различные числа от 1 до 127. Задумайте какое – либо из этих чисел и назовите,
в каких табличках это число встречается. (номера табличек от 1 до 7) Можно отгадать
задуманное число.
Разгадка фокуса состоит в том, что каждое число от 1 до 127 надо записать в двоичной
системе (запись состоит не более, чем из 7 цифр), а затем если число содержит 1на к-ом месте
(к=1,2,3,4,5,6,7), то его внести в к-ую таблицу, если на к-ом месте стоит 0, то число в эту
таблицу не вносить.
Когда будут называть номера табличек, где записано задуманное число, это значит, что
называют запись числа в двоичной системе. Остается только перевести данную запись из
двоичной системы в десятеричную.
1 3 5 7 9 11 13 15
17 109 27 105 23 101 19 31
33 93 43 89 39 85 35 47
49 77 59 73 55 69 51 63
65 61 75 57 71 53 67 79
81 45 91 41 87 37 83 95
97 29 107 25 103 21 99 111
113 115 117 119 121 123 125 127
Рис.1
ФОКУС ШЕСТОЙ
Число 142857 называется циклическим числом. Это связано с тем, что если это число умножить
на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, то получится число, составленное из тех же цифр, с круговой их
перестановкой. На этом и основан конкурс.
142857 * 5 = 714285
142857 * 4 = 571428
142857 * 6 = 857142
142857 * 2 = 285714
142857 * 3 = 428571
На картах пишутся цифры 2, 3, 4, 5, 6, и даются второму участнику фокуса. Карты с цифрами
1, 4, 2, 8, 5, 7 остаются у фокусника.
Выкладывается число 142857, второй участник выбирает любую свою карту, а фокусник просит
умножить 142857 на число, которое он вытащил. Пока второй участник умножает, фокусник
собирает карты и перекладывает карты следующим образом: если надо умножить число на 6, то
произведение должно заканчиваться двойкой, т.к. 6 * 7 = 42. Если колоду снять так, чтобы
двойка оказалась внизу, то после раскрытия карт она окажется последней картой и изображаемое
картами число совпадает с ответом второго участника.
ЛИТЕРАТУРА
1. М.Я. Выгодский, Справочник по элементарной математике.
Издательство Санкт – Петербург, 1994.
2. В.Т. Воднев и др., Основные математические формулы.
Минск, Выш. Школа, 1980 – 336с.
3. Д.Я. Стройк, Краткий очерк истории математики. Москва, Наука, 1978.
4. С.В. Фомин, Системы счисления. Москва, Наука, 1987.
5. Е. Арутюнян, Г. Левитас, Занимательная математика Москва, АСТ – ПРЕСС,1999.
