Копилка знаменитых задач продолжение 4

Версия 10:30, 28 октября 2008

Посмотреть страницу Копилка знаменитых задач.

Задачи участников ДООМ

Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224

Задача № 30. Крестьяне и картофель

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело.

Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.

8*3/2=12- остаток после второго,

12*3/2=18- остаток после первого,

18*3/2=27- первоначальное число.

Каждый должен был съесть по 9 картофелин, первый съел свою долю, второму осталось съесть 3 картофелины, а третий должен съесть еще 5 картофелин.

--"Жареные семечки" 20:40, 26 октября 2008 (UZT)

--"Пифагор ID 220" 15:35, 27 октября 2008 (UZT)

Задача 2 В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу: Некто продавал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря: -Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: -Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 9. За каждый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй-1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Продавец, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался? Решение: За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить 1/4+1/2+1+2+22+23+…+224-3 копеек. Сумма эта равна (221∙2-1/4): (2-1) =222-1/4=4194303 ¾ коп., т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу. 2.Картина Богданова-Бельского «Трудная задача» известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той «трудной задачи», которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: 102+112+122+132+142

                                                                                                                                                                             365

Решение: 102+112+122=132+142. Так как 100+121+144=365,то на картине выражение равно 2. Задача 3. (из учебника «Введение в алгебру» Эйлера): Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой? Решение: У первой крестьянки было х яиц, у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене 15: (100-х) за штуку. Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20: (3х) За штуку. Выручка первой крестьянки 15х: (100-х), второй 20(100-х): 3х. Так как выручки равны, то 15х: (100-х)= 20(100-х): 3х. После преобразования имеем: х2+160х-8000=0. Откуда х1=40, х2=-200.Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение: Второй способ. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k2 больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k2=15 : 6 2/3=45:20=9:4. Откуда k=3,5Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка принесла 40 яиц, вторая 60. Задача 4. Стая обезьян (индусская задача) : На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась; Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали. Вместе сколько, ты мне скажешь. Обезьян там было в роще? Решение: Общая численность стаи х, тогда (х:8)2+12=х. Откуда х1=48, х2=16. Оба ответа удовлетворяют задаче. Задача 5. Пчелиный рой (индусская задача):

Задача 6. Продажа кур. Три сестры пришли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая 16, третья 26. До полудня они продавали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все они вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене продавали кур до и после полудня? Решение: Обозначим число кур, проданных каждой сестрой до полудня через x, y, z. Во вторую половину дня они продали 10- x, 16- y, 26- z. Кур. Цену до полудня обозначим через m, после полудня – через n. Первая сестра получила: mx+ n(10-x); следовательно, mx+ n(10-x)=35; вторая: my + n(16- y); следовательно, mz+ n(26- z.)=35; третья: mz+ n(26- z.); После преобразования получим:

    (m- n) x+10n=35
    (m- n) y +16n=35
     (m- n) z +26n=35 Вычитая из третьего уравнения первое, затем второе, получим последовательно:

(m- n) (z - x) +16n=0 (m- n) (z - y) +10n=0 или

(m- n) (x -z ) =16 n (m- n) (y -z) =10 n Делим первое уравнение на второе: (x -z ): (y -z)=8:5 или (x -z ):8= (y -z):5. Так как x, y, z целые числа, то и разности (x -z ) и (y -z) тоже целые числа. Поэтому для существования равенства (x -z ): (y -z)=8:5 необходимо, чтобы (x -z ) делилось на 8, (y -z) делилось на 5.Следовательно: (x -z ):8= t = (y -z):5. Откуда x = z+8 t y = z+5 t Заметим, что t не только целое, но и положительное, так как x> z ( в противном случае первая сестра не могла бы выручить столько же, сколько третья). Так как х<10, то z+8 t<10. При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяется только в одном случае: когда z =1 и t = 1. Подставив эти значения в уравнения x = z+8 t и y = z+5 t, находим x = 9, y = 6.Теперь обращаясь к уравнениям

    (m- n) x+10 n=35
    (m- n) y +16 n=35
     (m- n) z +26 n=35 и подставив в них найденные значения x, y, z, узнаем цены, по каким продавались куры: m =3 ¾ руб., n =1 ¼ руб.Итак, куры продавались до полудня по 3 руб. 75 коп., после полудня по 1 руб. 25 коп.

Задача 7. (старинная народная задача). Доплата: Однажды в старые времена произошел такой случай. Двое прасолов продали принадлежащий им гурт волов, получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в гурте было волов. На вырученные деньги купили стадо овец по 10 рублей за овцу и одного ягненка. При дележе поровну одному досталась лишняя овца, другой же взял себе ягненка и получил с компаньона соответствующую доплату. Как велика была доплата (предполагается, что доплата выражается целым числом рублей)?

Решение: Стоимость всего стада в рублях есть точный квадрат, так как стадо приобретено на деньги от продажи n волов по n рублей за вола. Одному из компаньонов досталась лишняя овца, следовательно, число овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц? Можно доказать, что если в точном квадрате число десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6. 

В самом деле, квадрат всякого числа из a десятков и b, т.е. (10 a + b)2, равен 100 a2+2 a b+ b2= (10 a2+2 a b)10+ b2. Десятков в этом числе (10 a2+2 a b), да еще некоторое число десятков, заключающихся в b2. Но 10 a2+2 a b делится на 2- это число четное. Поэтому число десятков в (10 a + b)2, будет нечетным, если в числе b2 окажется нечетное число десятков. b2- это квадрат цифры единиц, т.е. одно из чисел:0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Среди них нечетное число десятков имеют только числа 16 и 36-оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат 100 a2+2 a b+ b2 может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6. Значит, ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен получить от своего компаньона 2 рубля. Доплата равна двум рублям. Задача 8. (задача из учебника алгебры, озаглавленный Ньютоном «Всеобщая арифметика»). Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов. К оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Определить первоначальный капитал купца. Решение: Купец имел некоторую сумму денег. х В первый год он истратил 100 фунтов. х-100 К оставшейся сумме добавил третью ее часть. (х-100)+ (х-100):3=(4х-400):3 В следующем году он вновь истратил 100 фунтов (4х-400):3-100=(4х-700):3 и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. =(4х-700):3+=(4х-700):9=(16х-2800):9 В третьем году он опять истратил 100 фунтов. =(16х-2800):9-100=(16х-3700):9 После того как он добавил к остатку третью его часть, (16х-3700):9+=(16х-3700):27=(64х-14800):27 капитал его стал вдвое больше первоначального (64х-14800):27=2х Х=1480 рублей Задача 9. (биография замечательного древнего математика Диофанта). Условие задачи Решение Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни Х Часть шестую его представляло прекрасное детство. Х:6 Двенадцатая часть протекла еще жизни- покрылся пухом его подбородок. Х:12 Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Х:7 Прошло пятилетие; он был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына, 5 Кое рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом. Х:2 И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Х=Х:6+Х:12+Х:7+5+Х:2+4 Скажи, сколько лет жизни достигнув, Смерть воспринял Диофант? Х= 84 Узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 –м году и умер 84 лет. Задача 10. (Лошадь и мул). «Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул- Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаковой с моей. Скажите же мудрые математики, сколько мешков несла лошадь, и сколько нес мул?» Решение: Задача сводится к решению системы уравнений с двумя неизвестными: У+1=2(х-1) У-1=х+1 Решив данную систему, получим х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков – мул. Задача 11. (Птицы у реки). У одного арабского математика XI века находим следующую задачу. На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной- 30 локтей, другой-20 локтей; расстояние между их основаниями-50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, плывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба? Решение: Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ2= 302+х2, АС2= 202+ (50-х)2. Но АВ=ВС, так как обе птицы одновременно пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому 302+х2= 202+ (50-х)2. Откуда х=20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

Участник:Решарики ID_284

Задачи из книги Богдановича М.В. "Математические роднички".

1.Два брата получили в наследство землю, которую должны поделить поровну. Старший брат пожелал, чтобы у него было на 4 десятины больше, чем у младшего. Младший брат согласился, но попросил вернуть ему 200 рублей. Во сколько браться оценили десятину земли?

Решение: Т.е. младший брат должен передать старшему две десятины земли (тогда у старшего будет на 4 десятины земли больше). Значит, две десятины земли стоят 200 рублей, а одна – 200: 2 = 100р.

Ответ: Одна десятина земли стоит 100 рублей.

2.Купил один мужик трех видов сукна, всего 120 аршинов: первого вида взял на 12 больше, чем второго, а второго на 9 больше , чем третьего. Сколько какого сукна было взято?

Решение: Пусть мужик купил х м сукна третьего вида, тогда второго вида он купил (х + 9) м, а первого вида – (х + 9) + 12. А всего он взял 120 м сукна трех видов.

Составим и решим уравнение:

х + (х + 9) + (х + 9) +12 = 120, х + х + 9 + х + 9 + 12 = 120, 3х + 30 = 120, 3х = 90, Х = 30.

Значит мужик взял 30 м сукна третьего вида. Тогда сукна второго вида он взял 30 + 9 = 39 м, а первого – 39 + 12 = 51м.

Ответ: 1 вида – 51м, 2 вида – 39м, 3 вида – 30 м.

3.У пастуха, который вел 60 быков спросили: «Какую часть быков своего многочисленного стада ты ведешь?» Он ответил: «Я веду половину от трети стада». Сколько быков было в стаде?

Решение: Если 60 быков – это половина трети стада, то треть всего стада – это 60*2 = 120 быков. Тогда все стадо – это 120*3 = 360 быков.

Ответ: В стаде было 360 быков.

4. Надо разделить 20 мер пшеницы между 10 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждый ребенок 1 меру. Сколько мужчин, женщин и детей? (Решить методом перебора).

Решение:

1 случай: 1 мужчина, 8 женщин и 1 ребенок.

2 случай: 2 мужчин, 6 женщин и 2 ребенка.

3 случай: 3 мужчины, 4 женщин и 3 ребенка.

4 случай: 4 мужчины, 2 женщины и 4 ребенка.

5. Расстояние между городом и селом 588 верст. Путник, который идет из села в город, проходит это расстояние за 21 день, а второй путник, который идет с города в село, проходит это расстояние за 28 дней. Оба путника вышли одновременно. На какой день они встретятся?

Решение: Первый путник проходит за один день 588: 21 = 28(км).

Второй путник проходит за один день 588: 28 = 21(км).

Вдвоем они проходят за день 21 + 28 = 49 (км).

Тогда встретятся она через 588:49 = 12 дней.

Ответ: Путники встретятся на 12 день. --Решарики ID 284 17:13, 27 октября 2008 (UZT)

Задачи от команды Великолепная восьмерка ID 212

Задача Л.Н. Толстого. Покупатель выбрал в магазине шапку стоимостью в 10 рублей и дал продавцу двадцатипятирублевку. У того не оказалось сдачи, и он послал полученную двадцати¬пятирублевку для размена в соседнюю лавку. Покупатель получил шапку и 15 рублей сдачи. Когда покупатель ушел, пришел сосед купца, который сказал, что двадцатипятирублевка фальшивая. Первый купец вернул соседу 25 рублей. Спрашивается, сколько хозяин магазина понес в этом деле убытку? --Великолепная восьмерка ID 212 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

Задача Пауссона. Известному французскому математику Пауссону в детстве попала задача, решив которую, Пауссон увлекся математикой и посвятил ей жизнь. Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из этого количества половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: один — в 8 пинт, другой — в 5 пинт. Спрашивается: каким образом налить б пинт в сосуд на 8 пинт? --Великолепная восьмерка ID 212 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

Задача Пифагора Который час? — спросили у Пифагора. Он ответил: — До конца суток остается дважды того, что уже протекло от начала. В какое время суток был задан вопрос? --Великолепная восьмерка ID 212 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

Старинная задача. Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Всадник случайно толкнул корзинку, и все яйца разбились. «Сколько у тебя было яиц? — спросил он. «Не знаю, — ответила крестьянка. — Но помню, что когда я раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, то каждый раз одно яйцо было лишним, а когда разложила по 7, то остатка не было». Сколько было яиц в корзине, если известно, что там их меньше сотни? Задача 9. Задача великого французского математика Безу. По контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивается 12 франков. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причи¬тается. Сколько дней работал работник в течение этих 30 дней? --Великолепная восьмерка ID 212 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

Задача Ньютона о быках. Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества. «Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 га, 10 га и 24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй — 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?».

--Великолепная восьмерка ID 212 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

Задача Перестановка часовых стрелок Биограф и друг известного физика А. Эйнштейна А. Мошковский, желая однажды развлечь своего при¬ятеля во время болезни, предложил ему следующую задачу: «Возьмем, — сказал Мошковский, — положение стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении боль¬шая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы все же правильные показания. Но в другие мо¬менты, — например, в 6 часов, взаимный обмен стре¬лок привел бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может: минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показыва¬ет 12. Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие поло¬жения, что замена одной другою дает новое положе¬ние, тоже возможное на пра¬вильных часах? — Да, —ответил Эйн¬штейн, — это вполне подхо¬дящая задача для человека, вынужденного из-за болезни оставаться в постели: доста¬точно интересная и не слишком легкая. Боюсь только, что развлечение продлится недолго: я уже напал на путь к решению. И приподнявшись на постели, он несколькими штрихами набросал на бумаге схему, изображающую условие задачи. Для решения ему понадобилось не больше времени, чем мне на формулировку задачи...» Как же решается эта задача?

--Великолепная восьмерка ID 212 17:23, 27 октября 2008 (UZT)

Задача Старинная восточная притча. «Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завешал старшему сыну половину, среднему — четвёртую часть, а младшему— пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу. —О мудрейший! — сказал старший брат. —Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему — половину, среднему — четверть, младшему — пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца? Нет ничего проще, — ответил им мудрец.» Что же посоветовал мудрец сыновьям.

--Великолепная восьмерка ID 212 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

Задача, приписываемая Л. Эйлеру Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сы¬новьями, некто составил такое завещание. «Старший из моих сыно¬вей должен получить 1000 р. и восьмую часть остатка; следующий -2000 р. и восьмую часть нового остатка; третий сын - 3000 р. и восьмую часть следующего остатка и т. д.). Определить число сыновей и размер завещанного сбережения.

--Великолепная восьмерка ID 212 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

Задача Кант и часы. Один из крупнейших немецких фи¬лософов Иммануил Кант (1724-1804), профессор Кенигсбергского (ныне Калининградского) университета, был одиноким, старым хо¬лостяком. Он вел столь регулярный образ жизни, что граждане Кенигсберга проверяли часы, видя его выходящим из своего дома и направляющимся быстрым шагом на лекции в университет. Однажды вечером Кант с ужасом заметил, что его настенные часы остановились, так как не были заведены. По-видимому, слуга, которого Кант принял на работу накануне, не знал, что это необходи¬мо сделать. Великий философ завел часы, но не мог их точно поста¬вить, так как свои карманные часы он накануне отдал в ремонт. Гля¬нув на часы, Кант пошел к своему другу Шмидту, который жил при¬мерно на расстоянии одного километра от дома философа. При входе в квартиру Шмидта Кант бросил взгляд на часы, которые висели в коридоре. Проведя в доме Шмидта некоторое время и прощаясь с ним, Кант снова взглянул на часы в коридоре. Домой он возвращал¬ся по тому же пути, что и шел к Шмидту, своим обычным, размерен¬ным шагом. Дома Кант немедленно и точно поставил стрелки своих часов. Откуда Кант мог знать точное время?

--Великолепная восьмерка ID 212 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

Геометрическая задача-стихотворение «Путешествие червяка»В «Самоучителе счета» Иоганна Хемелинга (1678) есть такая задача Роскошно липа расцвела. Под ней червяк завелся малый, Да вверх пополз во всю он мочь -Четыре локтя делал в ночь, Но днем сослепу полз обратно Он на два локтя аккуратно. Трудился наш червяк отважный, И вот итог работы важной, Награда девяти ночей: Он на верхушке липы сей. Теперь, мой друг, поведай ты, Какой та липа высоты. --Великолепная восьмерка ID 212 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

Дэдвудский экспресс Дэдвудский экспресс доставил в шахтерский городок два ящика для одной молодой леди. Между проводником и шахтерами, приятелями этой леди, которые явились за грузом, произошел спор. Дело в том, что проводник хотел взять уплату за провоз ящиков согласно прейскуранту – по 5 долларов за кубический фут. А шахтеры упрямо отказывались платить на подобных условиях, утверждая, что по действующим на шахтах законам всегда платят за погонный фут. Да и вообще молодые люди не могли понять, какое право имеет железнодорожная компания касаться «кубического содержимого» ящиков юной леди! Проводнику в конце концов пришлось принять их условия: он измерил длину ящиков и взял по 5 долларов за погонный фут. Оба ящика имели форму правильных кубов, и один был ровно вдвое ниже другого. Само странное состоит в том, что, приложив ящики друг к другу и измерив их суммарную длину, проводник обнаружил, что в обоих случаях цены за провоз не отличаются даже на одну тысячную цента: можно было с равным успехом брать по 5 долларов как за кубический, так и за погонный фут. Каковы размеры двух ящиков?

--Великолепная восьмерка ID 212 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

Сватовство сиамского короляПринцесса хочет испытать своего, королевских кровей поклонника, показываю ему план ее любимого сада. В саду растут 8 яблонь и 8 грушевых деревьев, каждое дерево изображено на плане в виде соответствующего плода. Начав с любой из восьми груш, следует отметить наикратчайший путь, который проходил бы через все 16 плодов и кончался в «сердечке», на которое указывает принцесса. Числа на плодах расставлены просто для удобства «соискателей». Не сумеете ли вы обнаружить более короткий путь, чем тот, который предложил сиамский король?

--Великолепная восьмерка ID 212 17:29, 27 октября 2008 (UZT)

ID_278

1. Задача Герона Александрийского. Из - под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня, четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника.

Решение:Если все 4 источника заполнят бассейн за x дней то, 12x/12+6x/12+4x/12+3x/12=12/12,12x+6x+4x+3x=12,25x=12,x=12/25. Потребуется 12/25 дня.

1. Бхаскара II.Одна треть, одна пятая и одна шестая цветов лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну и Сурбе, одна четвёртая - Бхавани. Остальные 6 цветов предназначаются почитаемому праведнику. Сколько лотосов сплетено в венок.

Решение: Пусть x - число цветов лотоса в венке. x/3+x/5+x/6+x/4+6=x,x=120. 120 цветов лотоса.

Участник:Шоу"модель" ID_278--Шоу "модель" 20:02, 27 октября 2008 (UZT)

Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224

Задача №31. Задача Ньютона

Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?

Решение.

Скорость А: 7/2 км/ч,

скорость В: 8/3 км/ч, скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч)

за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км. Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч)

Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов.

Задача №32 Монах вышел в 8 часов утра из монастыря и за 12 часов поднялся на гору. На следующее утро в 9 часов он отправился той же дорогой в обратный путь и к 8 часам вечера попал в монастырь. Найдется ли на пути точка, в которой его часы показывали одинаковое время в первый и во второй день путешествия?

Решение.

Представим, что у нас 2 путешественника выходят одновременно из разных пунктов. Они движутся на встречу друг другу. Они обязательно встретятся в какой-то момент времени в какой-то точке. Значит, такая точка найдется.

Задачи аналогичные №33, встречаются в разных вариантах у отдельных народов.

Задача №33.

Египетский писец Ахмес, писавший свой конспект между 1780 и 1580 гг. до н.э. предлагает задачу:

«Домов (или писцов - смысл иероглифа не установлен) 7, кошек 49, мышей 343, колосьев 2401, зерен 16807, вместе 19607»

По-видимому, смысл задачи следующий:

«В семи домах имеется по семь кошек (7*7=49), каждая кошка съедает по семь мышей (7*49=343), каждая мышь уничтожает по семь колосьев (7*343=2401), каждый колос дает по семь мер зерна (7*2401=16807), вместе составляет19607»

Задача интересна уже тем, что показывает знание египтянами степеней числа.

Задача №34.

В книге Леонардо Пизанского (1202г) задача имеет форму:

«Семь старух идут в Рим. У каждой по семи мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всех?»

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

Задача №35.

В 1801г в Соединенных Штатах Америки в «Школьной арифметике» Д.Адамса дана задача св стихотворной форме.

Русский перевод задачи (Е.И. Игнатьев):

В Сент-Айвз как-то я шагал

И семь женщин повстречал,

И у каждой семь мешков,

А в мешках по семь котов,

У котов по семь котят.

Сколько всех пройти хотят

В Сент-Айвз: женщин и мешков,

И котяток, и котов?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

Задача №36.

Русская редакция задачи, записанная профессором И.Ю.Тимченко в Орловской губернии:

Шли семь старцев.

У каждого старца по семи костылей,

На каждом костыле по семи сучков,

На каждом сучке по семи кошелей,

В каждом кошеле по семи пирогов,

В каждом пироге по семи воробьев,

Сколько всего?

Решение как в задаче №33

Ответ: 19607.

--"Жареные семечки" 20:34, 27 октября 2008 (UZT) --Гимназисты 11:30, 28 октября 2008 (UZT) Старинная задача Л.Ф. Магницкого

Условие: Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тоеже кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его способно выпьет тоеже кадь?

Решение:

Так как выпивает кадь питья за 14 дней, то за один день он выпивает 1/14 кади. Вместе с женой они выпивают кадь питья за 10 дней, следовательно, за один день они выпивают 1/10 кади.

Найдем, какую часть питья жена выпивает за один день:

1/10 – 1/14 = 2/70 = 1/35 кади

Следовательно, всю кадь питья жена выпивает за 35 дней.

Ответ: Жена способна выпить кадь питья за 35 дней.

--Гимназисты 11:30, 28 октября 2008 (UZT)

Участник:Истина_ID_218

Старинные китайские задачи

Задача о похищении риса. Из трех бочек риса одинаковой емкости похищено тремя ворами некоторое количество риса. Общее количество его было не неизвестно, но выяснилось, что в первой бочке остался 1 го риса, во второй - 1 шинг 4 го и в третей - 1 го. Пойманные воры показали: первый, что он отсыпал рис из первой бочки при помощи лопаты, второй, что он пользовался деревянным башмаком, а третий миской, причем они соответственно брали из 2-й и 3-й бочек. Лопата башмак и миска найдены на месте преступления. При обмере их оказалось, что емкость лопаты 1 шинг 9 го, башмака 1 шинг 7 го, миски 1 шинг 2 го. Требуется узнать, скол ько похитил каждый вор. При этом известно, что 10 го = 1 шингу, 10 шингов 1 тау, 10 тау = 1 ши.

Решение.
х - число, выражающее сколько раз отсыпали рис лопатой.
у - число, выражающее сколько раз отсыпали рис башмаком.
z - число, выражающее сколько раз отсыпали рис миской.

19х+1 = 17y+14+12z
19x = 12z
x = 12z/19

Поскольку x, y, z суть целые положительные числа, можно принять, что

z=19t
17y+13 = 228t

Возьмем наименьшее значение t при ктором у будет целым положительным(14)

x = 168
y = 187
z = 266

Похитили:
первый - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го.
второй - 3 ши 1 тау 7 шингов 9 го.
третий - 3 ши 1 тау 9 шингов 2 го.

Задача о глубине озера.
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро? Ответ. 12 футов.

Задача о прямоугольном треугольнике.
Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.

Решение. Составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
a+b+c = p;
a^2+b^2 = c^2;
ab/2 = s;

Из 2-го и 3-го уравнений имеем:
(a+b)^2 = 4s+c^2
(p-c)^2 = 4s+c^2

Решая относительно с получим:
c = (p^2-4s)/2p
a+b = (p^2-4s)/2p

Присоединяя к этому уравнению 3-е, значения a и b определяем как корни квадратного уравнения:
x^2-(p^2-4s)/2p*x+2s = 0.

Задача о городе, обнесенном круговой стеной.
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот идти на запад, то это же дерево можно увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города.
--Истина ID 218 20:24, 27 октября 2008 (UZT)