Копилка знаменитых задач

Материал из ТолВИКИ
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 54 промежуточные версии 12 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
Юные математики! Поместите на эту страницу знакомые всему математическому миру, но незнакомые многим школьникам авторские задачи великих математиков (и не только), а также известные старинные задачи.  
+
Юные математики! Поместите на эту страницу знакомые всему математическому миру, но незнакомые многим школьникам авторские задачи великих математиков (и не только), а также известные старинные задачи.
−
<font color="red">В блиц-конкурсе «Великие сюжетные задачи» участвуют задачи, размещенные в срок с 24 октября по 17 ноября!</font>  
+
 +
<font color="red">'''В блиц-конкурсе «Великие сюжетные задачи» участвуют задачи, размещенные в срок с 24 октября по 17 ноября!'''</font>  
  
 
----
 
----
 +
<font color="red"><big>'''Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице [[Копилка знаменитых задач продолжение]].'''</big></font>
  
−
==Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224==
 
  
−
'''Старинные финансовые задачи '''
+
'''Команда ШОУ «Модель»
 +
ID_278'''
  
−
Задачи приведены по книгам:
+
'''1.Из Древнего Вавилона (около 2000г. до н. э.)'''
 +
Длина и ¼ ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?
  
−
Я.И. Перельман. Живая математика. М., 2003.,
 
−
В. Курбатов. Как развить свое логическое мышление. М., 1997.
 
  
−
'''Задача 1.'''
+
''Решение:''  
  
−
В одном голландском банке к концу дня финансовых операций оказалась 81 золотая монета достоинством по 20 гульденов каждая. Кассиру сообщили, что одна монета фальшивая и она весит на 1 грамм меньше, чем настоящая. В распоряжении кассира весы, с помощью которых можно уравновешивать грузы без гирек. Сколько минимально ему потребуется взвешиваний, чтобы отыскать фальшивую монету?
+
Пусть ширина составляет х ладоней, длина – у ладоней. Тогда
 +
х/4 + у = 7,       (1)
  
−
'''Задача 2.'''
+
х + у = 10,        (2)
  
−
В Берендеевом царстве принята довольно сложная денежная система. Основной денежной единицей является берендеевская гривна. В обращении находятся золотые монеты достоинством 1, 2, 8 и 10 гривен. Монет более крупного достоинства не существует. Подданному Берендеева царства купцу Казначееву понадобилось снять со своего счета 25 гривен. Не желая до отказа набивать свой кошелек, он решил, что удобнее всего обойтись минимальным количеством монет, и обратился к банкиру с такой просьбой: - Не откажете ли вы мне в любезности выплатить 25 гривен монетами покрупнее. было бы лучше всего, если бы вы выплатили сумму монетами самого большого достоинства, какое только возможно. Может ли быть уверенность в том, что при таком раскладе число монет окажется наименьшим?
+
х = 10 – у.         (3)
  
−
'''Задача 3.'''
+
Подставляя (3) в (1), получаем
  
−
Торговец купил товар за 7 рублей, продал за 8, потом снова купил за 9 и опять продал за 10. Какую прибыль он получил?
+
(10 – у) /4 + у = 7,
  
−
'''Задача 4.'''
+
у = 6.
  
−
Сколько штук сапог необходимо заготовить для городка, третья часть обитателей которого – одноногие, а половина остальных предпочитает ходить босиком?
+
Затем из (1) находим  х/4 + 6 = 7, х=4.
  
−
'''Задача 5.'''
+
2. Из древнеиндийской математики (около 2000 г. до н. э.)
 +
Пчелы числом, равным квадратному корню из полного числа их во всем рое, сели на куст жасмина, 8/9 пчел полетели назад к рою. И только одна пчела из того же роя кружилась над цветком лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно угодившей в ловушку сладко благоухающего цветка. Сколько всего пчел было в рое?
 +
 +
Решение:                                             
 +
Пусть х – число пчел в рое. Тогда квадратный корень(х/2)+ 8/9 *х+2 (1)
 +
Обозначив квадратный корень(х/2)через у, преобразуем уравнение (1) ( так как у²= х/2, или х=2у²) к виду
 +
у + 16/9 у² + 2 = 2у²,
 +
2у² - 9у – 18 = 0,
 +
Откуда у1 = 6, у2 = - 3/2.
 +
Этим значениям у соответствуют следующие значения х: х1= 72, х2= 4,5. Так как число пчел в рое может быть только натуральным числом, то в рое было 72 пчелы.
  
−
Двое отцов подарили сыновьям деньги. Один дал своему сыну 150 руб., другой своему 100 р. Оказалось, однако, что оба сына вместе увеличили свои капиталы только на 150 р. Чем это объяснить?  
+
3. Арифметика древних китайцев (2000г. до н. э.)
 +
В центре квадратного пруда шириной 10 шагов растет камыш, возвышающийся на 1 шаг над поверхностью воды. Если стоя на берегу водоема, притянуть камыш к середине любой из сторон, то он как раз касается края пруда. Какова глубина пруда?
 +
 +
Решение:
 +
По теореме Пифагора:
 +
х2 + 52 = (х+1)2 ,
  
−
'''Задача 6.'''
+
х2 + 25 = х2 + 2х + 1,
  
−
Одна баба, торговавшая яйцами, имея у себя к продаже девять десятков яиц, отправила на рынок трех дочерей и, вверив старшей и самой смышленой из них десяток, поручила другой три десятка, а третьей полсотни. При этом она сказал им:
+
х = 12.
−
- Условьтесь наперед между собой насчет цены, по которой вы продавать будете, и от этого условия не отступайте. Но я надеюсь, что старшая дочь моя, по своей смышлености, даже и при общем между вами условии, по какой цене продавать, сумеет выручить столько за свой десяток, сколько вторая выручит за три десятка, да научит и вторую сестру выручить за три десятка столько же, сколько младшая за полсотни. Пусть выручки всех троих да цены будут одинаковы. Притом я желала бы, чтобы вы продали все яйца так, чтобы вы продали все яйца так, чтобы пришлось круглым счетом не меньше 10 коп. за десяток, а все 9 десятков – не меньше 90 коп. или 30 алтын.  
+
  
−
'''Задача 7.'''
+
Глубина пруда – 12 шагов.
−
'''Задача Бхаскары'''
+
  
−
На берегу реки рос тополь одинокий.
+
4. Пифагор Самосский (около 580-501 гг. до н. э.)
 +
Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат»,- отвечал Пифагор. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины?»
 +
Сколько учеников было у Пифагора?
 +
 +
Решение:
 +
Пусть х – число учеников Пифагора. Тогда ½ х + ¼ х + 1/7 х +3 = х,Откуда х = 28.Итак, у Пифагора было 28 учеников.
  
−
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
 
  
−
Бедный тополь упал. И угол прямой
+
5. Шен Кан (ум. В 152 г. до н.э.)
 +
Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого урожая дают 39 доу (старинная китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Спрашивается: сколько доу зерна дает 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?
 +
 +
Решение:
 +
Пусть 1 сноп хорошего урожая дает х доу зерна, среднего = у доу и плохого – z доу зерна. Тогда
 +
3х + 2у + z = 36,
 +
2х + 3у + z = 34,
 +
Х + 2у + 3z = 26,
 +
Откуда х = 9 ¼ ,  у = 4 ¼,  z = 2 ¾ .
 +
Итак, 1 сноп хорошего урожая дает 9 ¼ доу зерна, 1 сноп среднего урожая – 4 ¼ доу  и 1    сноп плохого урожая – 2 ¾ доу.
  
−
С теченьем реки его ствол составлял.
 
  
−
Запомни теперь, что в том месте река
+
6. Римский математик (около 1 в. до н.э.)
 +
Адвокаты в Древнем Риме имели обыкновение задавать друг другу задачи. Одна из таких задач гласит:
 +
«Некая вдова должна разделить оставшееся после смерти мужа наследство в размере 3500 динариев с ещё не родившимся ребенком. По римским законам, если родится сын, то мать получает половину причитающейся ему доли, а в случае рождения дочери мать получает вдвое больше неё. У вдовы родились  близнецы – сын и дочь.
 +
Как разделить наследство, чтобы все требования закона были соблюдены
  
−
В четыре лишь фута была широка.
+
Решение:
 +
Пусть доля сына составляет х, дочери у, доля матери z динариев. Тогда
 +
х + у + z = 3500,  х = 2z,  у = z/2.
 +
Следовательно, х = 2000 у = 500, z =1000.
 +
Таким образом, вдова должна получить 1000 динариев, сын – 2000 динариев, а дочь – 500 динариев.
  
−
Верхушка склонилась у края реки,
+
7. Диофант Александрийский (III в н.э.)
 +
По двум данным числам 200 и 5 найти третье число, которое если его умножить на одно из них, дает полный квадрат, а если его умножить на другое число, дает квадратный корень из этого квадрата.
  
−
Осталось три фута всего от ствола.
+
Решение:
 +
Пусть х – число, которое требуется найти. Тогда
 +
200х = у²,    (1)
 +
5х = у.          (2)
 +
Подставляя (2) в (1), получаем
 +
200х = 25х²,
 +
200 = 25х,
 +
х = 8.                                                                                          ____
 +
Итак, третье число 8. Проверка: 5•8 = 40; 200•8 = 1600 и квадратный корень из 1600 = 40.
  
−
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
 
  
−
У тополя как велика была высота
+
8. Арабская сказка «1001 ночь» (ночь 458-я)
 +
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветках, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветках голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас осталось втрое меньше, чем нас всех  вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну».
 +
Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?
  
−
'''Задача 8. Задача Диофанта'''
 
  
−
Катет прямоугольного треугольника есть точный куб, другой катет представляет разность между этим кубом и его стороной ( то есть первой степенью), а гипотенуза есть сумма этого куба и его стороны. Найдите стороны треугольника
+
Решение:
 +
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда          y-1= (x + y)/3
 +
  
−
'''Задача 9. Паромщик'''
+
И, кроме того, х-1 = у+1, т.е. х = у+2.
 +
Подставляя х = у+2 в первое уравнение, получаем
 +
(у-1) • 3 = у +2 +у,
 +
3у – 3 = 2у + 2,
 +
у = 5.
 +
Следовательно, х = у + 2 = 7.
 +
Итак, 7 голубей сели на дерево, а 5 голубей расположились под деревом.
  
−
Паромщик многие годы зарабатывал на жизнь тем, что перевозил через реку людей, их скраб и животных. Платы он большой не взимал, поэтому люди охотно пользовались его услугами, но за всю жизнь так и не удалось ему скопить денег на новый большой паром. На его маленьком паромчике хватало места только для самого паромщика и еще чего-нибудь одного. Однажды ему нужно было переправить через реку волка, козу и капусту. Но вот неудача - волка с козой без присмотра оставлять нельзя, козу с капустой тоже.
 
  
−
Объясните паромщику как в целости и сохранности переправить через реку капусту и животных?
+
9. В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной девушке задачу:
−
Ответ
+
«Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нудно было пройти через четыре двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок.
−
Сначала перевезти на другой берег козу, оставив волка с капустой. Затем перевезти капусту, а козу отвезти обратно. Оставив козу и переправив волка на берег, где лежит капуста, паромщик может спокойно вернуться и переправить козу.
+
Сколько яблок она собрала в саду?»
  
−
Или можно изобразить так:
+
Решение:
−
1) Коза,волк,капуста - 0;
+
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и  четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160 яблок.
−
2) Волк,капуста - Коза;
+
Следовательно женщина собрала в саду 160 яблок.
−
3) Волк - (капуста->) - Коза;
+
−
4) Волк - (<-коза) - Капуста;
+
−
5) Коза - Капуста,волк;
+
−
6) 0 - Капуста,волк,коза;
+
  
−
'''Задача 10.''' '''Мудрость мандарина'''
 
  
−
То, что здесь будет рассказано, произошло в Китае. Один из провинциальных китайских мандаринов, благодаря своему необыкновенному уму и способностям, а также и той популярности, которой он пользовался среди народа, возбудил сильную зависть к себе других знатных китайцев. Зависть скоро перешла в злейшую ненависть - интригам и козням не было конца. В результате, как это часто бывает, умный и добрый мандарин сначала впал в немилость императора, а потом, благодаря проискам врагов, был отдан под суд, причём судьями, конечно, оказались злейшие враги мандарина, которые в то время ничего не желали так сильно, как только его скорейшей смерти. Само собой разумеется, вынести смертный приговор ничего не стоило, но ... объявить его публично, в присутствии того народа, который так искренне был привязан к своему правителю - на это они не могли решиться.  
+
10. Бхаскара 1 (VI в.)
 +
Найти натуральные числа, дающие при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1, и, кроме того, делящиеся на 7.
  
−
А потому они заранее решили между собой, что на заседании, в день, назначенный для суда над мандарином, они объявят приговор приблизительно в такой форме:
+
Решение:
−
"Так как мы, товарищи подсудимого, не желаем брать на свою совесть ответственность перед великим Буддой за жизнь подсудимого, и так как, всё-таки, обвинения, предъявленные ему, остаются неопровергнутыми, а отчасти и доказанными, то мы, судьи, назначенные сюда по повелению самого императора, постановили предоставить самой судьбе решить участь подсудимого. В каждую из этих двух урн мы кладём по свёрнутой записке, на одной из которых написано слово "жизнь", а на другой - "смерть", и предоставляем подсудимому право самому вынуть любую из этих записок и тем самым назначить себе приговор".  
+
Такие числа должны удовлетворять соотношениям х = 60n + 1, х = 7а,
 +
где n и a – некоторые целые числа.
 +
Итак, 60n + 1= 7а, откуда a = ( 60n +1) / 7 , a = 8n + (4n +1) / 7
 +
 +
Целым, положительным значениям а соответствует n = 5, 12, 19,…
 +
При n =5    х = 301,
 +
При n =12    х = 721,
 +
При n =19    х = 1141 и т.д.
 +
Эта задача допускает простое решение, если  следовать Бхаскаре. В прошлом веке одному математику для «доказательства» правильности результата, полученного Бхаскарой, понадобилось несколько страниц.
  
−
Такова должна была быть внешняя сторона дела. На самом же деле коварные судьи решили на обеих записках написать слово "смерть" и, таким образом, участь несчастного мандарина была предрешена заранее.
 
  
−
По счастливой случайности адвокату, который был назначен защищать на суде мандарина, удалось узнать о коварном плане судей. Конечно, самое лучшее, что он мог бы теперь сделать - это вывести судей на чистую воду, уличив их во время суда в подлоге. Но ... для адвоката это было бы равносильно самоубийству, а потому он ограничился только тем, что накануне дня суда сообщил подсудимому о том, что ему удалось узнать.  
+
11. Ал-Хорезми (около 780г. – 850 г.)
 +
Разложить число 10 на два слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.
  
−
Казалось бы, обстоятельства сложились как нельзя плохо, и придумать что-нибудь для того, чтобы предотвратить неминуемую гибель подсудимого, было невозможно... Но, как уже было сказано, мандарин был очень умным человеком. Проведя всю ночь перед судом в размышлении и взвесив все обстоятельства, он нашёл, наконец, верное средство для того, чтобы спасти свою жизнь, даже не уличая судей в их замысле и не показывая виду, что он раскрыл их план.  
+
Решение:
 +
Пусть х – одно из слагаемых числа 10. Тогда
 +
х² + (10 – х)² = 58
 +
х1 = 7
 +
х2 = 3.
 +
Итак, слагаемые, о которых идет речь в задаче Ал-Хорезми, равны 7 и 3.
  
−
Настал день суда. Публики было видимо-невидимо. Ещё бы! Судят ведь того, кто так много сделал для народа! Судьи объявили приговор в той форме, которая была приведена выше, опустили в каждую из двух урн по заранее приготовленной записке и с нетерпением ожидали известного им заранее приговора.  
+
12. Задача Ефима Войтяховского.  
 +
На вопрос: который час? – ответствовано:  2/5 прошедших часов от полуночи до сего времени равны 2/3  остальных до полудни. Спрашивается число часов того времени.
  
−
Подсудимый уверенно подошёл к судейскому столу, сунул без всякого колебания руку в одну из урн, вытащил оттуда свёрнутую записку и ...  
+
Решение: пусть сейчас x часов. Тогда до полудни осталось 12 – x часов. Имеем уравнение:2/5x = 2/3 (12 – x),  
 +
  2/5x = 8- 2/3 x,  
 +
  2/5x + 2/3 x =8,
 +
16/15x =8,
 +
x = 8*15/16 ,
 +
x = 15/2 ,
 +
x = 7,5 (часа). Ответ: сейчас 7 часов 30 минут.
  
−
Как вы думаете, что же он сделал?
 
  
−
'''Ответ'''
+
13. Задача Ефима Войтяховского.
  
−
Подсудимый, не долго думая, отправил вынутую записку в рот и ... проглотил её. На удивлённые возгласы судей он спокойно ответил: - Моя судьба - теперь внутри меня! Если же вы хотите знать, ка-кова она, то не угодно ли взять оставшуюся записку и посмотреть, что там написано. Если вы увидите там "жизнь", то я готов к смерти; если же там написано "смерть", то я имею право вернуться к преж-ней своей жизни! Судьи, придя в себя от изумления, поняли, что они одурачены и что все их планы пошли прахом. И лишь для того, чтобы не выдать себя с головой всем присутствующим, один из них вынул из урны ос-тавшуюся записку и упавшим голосом прочитал (вы уже знаете, что) - Смерть! Неистовый восторг публики был ответом на это страшное слово, которое на этот раз должно быть понимаемо как "жизнь". Так иногда человек, способный правильно мыслить и учитывать не только те шансы, которые за него, но и те, которые всецело против него, может найти выход из безвыходного, казалось бы, положения.
 
  
−
==Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224==
+
Нововыезжей в Россию французской мадаме
 +
Вздумалось ценить своё богатство в чемодане:
 +
Новой выдумки нарядное фуро (платье)
 +
И праздничный чепец а ла  фигаро.
 +
Оценщик был русак, сказал мадаме так:
 +
Богатства твоего первая вещь фуро
 +
Вполчетверта (3,5 раза) дороже чепца фигаро;
 +
Вообщем стоят не с половиною четыре алтына,
 +
Но настоящая им цена только сего половина.
 +
Спрашивается каждой вещи цена,
 +
С чем француженка к россам привезена.
  
−
'''Задачи из старинных рукописей и "Арифметики" Л.Ф. Магницкого'''
+
Решение: пусть чепец стоит x копеек (алтын – 3 копейки), тогда фуро y =  3,5 x копейки. Четыре с половиною алтына – это 13,5 копеек. Тогда составляем уравнение: 
 +
X + y =13,5:2;
 +
x + 3,5x = 6,75;
 +
4,5 x = 6,75;
  
−
'''Задача 11.''' '''Бочонок'''
+
x = 6,75:4,5;
 +
x = 1,5.
 +
Чепец стоит 1,5 копеейки, фуро 5,25 копеек.
  
−
Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женой выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена одна выпивает такой же бочонок кваса.
 
  
−
Решение
+
14. Задача Магницкого.
 +
Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к  тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и
 +
полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько было у учителя учеников?
  
−
За 140 дней человек выпьет 10 бочонков кваса, а вдвоем с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков кваса. Значит за 140 дней жена выпьет 14-10 = 4 бочонка кваса, а тогда один" бочонок она выпьет за 140:4 = 35 дней.
+
Решение:
 +
Предположим, что учеников было 24. Тогда по смыслу задачи: 24 + 24 +12 + 6 +1 = 67.
 +
100 – 67 = на 33 меньше, чем по условию задачи (33 – первое отклонение).
 +
Делаем второе предположение, что учеников было 32.
 +
Тогда 32 + 32 + 16 + 8 +1 = 89.
 +
100 – 89 = на 11 меньше, чем по условию задачи (11 – второе отклонение).
 +
(33*32-24*11)/(33-11)=36 . Ответ: учеников было 36.
  
−
'''Задача 12.''' '''В жаркий день'''
+
15. Старинная задача XVII века.
 +
Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три – лев, волк и пёс  - овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми?
  
−
В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой те бочонок кваса.
+
Решение: за 12 часов лев съест 12 овец, волк – 6, пёс – 4. Всего за 12 часов они съедят 22 овцы.
 +
В час они съедят  22/12=11/6  овцы. Одну же овцу все вместе – за 6/11 часа.
  
−
Решение
+
16. Задача Ахмеса.
 +
В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений. На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?
  
−
Поскольку за 8 часов 6 человек выпивают бочонок кваса, то за один час такой же бочонок кваса выпьют 48 человек, а тогда за 3 часа этот бочонок кваса выпьют 16 человек.
+
Решение: имеем геометрическую прогрессию a1 = 7, q = 7. Найдём сумму пяти первых членов прогрессии  S5 = (a1*(qn-1)) / (q-1  ) = ( 7*(75-1)) /  (7-1) = 19607 предметов.
  
 +
--[[Участник:Шоу "модель" ID_278]]12:07, 24 октября 2008 (SAMST)
  
−
'''Задача 13.''' '''На охоте'''
+
----
−
Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидала зайца. За сколько скачков собака догонит зайца, если расстояние от собаки до зайца равно 40 скачкам собаки и расстояние, которое пробегает собака за 5 скачков, заяц пробегает за 6 скачков?
+
−
(В задаче подразумевается, что скачки делаются одновременно и зайцем и собакой.)
+
  
−
Решение
+
== Великолепная восьмерка ID-300 ==
  
−
Если заяц сделает 6 скачков, то и собака сделает 6 скачков но собака за 5 скачков из 6 пробежит то же расстояние, что заяц за 6 скачков. Следовательно, за 6 скачков собака приблизится
 
−
к зайцу на расстояние, равное одному своему скачку. Поскольку в начальный момент расстояние между зайцем и собакой было равно 40 скачкам собаки, то собака догонит зайца через 40*6 = 240 скачков.
 
  
−
'''Задача 14.''' '''Собака и заяц'''
+
<font color="#191970"><big>Из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона</big></font>
  
−
Собака усмотрела зайца в 150 саженях от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака — за 5 минут 1300 саженей.
+
<font color="#800000">'''1 задача'''</font>
−
За какое время собака догонит зайца?
+
  
−
Решение
+
''Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе?(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)''
  
−
За одну минуту заяц пробегает 250 саженей, а собака 260 саженей. Следовательно, за одну минуту расстояние между собакой и зайцем уменьшится на 10 саженей. Поскольку между собакой и зайцем, когда собака увидала зайца, было 150 саженей, то
+
<font color="#B22222">Решение</font>
−
собака догонит зайца через 150:10=15 минут.
+
 +
Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)
  
−
'''Задача 15.''' '''На мельнице'''
+
Hабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)
  
−
На мельнице имеется три жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором 54 четверти, а на третьем 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время на этих трех жерновах.
+
Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч)
−
За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько для этого на каждый жернов надо зерна насыпать?
+
  
−
Ответ
+
За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы.
  
−
Ясно, что все три жернова должны работать одинаковое время, потому что простой любого из 3-х жерновов увеличивает время помола зерна. Поскольку за сутки все 3 жернова вместе могут смолоть 60 + 54 + 48 = 162 четверти зерна, а надо смолоть
+
Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч)
−
81 четверть, то жернова должны работать 12 часов и за это время на первом жернове надо смолоть 30 четвертей, на втором 27 четвертей, а на третьем 24 четверти зерна.
+
  
−
'''Задача 16.''' '''Воз сена'''
+
Ответ: за 64 часа
  
−
Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за два месяца, овца — за три месяца.
+
<font color="#800000">'''2 задача'''</font>
−
За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?
+
  
−
Решение
+
''Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?''
  
−
Поскольку лошадь съедает воз сена за месяц, то за год (12 месяцев) она съест 12 возов сена. Так как коза съедает воз сена за 2 месяца, то за год она съест 6 возов сена. И, наконец, поскольку овца съедает воз сена за 3 месяца, то за год она съест 4 воза сена. Вместе же они за год съедят 12 + 6 + 4 = 22 воза сена. Тогда один воз сена они вместе съедят за 12:22 = 6/11 (шесть одинадцатых) месяца.
+
<font color="#B22222">Решение</font>
 +
 
 +
Лев за час съест1/2 часть овцы,  
  
−
'''Задача 17.''' '''Двенадцать человек'''
+
Волк за час съест 1/3 часть овцы,
  
−
Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина — по половине хлеба, а ребенок по четверти хлеба.
+
Собака за час съест 1/6 часть овцы.  
−
Сколько было мужчин, женщин и детей?
+
  
−
Решение
+
вместе за час они съедят: 1/2+1/3+1/6=1(овцу)
  
−
Давайте подумаем, как могут распределиться 12 хлебов между мужчинами, женщинами и детьми. Попробуем мысленно распределить хлеба между ними. Сначала дадим всем по половине хлеба.
+
Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.  
−
При этом будет роздано 6 хлебов. Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно раздать оставшиеся 6 хлебов мужчинам, а затем взять у каждого из детей по четверти хлеба и также распределить этот хлеб среди мужчин. Каждому мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба. Шесть хлебов по полтора хлеба можно распределить между четырьмя мужчинами после чего каждый из них будет нести по два хлеба. Отсюда следует, что мужчин не менее пяти. Иначе излишки хлеба, имеющиеся у детей, некому было бы нести. Но если бы мужчин было шесть, то они сами несли бы весь хлеб, а женщинам и детям ничего бы не осталось. Итак, имеется всего пять мужчин. Пятому мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба, и именно эти полтора хлеба нужно собрать по четверти. У каждого из детей. Так как полтора хлеба состоят из шести четвертей, то детей имеется всего шестеро и, значит, количество женщин равно
+
−
12—5 — 6=1, Следовательно, хлеба несли 5 мужчин, одна женщина и 6 детей.
+
  
−
'''Задача 18.''' '''Сливы.'''
+
<font color="#800000">'''3 задача'''</font>
 +
 +
''Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог дать каждому по 3, но он раздает лишь по два и у него остается 3. Сколько было бедных?''
  
−
Двое ели сливы. Один сказал другому: "Дай мне свои две сливы, тогда будет у нас слив поровну", - на что другой ответил: "Нет, лучше ты дай мне свои две сливы, - тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя".
+
<font color="#B22222">Решение</font>
−
Сколько слив было у каждого?
+
 +
Пусть бедных - x, тогда  
  
 +
3х-8=2х+3
  
−
'''Задача 19.''' '''Задача о фазанах''' --[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|&quot;Жареные семечки&quot;]] 19:15, 20 октября 2008 (SAMST)
+
х=11
  
−
Эта задача взята из китайского математического трактата "Арифметика в девяти главах"("Киу-Чанг"), начало составления которого относится за II в. до нашей эры.
+
Ответ: было 11 бедных.  
−
+
−
ЗАДАЧА:
+
  
−
В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка
+
<font color="#191970"><big>Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого (1703 г.)</big></font>
−
содержит 35 голов и 94 ноги. Требуется узнать число фазанов и число кроликов.  
+
  
−
ОТВЕТ: 12 кроликов и 23 фазана.
+
<font color="#800000">'''1 задача'''</font>
  
−
'''Задача 20.''' '''Задача о глубине озера'''
+
''Некто согласился работать с условием получать в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?''
  
−
Задача взята из китайского трактата "Начала искусства вычисления", напечатанного в 1593г. и
+
<font color="#B22222">Решение</font>
−
содержащего ряд статей и задач по арифметике, алгебре и геометрии, причем некоторые вопросы заимствованы из трактата "Арифметика в девяти главах".
+
  
−
ЗАДАЧА:
+
7(х+10)/12=х+2
−
В середине квадратного озера со стороной 10 фунтов растет тросник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тросник, вершина достигнет берега. Как глубоко озеро?
+
  
 +
7х+70=12х+24
  
−
ОТВЕТ: Глубина озера - 12 футов.
+
5х=46
  
−
'''Задача 21.''' '''Задача о прямоугольном треугольнике'''
+
х=9,2
  
−
Задача взята из того же трактата.
+
Ответ: одежда стоит 9,2 флорина
  
−
ЗАДАЧА: Определить стороны прямоугольного треугольника, если известны площадь и периметр.  
+
<font color="#800000">'''2 задача'''</font>
 +
 
 +
''Случися некоему человеку к стене лесницу приставить, стены же той высота 117 стоп. Имелась лестница длиною 125 стоп. На сколько стоп нижний конец сией лестницы от стены отставить?''
 +
 
 +
<font color="#B22222">Решение</font>
 
    
 
    
−
--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|&quot;Жареные семечки&quot;]] 19:15, 20 октября 2008 (SAMST)
+
При решении задачи используем теорему Пифагора.
  
−
'''Задачи из книг, изданных в XVIII веке''' --[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|&quot;Жареные семечки&quot;]] 19:25, 20 октября 2008 (SAMST)
+
Длина лестницы - гипотенуза, высота стены известный катет, отступ нижнего конца лестницы от стены - неизвестный катет.
  
−
'''Забавные истории'''
+
125<sup>2</sup>-117<sup>2</sup>=1936=44<sup>2</sup>
−
+
−
'''Задача 22.''' ''' Смекалистый слуга.'''
+
  
−
Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: "Это - правда, я украл все, что он имел". Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: "Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получиться мое годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получиться вдвое больше моего жалованья"
+
Ответ: длина отступа равна 44 стопы.  
−
Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?
+
  
−
'''Задача 23.''' ''' Дележ и размен денег'''
+
<font color="#800000">'''3 задача'''</font> 
  
−
А. Сколько у кого денег?
+
''Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.''
−
Двое крестьян поделили между собой 7 рублей, причем один получил на 3 рубля больше второго.
+
−
Сколько денег досталось каждому из них?
+
  
−
В. Размен по 2 и 3 копейки.
+
<font color="#B22222">Решение</font>
−
Каким количеством способов можно разменять 25 копеек монетами по 2 и 3 копейки?
+
 
 +
а<sub>14</sub>=а<sub>1</sub>+13d, a<sub>1</sub>=59-13*4=7
  
−
'''Задача 24.''' '''Сколько кому лет?'''
+
S<sub>14</sub>=(7+59)/2*14=462
  
−
А. Каков возраст братьев?
+
Ответ: все чарки весят 462 лата
  
−
Средний из трех братьев старше младшего на два года, а возраст старшего брата превышает сумму лет двух остальных братьев четырьмя годами.
+
<font color="#800000">'''4 задача'''</font>
−
Найти возраст каждого брата, если вместе им 96 лет.
+
 +
''Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?''
  
−
В. Замысловатый ответ.
+
<font color="#B22222">Решение</font>
 +
 
 +
1 гривна=10 копеек, 1 алтын-3 копейки.  
  
−
У отца спросили, сколько его двум сыновьям. Отец ответил. Что если к произведению чисел, означающих их года, прибавить сумму этих чисел, то будет 14.
+
Пусть бочка стоит х руб.  
−
Сколько лет сыновьям?
+
  
−
'''Задача 25.''' '''Часы'''
+
8х+0,6=9х-1,6
  
−
А. Сколько раз бьют часы?
+
х=2,2 руб.  
−
Часы бьют каждый час и отбивают столько ударов сколько показывает часовая стрелка. Сколько ударов отобьют часы в течение 12 часов?
+
  
−
В.Сколько было времени?
+
до покупки у него было 2,2*8+0,6=18,2 руб
−
Один человек спросил: "Который час?" Ему ответили, что часовая и минутная стрелки совмещены и находятся на одной линии между 9 и 10 часами.
+
−
Сколько было времени?
+
  
−
'''Ответы'''
+
Ответ: у человека было 18 рублей и 2 гривны
  
−
'''Забавные истории'''
+
<font color="#800000">'''5 задача'''</font>
 +
 +
''Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую своих денег, за другую три седьмых остатка от первой игрушки, за третью заплатил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом нашел остальные - 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?''
  
−
А. Из условия задачи следует, что удвоенное жалованье слуги на 10 рублей превышает его же жалованья. Значит, годовое жалование составляет 10 рублей, а постоялец, заявивиший, что его обокрали, вообще не имел денег.
+
<font color="#B22222">Решение</font>
 +
 
 +
1-15=4/5 - остаток
  
−
'''Дележ и размен денег'''
+
4/5*3/7=12/35(денег) - за первую игрушку
  
−
А. Возьмем 3 рубля у того из крестьян который получил большую часть денег. Тогда сумма в 4 рубля распределится между крестьянами поровну. Значит, меньшая часть разделенных денег составляет два рубля, а тгда большая часть равна 5 рублям.
+
4/5-12/35=16/35 - остаток от второй игрушки
  
−
В. Ясно, что монет по 3 копейки должно быть нечетное число. Значит, для размена 25 копеек можно взять 1 монету в 3 копейки и 11 монет по 2 копейки, или 3 монеты по 3 копейки и 8 монет по 2 копейки, или 5 монет по 3 копейки и 5 монет по 2 копейки, или 7 монет по 3 копейки и 2 монеты по 2 копейки. Взять 9 или больше монет по 3 копейки нельзя, так как сумма будет больше 25 копеек. Таким образом, размен можно осуществить 4 способами.
+
16/35*3/5=48/175(денег) - стоит вторая игрушка
  
−
'''Сколько кому лет?'''
+
16/35-48/175=32/175 (денег) - осталось в кошельке
  
−
А. Удвоенный возраст старшего брата на 4 года больше суммы лет всех троих братьев и равен поэтому 96+4 = 100 годам. Значит, возраст старшего брата равен 50 годам. Удвоенный возраст среднего брата на 2 года больше суммы его лет и лет младшего брата и равен поэтому (96-50)+2=48. Значит, возраст среднего брата равен 24 годам. Теперь находим возраст младшего брата: 22 года.
+
1,92:32/175=10,5(руб) - было в кошельке.  
  
−
В. Пусть одному сыну n лет, а другому m лет. Тогда из условия задачи имеем
+
10,5*1/5=2,1(руб) - стоила 1 игрушка
−
mn+m+n=14, откуда
+
  
−
m=(14-n)/(n+1) = 15/(n+1) - 1.
+
(10,5-2,1)*3/7=3,6(руб) - стоила 2 игрушка
  
−
Поскольку m - натуральное число, а 15 = 5*3*1, то
+
(8,4-3,6)*3/5=2,88(руб) - стоила 3 игрушка
−
А) либо n + 1 = 5,
+
−
Б) либо n + 1 = 3,
+
−
В) либо n + 1 =1.
+
−
В случае А) n = 4, тогда m = 2, в случае Б) n = 2, тогда m = 4, в случае В) n = 0, чего не может быть, так как n - натуральное число.
+
−
Следовательно, одному сыну 2 года, а другому 4 года.
+
  
−
'''Часы'''
+
<font color="#800000">'''6 задача'''</font>
 +
 +
''Говорит дед внукам: "Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза".Как же разделить орехи?''
  
−
А.Количество ударов равняется 1+2+3+…+12 и, как легко сосчитать, равно 78. Эту сумму можно вычислить очень просто, елси заметить, что суммы членов, равноотстоящих от концов (1+12, 2+11, 3+10,…), все равны между собой и равны 13. Таких пар равноотстоящих от концов имеется 6. Значит,
+
<font color="#B22222">Решение</font>
−
1+2+3+…+12=6*13=78.
+
 
 +
Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях.  
  
−
В. Примерно 21 час и 49 минут.
+
Значит большая часть должна содержать в 3*4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей, поэтому меньшая должна содержать 130/13=10 орехов, а большая 130-10=120 орехов.  
  
−
--[[Участник:Совокупность "жареных семечек"ID-224|&quot;Жареные семечки&quot;]] 17:00, 20 октября 2008 (SAMST)
+
Ответ: 10 и 120 орехов.
−
----
+
  
−
== Участник:Великолепная восьмёрка ID-300 ==
+
<font color="#191970"><big>Индусские задачи из Бхасхары</big></font>
  
−
[[Участник:Великолепная восьмёрка ID-300]]
+
<font color="#800000">'''1 задача'''</font> 
 +
 
 +
''Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда на 4 фута, под напором ветра он скрылся под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?''
  
−
<big>'''Из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона'''</big>
+
<font color="#B22222">Решение</font>  
  
−
<font color="Chocolate">'''1 задача'''</font>
+
Пусть х м - глубина пруда.
  
−
Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе?''(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)''
 
  
−
<font color="red">'''Решение:'''</font>
+
 
−
+
<font color="#800000">'''2 задача'''</font>  
−
<font color="navy">Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)
+
 
    
 
    
−
Hабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)
+
''На две партии разбившись ''
  
−
Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч)
+
''Забавлялись обезьяны. ''
 +
 
 +
''Часть восьмая их в квадрате ''
 +
 
 +
''В роще весело резвилась, ''
 +
 
 +
''Криком радостным двенадцать ''
 +
 
 +
''Воздух свежий оглашали. ''
 +
 
 +
''Вместе сколько, ты мне скажешь, ''
 +
 
 +
''Обезьян там было в роще?''
 +
 
 +
<font color="#B22222">Решение</font>
 +
 
 +
Пусть было х обезьян.
 +
 
 +
(х/8)<sup>2</sup>+12=х
 +
 
 +
х<sup>2</sup>=768=64х
 +
 
 +
х<sup>2</sup>-64х+768=0
 +
 
 +
D=(-64)<sup>2</sup> -4*1*768=4096-3072=1024
 +
 
 +
х<su>1</sub>=(64+32)/2=48
 +
 
 +
х<sub>2</sub>=64-32/2=16
 +
 
 +
Ответ было либо 48, либо 16 обезьян.
 +
 
 +
<font color="#191970"><big>Задача из "Азбуки" Л.Н.Толстого (1828-1910 гг.)</big></font>
 +
 
 +
<font color="#800000">'''Задача'''</font>
 +
 
 +
''Пятеро братьев разделили между собой наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех пяти братьев стало поровну. Много ли стоили дома?''
 +
 
 +
<font color="#B22222">Решение</font>
 
   
 
   
−
За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы.
+
800*3=2400(руб.) - заплатили двум меньшим;
−
 
+
 
−
Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч)
+
2400:2=1200(руб.) - получил каждый в наследство;
 +
 
 +
1200*5:3=2000 - стоил дом.  
 +
 
 +
Ответ: дом стоил 2000 рублей.
 +
 
 +
<font color="#191970"><big>Из рассказа А.П.Чехова "Репетитор"</big></font>
 +
 
 +
<font color="#800000">'''Задача'''</font> 
 +
 
 +
''Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное - 3 рубля.''
 +
 
 +
<font color="#B22222">Решение</font>
 
    
 
    
−
Ответ: за 64 часа</font>
+
Пусть синего сукна было х аршин, тогда черного (138-х) аршин.
  
−
<font color="Chocolate">'''2 задача'''</font>
+
5х+3(138-х)=540
  
−
Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?
+
5х+414-3х=540
  
−
<font color="red">'''Решение:'''</font> 
+
2х=126
−
+
−
<font color="navy">Лев за час съест1/2 часть овцы,
+
  
−
Волк за час съест 1/3 часть овцы,
+
х=63(аршина) - синего
  
−
Собака за час съест 1/6 часть овцы.
+
138-63=75(аршин) черного.  
  
−
вместе за час они съедят: 1/2+1/3+1/6=1(овцу)
+
Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин. </font>
  
−
Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.</font>
+
<font color="#191970"><big>Старинные задачи</big></font>
  
−
<font color="Chocolate">'''3 задача'''</font>
+
<font color="#800000">'''1 задача'''</font>
  
−
Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог дать каждому по 3, но он раздает лишь по два и у него остается 3. Сколько было бедных?
+
''Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее даже самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.''
  
−
<font color="red">'''Решение:'''</font>
+
<font color="#B22222">Решение</font>  
−
+
−
<font color="navy">Пусть бедных - x, тогда
+
  
−
3х-8=2х+3
+
Разделить 9 монет на 3 группы по 3 монеты. Кладем по 3 монеты. Кладем по три монеты на чашки весов. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда берем две из трех монет и кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета третья, если нет, то одна чашка поднимется - там фалтшивая.
  
−
х=11
+
<font color="#800000">'''2 задача'''</font> 
  
−
Ответ: было 11 бедных.</font>
+
''У одного старика спросили сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?''
  
−
<big>'''Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого (1703 г.)'''</big>
+
<font color="#B22222">Решение</font>
  
−
<font color="Chocolate">'''1 задача'''</font>
+
Он родился в високосный год 29 февраля.
  
−
Некто согласился работать с условием получать в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?
+
<font color="#800000">'''3 задача'''</font> 
  
−
<font color="red">'''Решение:'''</font> 
+
''Летела стая гусей, навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?''
−
+
−
<font color="navy">Пусть х флоринов стоит одежда, тогда (х+10)/12 - месячный заработок.
+
  
−
7(х+10)/12=х+2
+
<font color="#B22222">Решение</font>
  
−
7х+70=12х+24
+
Пусть было х гусей. Составим уравнение:
  
−
5х=46
+
х+х+0,5х+0,25х+1=100
  
−
х=9,2
+
2,75х=99
  
−
Ответ: одежда стоит 9,2 флорина</font>
+
х=36
  
−
<font color="Chocolate">'''2 задача'''</font>
+
Ответ: в стае 36 гусей.
  
−
Случися некоему человеку к стене лесницу приставить, стены же той высота 117 стоп. Имелась лестница длиною 125 стоп. На сколько стоп нижний конец сией лестницы от стены отставить?
+
<font color="#800000">'''4 задача'''</font> 
  
−
<font color="red">'''Решение:'''</font> 
+
''Роскошнолипа расцветала''
−
+
−
<font color="navy">При решении задачи используем теорему Пифагора.
+
  
−
Длина лестницы - гипотенуза, высота стены известный катет, отступ нижнего конца лестницы от стены - неизвестный катет.
+
''Под ней червяк завелся малый.''
  
−
125*125-117*117=1936=44*44
+
''Да вверх пополз во всю он мочь -''
  
−
Ответ: длина отступа равна 44 стопы.</font>
+
''Четыре локтя делал в ночь.''
  
−
<font color="Chocolate">'''3 задача'''</font>
+
''Но днем со слепу поз обратно''
  
−
Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.
+
''Он на два локтя аккуратно''
  
−
<font color="red">'''Решение:'''</font> 
+
''Трудился наш червяк отважный,''
−
+
−
<font color="navy">а<small>14</small>=а<small>1</small>+13d, a<small>1</small>=59-13*4=7
+
  
−
S<small>14</small>=(7+59)/2*14=462
+
''И вот итог работы важной,''
  
−
Ответ: все чарки весят 462 лата</font>
+
''Награда девяти ночей:''
  
−
<font color="Chocolate">'''4 задача'''</font>
+
''Он на верхушке липы сей.''
  
−
Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
+
''- Теперь, мой друг, поведай ты,''
  
−
<font color="red">'''Решение:'''</font> 
+
''Какой та липа высоты?''
−
+
−
<font color="navy">1 гривна=10 копеек, 1 алтын-3 копейки.
+
  
−
Пусть бочка стоит х руб.
+
<font color="#B22222">Решение</font>
  
−
8х+0,6=9х-1,6
+
(4-2)8+4=20
  
−
х=2,2 руб.
+
Ответ: высота липы 20 локтей
  
−
до покупки у него было 2,2*8+0,6=18,2 руб  
+
<font color="#800000">'''5 задача'''</font>  
  
−
Ответ: у человека было 18 рублей и 2 гривны</font>
+
''Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать каждый день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему делать в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?''
  
−
<font color="Chocolate">'''5 задача'''</font>
+
<font color="#B22222">Решение</font>
  
−
Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую своих денег, за другую три седьмых остатка от первой игрушки, за третью заплатил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом нашел остальные - 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?
+
Так как первый вышел на день раньше и прошел 40 верст, то второму надо нагнать эти 40 верст.  
  
−
<font color="red">'''Решение:'''</font> 
+
40:(45-40)=8 дней
−
+
−
<font color="navy">1-15=4/5 - остаток
+
  
−
4/5*3/7=12/35(денег) - за первую игрушку
+
Ответ: за 8 дней второй человек догонит первого.
  
−
4/5-12/35=16/35 - остаток от второй игрушки
+
<font color="#800000">'''6 задача'''</font> 
  
−
16/35*3/5=48/175(денег) - стоит вторая игрушка
+
''идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет из другого города ему на встречу и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?''
  
−
16/35-48/175=32/175 (денег) - осталось в кошельке
+
<font color="#B22222">Решение</font>
  
−
1,92:32/175=10,5(руб) - было в кошельке.
+
За один день путники сближаются на 30+40=70 верст.
  
−
10,5*1/5=2,1(руб) - стоила 1 игрушка
+
700:70=10 дней
  
−
(10,5-2,1)*3/7=3,6(руб) - стоила 2 игрушка
+
Ответ: через 10 дней путники встретятся.
  
−
(8,4-3,6)*3/5=2,88(руб) - стоила 3 игрушка</font>
+
<font color="#800000">'''7 задача. (задача Бируни)'''</font>
  
−
<font color="Chocolate">'''6 задача'''</font>
+
''Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца''
  
−
Говорит дед внукам: "Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза".Как же разделить орехи?
+
<font color="#B22222">Решение</font>
  
−
<font color="red">'''Решение:'''</font> 
+
10 дирхемов - 2,5 дирхема за 1 месяц
−
+
−
<font color="navy">Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях.
+
  
−
Значит большая часть должна содержать в 3*4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей, поэтому меньшая должна содержать 130/13=10 орехов, а большая 130-10=120 орехов.
+
8 дирхемов - х дирхемов за 1 месяц
  
−
Ответ: 10 и 120 орехов.</font>
+
10/8=2,5/x
  
−
<big>'''Индусские задачи из Бхасхары'''</big>
+
x=8*2,5/10
  
−
''Задачи решаются составлением квадратного уравнения''
+
x=2
  
−
<font color="Chocolate">'''1 задача'''</font>
+
2*3=6
  
−
Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда на 4 фута, под напором ветра он скрылся под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?
+
Ответ: 8 дирхемов принесут доход 6 дирхемов за 3 месяца
  
−
<font color="Chocolate">'''2 задача'''</font>
+
<font color="#800000">'''7 задача (Китай II век)'''</font>
  
−
На две партии разбившись
+
''Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?''
  
−
Забавлялись обезьяны.
+
<font color="#B22222">Решение</font>
  
−
Часть восьмая их в квадрате
+
1/7+1/9=16/63
  
−
В роще весело резвилась,
+
1:16/63=63/16=3,9375
  
−
Криком радостным двенадцать
+
Ответ: через 3,9375 дня они встретятся.
  
−
Воздух свежий оглашали.
+
<font color="#800000">'''8 задача'''</font> 
  
−
Вместе сколько, ты мне скажешь,
+
''- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу и слушает твои беседы?''
  
−
Обезьян там было в роще?
+
''- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме того, есть еще три женщины.''
  
−
<big>'''Задача из "Азбуки" Л.Н.Толстого (1828-1910 гг.)'''</big>
+
<font color="#B22222">Решение</font>
  
−
<font color="Chocolate">'''Задача'''</font>
+
Пусть школу посещают х учеников,
  
−
Пятеро братьев разделили между собой наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех пяти братьев стало поровну. Много ли стоили дома?
+
1/2x+1/4x+1/7x+3=x
  
−
<font color="red">'''Решение:'''</font> 
+
x=28
−
+
−
<font color="navy">800*3=2400(руб.) - заплатили двум меньшим;
+
  
−
2400:2=1200(руб.) - получил каждый в наследство;
+
Ответ: 28 учеников посещают школу Пифагора.
  
−
1200*5:3=2000 - стоил дом.
+
<font color="#191970"><big>Задачи из "Курса чистой математики" Войтяховского</big></font>
  
−
Ответ: дом стоил 2000 рублей.
+
<font color="#800000">'''1 задача'''</font>
−
</font>
+
  
−
<big>'''Из рассказа А.П.Чехова "Репетитор"'''</big>
+
''Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?''
  
−
<font color="Chocolate">'''Задача'''</font>
+
<font color="#B22222">Решение</font>
  
−
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное - 3 рубля.
+
Пусть пробка стоит х копеек, тогда бутылка стоит (х+10) копеек.
  
−
<font color="red">'''Решение:'''</font> 
+
х+(х+10)=12
−
+
−
<font color="navy">Пусть синего сукна было х аршин, тогда черного (138-х) аршин.
+
  
−
5х+3(138-х)=540
+
2х=2
  
−
5х+414-3х=540
+
х=1(коп) - стоит пробка.
  
−
2х=126
+
1+10=11 (коп) - Стоит бутылка
  
−
х=63(аршина) - синего
+
Ответ: пробка стоит 1 копейка, бутылка - 10 копеек.
  
−
138-63=75(аршин) черного.
+
<font color="#800000">'''2 задача'''</font> 
  
−
Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин.</font>
+
''Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и еще пол-апельсина, второму пкупателю - половину оставшихся апельсинов и еще пол-апельсина. Таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям. Когда же подошел седьмой покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый покупатель?''
  
−
--[[Участник:Великолепная восьмёрка ID-300]]  17:58, 20 октября 2008 (SAMST)
+
<font color="#B22222">Решение</font>
  
−
<big>'''Старинные задачи'''</big>
+
1)Сколько всего было апельсинов?
  
−
<font color="Chocolate">'''1 задача'''</font>
+
(((((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=63 (а)
  
−
Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее даже самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.
+
2)Сколько взял первый покупатель?
  
−
<font color="red">'''Решение:'''</font> 
+
63:2+0,5=32 (а)
−
+
−
<font color="navy">Разделить 9 монет на три группы по три монеты. Кладем по три монеты на чашки весов. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. тогда берем 2 из трех монет и кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета - третья, если нет, то одна чашка поднимается - там фальшивая</font>
+
  
−
<font color="Chocolate">'''2 задача'''</font>
+
3)Сколько взял второй покупатель?
  
−
У одного старика спросили, сколько ему лет. Он сказал, что ему 100 лет и несколько месяцев, но дней рождения у него всего было 25. Как это могло быть?
+
(63-32):2+0,5=16 (а)
  
−
<font color="red">'''Решение:'''</font> 
+
4)Сколько взял третий покупатель?
−
+
−
<font color="navy">Он родился в високосный год 29 февраля</font>
+
  
−
--[[Участник:Великолепная восьмёрка ID-300]] 09:55, 21 октября 2008 (SAMST)
+
(63-32-16):2+0,5=8 (а)
  
−
==Участник:ЗВЕЗДА ID 248==
+
5)Сколько взял червертый покупатель?
  
−
Задачи Древнего Востока
+
(63-32-16-8):2+0,5=4 (а)
  
−
№1
+
6)Сколько взял пятый покупатель?
  
−
Из четырех посетителей храма второй дал в 2 раза больше монет, чем первый, третий - в 3 раза больше монет, чем второй, а четвертый - в 4 раза больше монет, чем третий. Всего было да¬но 132 монеты. Сколько монет дал первый?
+
(63-32-16-8-4):2+0,5=2 (а)
 +
 
 +
7)Сколько взял шестой покупатель?
 +
 
 +
(63-32-16-8-4-2):2+0,5=1 (а)
 +
 
 +
<font color="#800000">'''3 задача'''</font> 
 +
 
 +
''Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей. Спрашивается в какое время собака догонит зайца?''
 +
 
 +
<font color="#B22222">Решение</font>
 +
 
 +
500:2=250 (саженей/мин) - скорость зайца
 +
 
 +
1300:5=260 (саженей/мин) - скорость собаки
 +
 
 +
150:(260-250)=15 (Мин)
 +
 
 +
Ответ: через 15 минут собака догонит зайца.
 +
 
 +
--[[Участник:Великолепая восьмёрка ID-300]]  11:05, 24 октября 2008 (SAMST)
 +
 
 +
----
 +
 
 +
 
 +
 
 +
----
 +
== <span style="color:#4B0082">Смешарики ID 245</span> ==
 +
 
 +
<big>Задачи древнего востока: </big>
 +
Задачи из папируса Ринда (1700 г. До н.э.)
 +
 
 +
 
 +
<span style="background-color:yellow">Задача №1</span>
 +
 
 +
Некий математик насчитал на выгоне 70 коров. «Какую долю от всего стада составляют эти коровы?» - спросил математик пастуха. «Я выгнал пастись две трети от трети всего стада», - отвечал пастух. Сколько голов скота насчитывается во всем стаде?
 +
 
 +
Решение:
 +
Пусть х – число голов скота во всем стаде. Тогда:
 +
(2/3)*(1/3)х=70
 +
(2/9)х=70
 +
х = 315
 +
Ответ: во всем стаде 315 голов скота.
 +
 
 +
Великолепные задачи мы находим в собранных много веков назад арабских сказках « 1001 ночь»
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="background-color:yellow">Задача № 2</span>
 +
 
 +
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну.» Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?
  
 
Решение:
 
Решение:
 +
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда:
 +
У – 1 = (x+y)/3
 +
И,  кроме того,
 +
Х – 1 = у + 1, т.е. х = у + 2
 +
Подставляя значение х в первое уравнение, получаем:
 +
( у – 1 )* 3 = ( у + 2 ) + у
 +
3у – 3 = 2у + 2
 +
У = 5, х = 5 + 2 = 7
 +
Ответ: 7 голубей село на дерево, а 5 голубей расположилось под деревом.
  
−
Пусть х - число монет, которые дал первый посетитель храма. По условию задачи составим уравнение и решим его:
+
В старинной персидской легенде « История Морадбальса», так же вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной деве следующую задачу.
  
−
х + 2х+6х+24х = 132
 
  
−
Зх = 132
 
  
−
х = 4
+
<span style="background-color:yellow">Задача № 3.</span>
  
 +
Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Что бы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину из собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Также она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок собрала женщина в саду?
 +
Решение:
 +
Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160.
 +
Ответ: Женщина собрала в саду 160 яблок.
 +
 +
 +
 +
<span style="background-color:yellow">Задача № 4.</span>
 +
 +
Араб, чувствуя близкую кончину, призвал трех своих сыновей и сказал им: « Когда я умру, разделите между собой мое стадо верблюдов. Пусть старший из вас возьмет 1/2 всего стада , средний – 1/4, а младший – 1/5» Когда араб умер, сыновья хотели разделить стадо, как завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в отцовском стаде оказалось 19 верблюдов. На их счастье мимо проходил мулла, слывший за умного человека. Узнав в чем дело, он предложил сыновьям занять у соседа одного верблюда. Когда этот верблюд был приведен, его присоединили к отцовскому стаду. Затем мулла приказал старшему взять половину стада, т.е. 10 верблюдов, среднему – 1/4 часть, т.е. 5 верблюдов, а младшему – 1/5 часть, т.е. 4 верблюда. « Сколько верблюдов вы разобрали?» – спросил мулла. Братья сосчитали и ответили: «19». « Ну а оставшегося верблюда верните соседу», - сказал мулла. Все ли участники дележа рассуждали правильно, и не заблуждался ли    кто–нибудь из них?
 +
 +
Решение:
 +
Заблуждался сам завещатель: отказывая в своем завещании сыновьям ½, ¼, и  1/5 всего стада, он упустил из виду, что эти доли всего стада не составляют в сумме единицу, т.е. всего стада:
 +
 +
½+1/4+1/5=10/20+5/20+4/20=19/20
 +
 +
Не хватает 1/20. Это и понял мулла и приказал добавить к стаду одного верблюда, т.е. недостающую часть стада.
 +
 +
 +
 +
<span style="background-color:yellow">Задача № 5.</span>
 +
 +
Из четырех посетителей храма второй дал в 2 раза больше монет, чем первый, третий – в 3 раза больше монет, чем второй, а четвертый – в 4 раза больше монет, чем третий. Всего было дано 132 монеты. Сколько монет дал первый?
 +
 +
Решение:
 +
Пусть х – число монет, которые дал первый посетитель храма. По условию задачи составим уравнение и решим его:
 +
Х + 2х + 6х + 24х = 132
 +
3х = 132
 +
Х = 4
 
Ответ: 4 монеты.
 
Ответ: 4 монеты.
  
−
№2
 
  
−
Если некоторое число умножить на 5, от произведения отнять его треть, остаток разделить на 10 и к полученному числу приба¬вить последовательно одну треть, одну вторую и одну четвертую часть первоначального числа, то получится 68. Какое это число?
 
  
−
№3 Древнеиндийская задача
+
<span style="background-color:yellow">Задача № 6.</span>
 +
 
 +
<big>Древнеиндийская задача:</big>
  
 
Есть кадамба цветок. На один лепесток
 
Есть кадамба цветок. На один лепесток
−
 
 
Пчелок пятая часть опустилась.
 
Пчелок пятая часть опустилась.
−
 
 
Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,
 
Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,
−
 
 
И на ней третья часть поместилась.
 
И на ней третья часть поместилась.
−
 
 
Разность их ты найди, трижды их ты сложи,
 
Разность их ты найди, трижды их ты сложи,
−
 
 
На кутай этих пчел посади.
 
На кутай этих пчел посади.
−
 
 
Лишь одна не нашла себе места нигде,
 
Лишь одна не нашла себе места нигде,
−
 
 
Все летала то взад, то вперед
 
Все летала то взад, то вперед
−
 
 
И везде ароматом цветов наслаждалась.
 
И везде ароматом цветов наслаждалась.
−
 
 
Назови теперь мне, подсчитавши в уме,
 
Назови теперь мне, подсчитавши в уме,
−
 
 
Сколько пчелок всего здесь собралось?
 
Сколько пчелок всего здесь собралось?
  
−
№4
+
Решение:
 +
Алгебраический способ.
 +
Пусть всего было х пчел. Тогда получим уравнение:
 +
x/5+x/3+3(x/3-x/5)+1=x
 +
x = 15
  
−
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей се¬ла на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько го¬лубей сидело на ветвях и сколько под деревом?
+
Способ подбора.
 +
НОК (3;5) = 15. Проверим число 15.
 +
15/5+15/3+3(5-3)+1=15
 +
Ответ: было 15 пчел.
  
−
№5
 
  
−
Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Чтобы вый¬ти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину из собранных ею яблок. Дойдя до второго страж¬ника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Также она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?
 
  
−
№6
+
<span style="background-color:yellow">Задача № 7</span>
  
−
Араб, чувствуя близкую кончину, призвал трех своих сыновей и сказал им: «Когда я умру, разделите между собой мое стадо верблюдов. Пусть старший из вас возьмет 1/2 всего стада, сред¬ний - 1/4, а младший - 1/5». Когда араб умер, сыновья хотели раз¬делить стадо, как завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в отцовском стаде оказалось 19 верблюдов. На их счастье ми¬мо проходил мулла, слывший за умного человека. Узнав в чем де¬ло, он предложил сыновьям занять у соседа одного верблюда. Когда этот верблюд был приведен, его присоединили к отцов¬скому стаду. Затем мулла приказал старшему взять половину ста¬да, т.е. 10 верблюдов, среднему - 1/4 часть, т.е. 5 верблюдов, а младшему - 1/5 часть, т.е. 4 верблюда. «Сколько верблюдов вы разобрали?» - спросил мулла. Братья сосчитали и ответили: «19». «Ну а оставшегося верблюда верните соседу», - сказал мул¬ла. Все ли участники дележа рассуждали правильно, и не заблуж¬дался ли кто-нибудь из них?
+
<big>Пифагор Самосский</big>( около 580 -501 гг. до н.э.)
  
 +
Поликрат ( известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. « Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины.» Сколько учеников было у Пифагора?
  
 +
Решение:
 +
Пусть х – число учеников Пифагора.
 +
По условию задачи составим уравнение:
  
 +
1*x/2+1*x/4+1*x/7+3=x
 +
Х = 28
 +
Ответ: 28 учеников.
  
  
−
----[[Участник:ЗВЕЗДА ID 248|ЗВЕЗДА ID 248]] 18:55, 20 октября 2008 (SAMST)
+
 
 +
<span style="background-color:yellow">Задача № 8.</span>
 +
 
 +
<big>Герон Александрийский </big>( 1в. До н.э.)
 +
 
 +
Из – под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй – за 2 дня, третий – за 3 дня и четвертый – за 4 дня. За сколько времени наполняют бассейн четыре источника вместе?
 +
 
 +
Решение:
 +
Примем объем бассейна за 1.
 +
Пусть х – число дней, за которые источники вместе заполнят бассейн.
 +
x/1+1*x/2+1*x/3+1*x/4=1
 +
12х + 6х + 4х + 3 = 12
 +
25х = 12
 +
Х = 12/25
 +
Следовательно, чтобы заполнить бассейн из четырех источников, требуется 12/25 дня, т.е. чуть меньше половины дня.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="background-color:yellow">Задача № 9.</span>
 +
 
 +
<big> Евклид</big> (3 в. До н.э.)
 +
 
 +
Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали.
 +
Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен.
 +
Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью:
 +
«Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка?
 +
Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру,
 +
Если ж ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись».
 +
Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.
 +
 
 +
Решение:
 +
Если х – груз мула, то ( х – 1) – груз осла, увеличенный на единицу, а , следовательно, первоначальный груз осла был ( х – 2). С другой стороны, (х + 1) в 2 раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. (х – 3). Таким образом,
 +
Х + 1 = 2(х – 3)
 +
Х = 7
 +
Груз мула равен 7, груз осла равен
 +
Х – 2 = 5
 +
Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="background-color:yellow">Задача №10</span>
 +
 
 +
<big>Древнеримская задача</big>(II век)
 +
 
 +
    Некто, умирая, завещал: “Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене – остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3”. Родилась двойня – сын и дочь. Как же разделить мнение?
 +
    Решение:
 +
    Римский юрист Сильвий так решил эту задачу: наследственно необходимо разделить на 7 частей; 4/7 получит сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь. При таком дележе будет соблюдена воля отца, чтобы сын получил долю вдвое больше, чем мать, а дочь вдвое меньше, чем мать.
 +
    Пусть х – доля матери. Составим уравнение:
 +
                              х + 2х + х/2 = 1
 +
                                      х=2/7
 +
Ответ: 4/7 наследства получил сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="background-color:yellow">Задача №11</span>
 +
 
 +
<big>Суд Париса</big>
 +
 
 +
    Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказывали следующие утверждения:
 +
 
 +
    Афродита. Я самая прекрасная.              (1)
 +
    Афина. Афродита не самая прекрасная.        (2)
 +
    Гера. Я самая прекрасная.                  (3)
 +
    Афродита. Гера не самая прекрасная.        (4)
 +
    Афина. Я самая прекрасная.                  (5)
 +
     
 +
    Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрывал глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?
 +
    Ответ: Афродита – прекраснейшая из богинь, по “суду Париса”,так как истинными могут быть утверждения 1 и 4, ложными 2, 3, 5.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="background-color:yellow">Задача 12</span>
 +
 
 +
Летела стая гусей, а на встречу им летит один гусь и говорит:
 +
“Здравствуйте, сто гусей!” “Нас не сто гусей,- отвечает ему вожак стада,- если бы нас не было столько, да полстолька, да четверть столька, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей”. Сколько было в стае гусей?
 +
 
 +
x + x + x/2 + x/4 + 1 = 100
 +
2x + 0,5x + 0,15x = 99
 +
2,75x = 99
 +
X = 36
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="background-color:yellow">Задача 13</span>
 +
 
 +
Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил: “Аще придается к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавится из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег”.
 +
 
 +
Пусть x рублей было у человека;
 +
x + x + x/2 + ¾*x + 2/3*x – 50 = 100
 +
Умножим обе части уравнения на 12
 +
24x + 6x + 9x + 8x – 600 = 1200
 +
47x + 1800
 +
x = 38*14/47
 +
 
 +
 
 +
<span style="background-color:yellow">Задача 14</span>
 +
 
 +
У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил: “Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24к.”. Три раза проходил лодырь мост, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько же денег было у лодыря?
 +
 
 +
Пусть x коп. было у лодыря, тогда после:
 +
 
 +
1) раза --> 2X – 24
 +
2) раза --> 2(2x - 24) – 24
 +
4x - 48 – 24
 +
4x – 72
 +
3) раза --> 2(4x - 72) – 24
 +
8x -144 – 24 = 0
 +
8x = 168
 +
x = 21
 +
Ответ: У него была 21 коп.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="background-color:yellow">Задача 15</span>
 +
 
 +
<big>Жизнь Диофанта</big>
 +
 
 +
Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей –
 +
И камень мудрым искусством его скажет успокоившего век.
 +
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
 +
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
 +
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
 +
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
 +
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
 +
Отнят он был у отца ранней могилою своей.
 +
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
 +
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
 +
 
 +
Сколько лет прожил Диофант?
 +
 
 +
Решение:
 +
Алгебраический способ
 +
Пусть Диофант прожил х лет. Тогда получим уравнение:
 +
 
 +
х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4=х
 +
х=84
 +
Способ подбора
 +
Число лет Диофанта делится на 6,12,7, и 2.
 +
НОК (6,12,7,2) = НОК (12,7) = 84
 +
 
 +
Ответ: Диофант прожил 84 года.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="background-color:yellow">Задача 16</span>
 +
 
 +
<big>Древнегреческая задача о статуе Минервы</big>
 +
 
 +
Я изваяние из злата. Поэты то злато в дар принесли.
 +
Хоризий принес половину всей жертвы,
 +
Фестия часть восьмую дала, десятую – Солон.
 +
Часть двадцатая – жертва певца Фемисона.
 +
А девять – все завершивших талантов –
 +
Обет, Аристоником данный.
 +
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?
 +
 
 +
Решение:
 +
Алгебраичеический способ
 +
Пусть поэтами в дар принесены х талантов. Уравнение выглядит так:
 +
х/2 + х/8 + х/10 + х/20 + 9=х
 +
х=40
 +
Ответ: 40 талантов золота.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="background-color:yellow">Задача 17</span>
 +
 
 +
<big>Задача о Музах</big>
 +
 
 +
Видя, что плачет Эрот (бог любви), Киприда его вопрощает:
 +
“Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!”
 +
“Яблок я нес с Геликона немало”,- Эрот отвечает,-
 +
Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.
 +
Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа, а Клио
 +
Пятую часть взяла, Талия – долю восьмую
 +
С частью двадцатой ушла Мельпомена.
 +
Четверть взяла Терпсихора.
 +
С частью седьмою Эрато от меня убежала,
 +
Тридцать плодов утащила Полигимния.
 +
Сотня и двадцать взяты Уратией,
 +
Триста плодов унесла Каллиопа.
 +
Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.
 +
Только полсотни плодов мне оставили Музы на долю.
 +
Сколько яблок нес Эрот до встречи с Музами?
 +
Решение:
 +
Пусть х яблок нес Эрот до встречи с Музами. Составим уравнение:
 +
х/12 + х/5 + х/8 + х/20 + х/4 + х/7 + 120 + 300 + 50 + 30=х
 +
х=3360
 +
Ответ: 3360 яблок нес Эрот до встречи с музами.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<big>P.S. ВСЕ ЗАДАЧИ БЫЛИ В ТОЧЬ В ТОЧЬ КОПИРОВЫНЫ ИЗ ИСТОЧНИКОВ(в нашем случае это книги)</big>
 +
 
 +
-- [[Участник:Смешарики ID 245|Смешарики ID 245]] 11:07, 24 октября 2008 (SAMST)
 +
 
 
----
 
----
 +
Bookworm ID 213
 +
 +
Задача № 1. Задача Льва Толстого: Продавец продаёт шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдаёт 10+10+5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 руб. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. Вопрос: на сколько обманули продавца?
 +
Решение: Была шапка и некоторое количество денег. Ему дали 25 рублей и забрали шапку со сдачей в 15 рублей. В результате получилось, что он отдал шапку и получил 10 рублей. Затем он отдал 25 рублей соседке и из +10 рублей получились –15 рублей. Вывод: его обманули на шапку и 15 рублей.
 +
 +
Задача № 2. Головоломка из «Книги абака» Леонардо Фибоначчи 1202 год:  В январе тебе  подарили новорождённых кроликов. Через два месяца они рождают новую пару кроликов. Каждая новая пара кроликов через два месяца после рождения рождает новую пару. Вопрос: Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре? 
 +
Решение: Решая эту задачу можно увидеть, что количество кроликов, рождаемых каждый последующий месяц – это числа Фибоначчи. В январе 1 пара, в феврале 1 пара, в марте 2 пары, в апреле 3 пары, в мае 5 пар, в июне 8 пар, в июле 13 пар, в августе 21 пара, в сентябре 34 пары, в октябре 55 пар, в ноябре 89 пар, в декабре 144 пар.
 +
Ответ: 144 пары.
 +
 +
Задача № 3. Задача Эйлера: Крестьянка принесла на рынок некоторое количество яиц. Одному покупателю она продала половину того, что имела, и  ещё пол яйца, второму половину того, что осталось и ещё пол яйца, третьему половину нового остатка и ещё пол яйца, наконец, четвертому половину того, что осталось после торговли, и ещё пол яйца. После этого у неё ничего не осталось. Вопрос: Сколько было яиц?
 +
Решение: Чтобы решить эту задачу составим уравнение, где х – число яиц в начале торга:
 +
(((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=х
 +
Получаем, что:
 +
15=х
 +
Ответ: 15 яиц
 +
 +
Задача № 4. Задача Исаака Ньютона: Два почтальона А и В, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу. А проезжает за 2 часа 7 миль, а В – за 3 часа 8 миль, при этом В отправляется в путь часом позже А. Найти, сколько миль проедет В до встречи с А?
 +
Решение: Для начала узнаем, скорости обоих почтальонов:
 +
Скорость А=3,5 м/ч. Скорость В=8/3 м/ч.
 +
Если известно, что А проехал на час больше, вычитаем это расстояние из всего:
 +
59-3,5=55,5
 +
Затем делим полученную разность на скорость сближения:
 +
55,5:37/6=9ч
 +
Скорость В умножить на время:
 +
9*8/3=24м
 +
Ответ: 24 мили
 +
 +
Задача № 5. Из рассказа А.П.Чехова «Репетитор»
 +
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540р. Сколько купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 р. За аршин, а черное – 3р.?
 +
Решение:
 +
Черное сукно – х аршин
 +
Синее сукно – y аршин
 +
Получаем систему уравнений:  х+у=138  и  3х+5у=540. Решая систему получаем: х= 75,  y=  63.
 +
Ответ: 75 аршин черного сукна и 63 аршина синего сукна.
 +
 +
Задача № 6.  Старинная задача (Китай)
 +
В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?
 +
Решение:
 +
Кролики – х
 +
Фазаны – y
 +
Получаем систему уравнений:  х+у=35  и  4х+2у=94. Решая систему получаем: х= 12,  y=  23.
 +
Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.
 +
 +
Задача № 7.  Задача из «Счетной мудрости» (XVII век)
 +
Идет корабль по морю, на нем мужска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужска полу было и женска порознь? (1 гривна=10 копеек, 1 алтын=3 копейки)
 +
Решение:
 +
120 гривен = 1200 копеек = 400 алтын
 +
Мужчины – х
 +
Женщины – y
 +
Получаем систему уравнений:  х+у=120  и  4х+3у=400. Решая систему получаем: х= 40,  y=  80.
 +
Ответ:  мужска полу было 40, женска – 80.
 +
 +
Задача № 8.  Задача, которую в юности решил Пуассон (1781–1840гг.). Эта задача определила жизненный путь Пуассона – математике он посвятил всю свою жизнь.
 +
Некто имеет 12 пинт меда и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 пинт. У него 2 сосуда: один вместимостью 8 пинт, а другой – в 5 пинт. Каким образом налить 6 пинт в сосуд на 8 пинт?
 +
Решение: Основные ходы на переливание по 2 сосудам представлены в следующей таблице.
 +
8-пинтовый сосуд 8 3 3 0 8 6 6
 +
5-пинтовый сосуд 0 5 0 3 3 5 0
 +
 +
 +
 +
Задача № 9.  Из Древнего Вавилона (около 2 тыс. до н.э.)
 +
Длина и четверть ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?
 +
Решение:
 +
Длина – а ладоней
 +
Ширина – b ладоней
 +
Тогда a+b=10 и а + 1/4 * b=7. Вычтем почленно из первого уравнения второе и получим: 3/4 * b=3. Решая данное уравнение, получаем  b=4. Значит, ширина 4 ладони, тогда длина 10 – 4=6 ладоней.
 +
 +
Задача № 10. Из арифметики Магницкого (1703 г.)
 +
Спросил некто у учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу  отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придет еще столько учеников, сколько имею, и полстолька и четвертая часть и твой сын, тогда у меня будет 100 учеников. Спрашивается: сколько было учеников у учителя?
 +
Решение:
 +
Пусть в классе х учеников, тогда по условию задачи получаем уравнение:
 +
х+х+0,5х+0,25х+1=100
 +
2,75х=99
 +
х=36
 +
Значит, в классе 36 учеников.
 +
Ответ: 36 учеников.
 +
 +
Задача № 11. Адам Рис (1492–1559 гг.)
 +
Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внес на покупку дома каждый из подмастерьев?
 +
Решение:
 +
Всего – 204 гульдена
 +
Первый – х гульдена
 +
Второй – 4х гульдена
 +
Третий – 12х гульдена
 +
Составим и решим уравнение:
 +
х+4х+12х=204
 +
17х=204
 +
х=12
 +
Значит, 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.
 +
Ответ: 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.
 +
 +
Задача № 12. Бхаскара I I (1114–1185гг.)
 +
Одна треть, одна пятая и одна шестая цветков лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну, Сурье, одна четвертая –Бхавани. Остальные 6 цветков предназначены почитаемому праведнику. Сколько цветков лотоса сплетено в венок?
 +
Решение:
 +
В венке – х цветков
 +
Посвящены Шиве – 1/3х цветков
 +
Посвящены Вишну – 1/5х цветков
 +
Посвящены Сурье –  1/6х цветков
 +
Посвящены Бхавани –  1/4х цветков
 +
Почитаемому праведнику – 6 цветков
 +
Составим и решим уравнение:
 +
х – 1/3х –1/5х – 1/6х – 1/4х = 6
 +
Решая уравнение, получаем х = 120
 +
Значит, 120 цветков лотоса сплетено в венок.
 +
Ответ: 120 цветков
 +
Задача № 13. Жизнь Диофанта
 +
История сохранила мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной  в форме математической задачи.
 +
Путник! Здесь прах погребен Диофанта.
 +
И числа поведать могут, о чудо,
 +
Сколь долог был век его жизни.
 +
Часть шестую его представляло прекрасное детство.
 +
Двенадцатая часть протекла еще жизни –
 +
Покрылся пухом тогда подбородок.
 +
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
 +
Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем
 +
Прекрасного первенца сына, коему рок
 +
Половину лишь жизни прекрасной и светлой
 +
Дал на земле по сравненью с отцом.
 +
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
 +
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. 
 +
Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?
 +
 +
Решение:
 +
Возраст Диофанта – х
 +
Прекрасное детство – х/6
 +
Покрылся пухом тогда подбородок – х/12
 +
Бездетный брак – х/7
 +
Осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына – 5
 +
Прожил сын – х/2
 +
По условию составим и решим уравнение: х=х/6+х/12+х/7+5+х/2+4
 +
Решая уравнение, получаем  х=84
 +
Ответ: 84 года.
 +
 +
Задача № 14. Задача Брахмагупта Индия, около 600 года.
 +
Если число дней уменьшить на один затем разделить на 6 и прибавить 3, то получится одна пятая первоначального числа дней. Сколь велико число дней?
 +
Решение:
 +
х – число дней. Составим уравнение:
 +
(х-1)/6+3=х/5
 +
Решив уравнение, получим, что х=85.
 +
Ответ: 85 дней.
 +
--[[Участник:Bookworm ID 213|Bookworm ID 213]] 12:23, 24 октября 2008 (SAMST)
 +
 +
ID 214
 +
<font size=16px color=purple>'''Великие математики'''</font>
 +
 
 +
ЗАДАЧА №1.
 +
 +
Рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую два зерна, на третью -4 зерна и продолжать так удваивать число зерен на каждой следующей клетке.
 +
 +
РЕШЕНИЕ: 1+2+22+23+…+263=264-1=18446744073709551615
 +
 +
ОТВЕТ: 18446744073709551615 зерен.
 +
 +
ЗАДАЧА №2.
 +
 +
Некий человек продаёт коня за 156 рублей, раскаялся же, купец начал отдавать продавцу, глаголя: яко есть мне лепо взятии ситцевого коня. Недостойного такия высокия цены; продавец же предложил ему иную куплю, глаголя: аще ти мнится велика цена сему коню бытии, убо купи токмо гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвоздей во всякой подкове по шести: и за един гвоздь даждь ми едину полушку (1/4 коп.) за другу- две полушки, а за третий копейку. Итако все гвозди купи. Купец  же видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взятии. Обещался тако цену ему плати, чая не больше 10 рублей за гвоздие дати.
 +
 +
РЕШЕНИЕ: ¼ +2/4+1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+2097152=4178703  ¾ (КОП.)
 +
 +
ОТВЕТ: 4178703 ¾  копейки.
 +
 +
ЗАДАЧА №3.
 +
 +
По сообщению «Газеты чиновника» от 14 июня 1914 г. У мирового судьи г. Новочеркасска разбиралось дело о продаже стада 20 овец по условию-уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую 2 копейки, за третью 4 копейки и т. д..
 +
 +
РЕШЕНИЕ: 2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+524288= 1050574
 +
 +
ОТВЕТ: 1050574 копеек.
 +
 +
 +
ЗАДАЧА №4.
 +
 +
Два человека купили на 100 сальдо  свиней и платили за каждые  пять штук по два сальдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сальдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?
 +
 +
РЕШЕНИЕ:1)100/2*5=250 (св.)-купили;
 +
                    2)250/2=125 (св.)-в каждом стаде;
 +
                    3)125/2=60 (с.)-заработали в первом стаде и осталось 5 свиней;
 +
                    4)125/3=40 (с.)-заработали во втором стаде и осталось 5 свиней;
 +
                    5)60+40=100 (с.)-заработали.
 +
 +
ОТВЕТ: 100 сальдо они отработали и ещё заработали 10 свиней.
 +
 +
 +
Я. И. Перельман.
 +
Занимательная алгебра.
 +
Номер автомашины.
 +
 +
Задача 5.
 +
 +
Пргуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математики, каждый из них приметил некоторую особенность этого  четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифру одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это  четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?
 +
 +
Решение. 
 +
 
 +
Обозначим первую (и вторую) цифру искомого числа через а, а третью (и четвертую) – через b. Тогда все число будет равно: 1000а + 100а + 10b + b = 1100а + 11b = 11(100а + b).
 +
Число делится на 11, а потому (будучи точным квадратом) оно делится и на 11*11. Иначе говоря, число 100а + b делится на 11. Применяя любой из двух вышеприведенных признаков делимости на 11, найдем, что на 11 делится число а + b. Но это значит, что а + b = 11, так как каждая из цифр а, b меньше десяти. Последняя цифра b числа, являющегося точным квадратом, может принимать только следующие значения: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Поэтому для цифры а, которая равна 11 – b, находим такие возможные значения: 11, 10, 7, 6, 5, 2.
 +
 +
Первые два значения непригодны, и остаются следующие возможности: 
 +
 +
 +
b = 4,              а = 7,
 +
 +
b = 5,              а = 6,
 +
 +
b = 6,              а = 5,
 +
 +
b = 9 ,            а = 2.
 +
 +
Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырёх чисел: 7744, 6655, 5566, 2299.
 +
 +
Но последние три из этих чисел не являются точными квадратами: число 6655 делится на 5, но не делится на 25; число 2299 = 121*19 также не является квадратом. Остается только одно число 7744 = 88*88; оно и даёт решение задачи.
 +
   
 +
Замок с секретом. (6)
 +
 +
В одном советском учереждении обнаружен был несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им  воспользоваться  , нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определенное слово.
 +
 +
Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробывать все комбинации букв в кружкох. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени.
 +
Можно ли надеяться, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней?
 +
 +
  Решение.
 +
 +
Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробывать.
 +
 +
Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно 36*36 .
 +
 +
К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую из 36 букв третьего кружка. Поэтому трехбуквенных комбинаций возможно 36*36*36.
 +
 +
Таким же образом определяем, что четырехбуквенных комбинаций может быть 36*36*36*36, а пятибуквенных 36*36*36*36*36 или 60466176. Чтобы составить эти 60
 +
с лишним миллионов комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую, 3*60466176 = 181398528 секунд. Это составляет более 50000 часов, или почти 6300 восьмичасовых рабочих дней – более 20 лет.
 +
 +
Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6300, или 1 из 630. Это очень малая вероятность.   
 +
 +
 +
Яблоки.(7)
 +
 +
Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и т.д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?
 +
 +
Решение.
 +
 +
Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил  (0,5x+0,5)
 +
                                               
 +
                       
 +
Второй 0,5(x-(0,5x+0,5))+0,5= 0,25х+0,25 и т.д.
 +
 +
 +
Имеем уравнение (0,5x+0,5) +(0,25х+0,25)+…+0,57х+0,57=х
 +
 +
Всех яблок было 127.
 +
 +
На велодроме.(8)
 +
 +
По круговой дорожке велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположном направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого  велосипедиста,  если  длина  круговой дорожки 170 м?
 +
 
 +
Решение.
 +
 +
Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он поезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170-10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 0х = 170.
 +
 +
Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е.  170х – 170у = 170.
 +
После упрощения этих уравнений получаем: х + у  = 17,      х – у = 1, откуда х = 9, у = 8 (метров в секунду). 
 +
  Юридический вопрос.(9)
 +
 +
Древние римляне ничего, или почти ничего, не сделали для развития математических наук. Они известны более в области законодательства. Дошедшие до нас римские математические сочинения носят преимущественно практический, утилитарный характер. Так, например, повод к составлению арифметических задач давали римские законы о наследстве. Вот одна из таких дошедших до нас задач.
 +
 +
Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 2/3 оставленного имущества, а 1/3 матери. В случае же рождения дочери - она должна получить 1/3, а мать 2/3 имущества. Вдова завещателя родила близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания?
 +
Решение.
 +
 +
Задачу эту, представляющую так называемый « юридический казус », решил, между прочим, знаменитый римский юрист Сальвиан Юлиан. Решение его состоит в том, что имущество должно быть разделено на семь равных частей. Четыре из этих частей должны перейти к сыну, две – к жене и одна к дочери. Предлагаем читателю решить эту задачу на основании не юридических, а математических соображений. 
 +
 +
 +
Задача 10-я
 +
 +
Прекрасная дева с блестящими очами, ты, которая знаешь, как правильно применять метод инверсии, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на ¾ этого произведения, разделено на 7, уменьшено на 1/3 частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня , прибавления 8 и деления на 10 дает число 2.
 +
 +
Решение.
 +
 +
Указание на способ решения заключается в самом условии задачи. Предполагается, что девушка умеет « правильно применять метод инверсии». Инверсией называется такой способ решения задачи, при котором начинают с последнего числа задачи, так сказать, « с конца», и идут в обратном порядке, производя действия также обратные названным в задаче.
 +
 +
Так, например, в данной задаче отправляемся от числа 2 и идем к искомому числу следующим путем:
 +
 +
2 * 10 = 20;
 +
20 – 8 =12;
 +
12 * 12=144;
 +
144 + 52 =196;
 +
 +
Из 196 извлекаем квадратный корень = 14;
 +
 +
От 14 берем 3/2 = 21;
 +
21 * 7 = 147;
 +
От 147 берем 4/7 = 84;
 +
84:3=28.
 +
28 и есть искомое число. То же решение при системе наших обозначений можно написать в одной строке:
 +
 +
(2*10-8)2 + 52=196; корень 196=14; 14* 3/2*7*4/7:3=28.
 +
 +
Древнейший из известных нам индусских математиков (5 век по Р.Х.) Арьябхатта объясняет способ инверсии с такой характерной краткостью:
 +
 +
« Умножение становится делением, деление становится умножением. Прибыль обращается в убыток, убыток в прибыль; инверсия».
 +
 +
Тот же Арьябхатта предлагает в ряду прочих и нижеследующую «практическую» для индусов задачу:
 +
 +
Задача 11-я
 +
 +
        Цена рабыни.
 +
 +
Шестнадцатилетняя девушка-рабыня стоит 32 никша (индусская монета). Что стоит рабыня 20 лет?
 +
 +
Решение.
 +
 +
Решение этой любопытной для нас по условию задачи не отличается само по себе ничем особенным. Но исторически оно доказывает, что индусы уже не позже 5 века были хорошо знакомы с так называемыми у нас « тройным правилом », равно как , кстати сказать, были знакомы и со многими другими «правилами» решений задач, до сих пор еще часто без нужды обременяющими наши учебные курсы.
 +
 +
В частности, при решении задачи о цене рабыни Арьябхатта руководствуется началом « обратной пропорции», потому что, говорит он, « стоимость живых существ (рабов и скота) устанавливается сообразно их возрасту» - чем старше, тем дешевле.
 +
 +
На таком основании выходит, что если шестнадцатилетняя рабыня стоит 32 никша (индусская монета), то однолетняя будет стоить в 16 раз больше, т. е. 32*16 никша, а двадцатилетняя в 20 раз меньше последней суммы, т. е. 32*16:20=25 3/5 никша.
 +
 +
Приведем еще одну индусскую задачу, в которых говорится о более веселых и безобидных  вещах , чем о продаже человека человеком. Задача взята из сочинений уже упомянутого Бгаскары. Решение уравнения, особенно для лиц, знакомых с квадратными уравнениями, не представит ни малейшего затруднения.
 +
 +
Задача 12-я
 +
 +
  Пчелы.
 +
 +
Пчелы в числе, равном корню квадратному из половины роя, слетели на куст жасмина. 8/9 всего роя осталось дома. Одна пчела-самка летает вокруг цветка лотоса. Там жужжит неосторожный самец, привлеченный сладким запахом цветка и теперь заключенный внутри его. Скажи мне число пчел.
 +
 +
Решение. Пусть пчел в рое Х2, тогда уравнение Х2=Х+8/9Х2+2
 +
 +
Ответ:72.
 +
 +
--[[Участник: Великие математики ID 214|Великие математики ID 214]] 14:00, 24 октября 2008 (SAMST)
 +
 +
ID 215 МОЗГИ
 +
 +
<font size=16px color=purple>'''МОЗГИ'''</font>
 +
 
 +
 +
 +
Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ
 +
 +
КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
 +
 +
  Загадка брата-келаря
 +
 +
Аббат Дэвид обвел присутствующих суровым взглядом и заявил, что случай с бокалом вина напомнил ему о прискорбном факте: не далее как поутру Джона-келаря застали на месте преступления — он тайком наливал из бочонка вино, которое приберегалось для особых оказий. Аббат приказал привести вора.
 +
 +
— Ну, негодяй, — сказал он, когда краснорожий келарь предстал перед братией, — ты воровал лучшее наше вино, прикасаться к которому тебе было запрещено. Что можешь сказать в свое оправдание?
 +
 +
— Молю, отец мой, простить меня! — кинулся келарь на колени. — Истинно говорю, нечистый попутал, а бочонок был под рукой, вино-то такое славное, вот я и приложился вроде бы в беспамятстве, и...
 +
 +
— Нечестивец! Сие усугубляет твое прегрешение! Сколько ты выпил вина?
 +
 +
— Самую малость! В бочонке было сто пинт, я нали¬вал себе в этом месяце (был июнь) каждый день по пинте, сегодня тридцатое и значит... Если отец мой сумеет мне в точности сказать, сколько я всего выпил этого великолепного вина, то я готов вынести любую епитимью, какую ему угодно будет на меня наложить.
 +
 +
— Ну ясно, прохвост, ты выпил тридцать пинт.
 +
 +
— Нет-нет, ибо каждый раз, как я выпивал пинту из бочонка, я доливал туда пинту воды!
 +
 +
Удивительно, что это единственная загадка в старых записях, которая не снабжена решением. Быть может, она оказалась для монахов слишком крепким орешком? Сохранилась лишь пометка: «Джон-келарь не понес наказанья за свое прискорбное прегрешение».
 +
 +
В бочонке было 100 пинт вина, и Джон-келарь 30 раз отливал оттуда по пинте, наливая взамен пинту воды. После первого раза в бочонке оставалось 99 пинт вина; после второго раза его оставалось 9801/100  (квадрат 99, делённый на100);  после третьего раза в бочонке оставалось 970299/10000  (куб 99, деленный на квадрат 100); после четвертого раза там оставалась    четвертая    степень 99, деленная на куб 100, а после тридцатого раза в бочонке оставалась тридцатая степень 99, деленная на двадцать девятую степень 100. Это при обычном методе вычисления приведет к делению 59-значного числа на 58-значное! Однако с помощью логарифмов удается быстро установить, что в бочонке осталось количество вина, очень близкое к 73,97 пинты. Следовательно, украденное количество приближается к 26,03 пинты. Монахам, конечно, не удалось получить ответ, поскольку у них не было таблиц логарифмов и они не собирались проводить долгие и утомительные выкладки, дабы «в точности» определить искомую величину, что оговорил в условии хитрый келарь.
 +
С помощью упрощенного метода вычислений я удостоверился, что точное количество украденного вина составило
 +
26,0299626611719577269984907683285057747323737647323555652999 пинты. Человек, который вовлек монастырь в вычисление 58-значной дроби, заслуживал сурового наказания
 +
 +
  Загадка крестоносцев.
 +
 +
Однажды в гостях у монахов аббатства Ридлуэл оказался некий рыцарь по имени Ральф де Боун. Когда обильная трапеза подходила к концу, он обратился к аббату со следующими словами:
 +
 +
— Господин аббат, хорошо зная твою любовь к за¬гадкам, я хочу, с общего позволенья, рассказать одну из них, которую я узнал в дальних странах. Отряд кресто¬носцев выступил, чтобы сыскать себе славу на поле бра¬ни, число ратников было таково, что они могли образо¬вать квадрат. Но по дороге к воинам присоединился еще один рыцарь, так что теперь они могли образовать три¬надцать меньших квадратов. Прошу вас, любезные мо¬нахи, скажите, сколько крестоносцев отправилось на поле брани?
 +
 +
Аббат отложил в сторону большой кусок пирога и быстро проделал какие-то вычисления.
 +
 +
— Сэр рыцарь, — сказал он через некоторое время,— эту загадку легко разгадать. Сначала было 324 человека, которые могли образовать квадрат 18 X 18, а затем их стало 325, и они могли образовать 13 квадратов по 25 человек в каждом. Но кто из вас скажет мне, сколько понадобится крестоносцев, чтобы • образовать не 13, а 113 квадратов при тех же условиях?
 +
 +
Монахи разошлись в  молчании, на следующее утро аббату пришлось сообщить им ответ.
 +
 +
Правильным ответом будет 602 176. Такое число крестоносцев могло образовать квадрат  . После того как к отряду присоединился еще один рыцарь, можно было образовать 113 квадратов по 5329 (73 X 73) человек в каждом. Другими словами, 113*(73)2—1=(776)2. Это частный случай так называемого уравнения Пелля.
 +
 +
  Кошки монастыря святого Эдмондсбери.
 +
 +
— О монастыре святого Эдмондсбери, — начал од¬нажды отец Питер, — рассказывают, что как-то в давние времена его одолели мыши. Дабы искоренить это зло, доброму тамошнему аббату пришлось распорядиться, чтобы в святую обитель доставили кошек со всей округи. Записи свидетельствуют, что к концу года каждая кош¬ка уничтожила одинаковое число мышей и что всего их было уничтожено ровно 1 111 111 штук. Как вы думаете, сколько кошек собрали в монастыре?
 +
 +
— Мне думается, что всех мышей съела одна кош¬ка, — сказал брат Бенджамин.
 +
 +
— Брат мой! Я же сказал «сколько кошек».
 +
 +
— Хорошо, — настаивал Бенджамин, — тогда, навер¬ное, 1 111 111 кошек съело по одной мыши.
 +
 +
— Нет, — возразил отец Питер после того, как мона¬хи вволю насмеялись, — я сказал «мышей»; я хочу лишь добавить, что каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек. Мне сказали, что здесь все осно¬вано просто на делении чисел, но я не знаю ответа на эту загадку.
 +
 +
Правильный ответ сохранился в летописи монастыря, но там не сказано, как его получили.
 +
 +
Решение: . Читатель знает, что целые числа бывают простыми и составными. Далее, 1111111 не может быть простым числом, ибо если бы оно было таковым, то единственными возможными ответами оказались бы те, что предложил брат Бенджамин и отверг брат Питер. Точно так же оно не может разлагаться в произведение более двух простых сомножителей, ибо тогда решение оказалось бы не единственным. И действительно, 1 111 111 = 239 X 4649 (оба сомножителя простые); поскольку каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек, то кошек было 239.
 +
 +
В общем случае данная задача состоит в нахождении делителей (если они имеются) чисел вида (10n-1)/9.
 +
 +
 +
  Математические задачи из книги:
 +
 +
  «Полный курс чистой математики, сочиненный артиллерии штык-юнкером и математики
 +
партикулярным  учителем Ефимом Вохтяховским в пользу и употребление юношества
 +
и упражняющихся в математике». 4  тома, изд. 1820 г.
 +
 +
Задачи курса Вохтяховского более переработаны и приспособлены к русскому кругозору, а некоторые из них положительно остроумны, иногда, впрочем, до игривости, сбивающейся на «раешник». Не обходится в иных из них и без сатиры, предметом которой обыкновенно избираются в силу условий времени французы. Вот несколько задач из курса Вохтяховского. Решения их незамысловаты, так что даем только ответы.
 +
 +
  Богатство Мадамы
 +
 +
Нововыезжей в Россию Французской Мадаме вздумалось ценить свое богатство в чемодане: новой выдумки нарядное фуро и праздничный чепец а ла фигаро; оценщик был Русак, сказал Мадаме так: богатства твоего первая вещь фуро вполчетверта дороже чепца фигаро; вообщеж стоют не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина; спрашивается какой вещи цена, с чем Француженка к Россам привезена.
 +
 +
Решение:
 +
 +
Четвертак=25коп Х-чепец; 12,5Х-фуро
 +
Х+12,5Х=30
 +
 +
Ответ. Чапец «а ла фигаро» стоит 11/2 коп., а нарядное фуро 51/4 коп.
 +
 +
  Богатство гасконца
 +
 +
У приезжего гасконца оценили богатство: модной жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета; спрашивается каждой вещи цена.
 +
 +
Решение:
 +
Х-жилет 1/6Х-фрак; 1алтын=15коп; 1полутня=1/4 коп
 +
Х+1/6Х=443/4
 +
 +
Ответ. Цена фрака 61/4 коп., жилета 21/2 коп.
 +
 +
  Веселый француз
 +
 +
Веселый француз пришел в трактир с неизвестною суммою своего богатства, знал у содержателя столько денег, сколько у себя имел; из сей суммы издержал 1 рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занявши столько, сколько имел, издержал в оном также 1 рубль; потом пришед в третий и четвертый трактир учинил то же, наконец по выходе из четвертого трактира не имел ничего; спрашивается количество его денег.
 +
 +
Решение:
 +
Аршин=71.12см; Рубль=100коп; Х=кол-во денег за полсемажды полдевята аршина
 +
1.5*1/6*71,12=11/4
 +
1/14*1/1871,12=Х
 +
 +
 +
Ответ. 933/4 коп.
 +
 +
З а д а ч а 
 +
 +
Куплено сукна полторажды полтретья аршина, заплачено полчетвертажды полпята рубли; спрашивается, сколько должно заплатить за полсемажды полдевята аршина того же сукна?
 +
 +
Решение:
 +
Аршин=71.12см; Рубль=100коп; Х=кол-во денег за полсемажды полдевята аршина
 +
1.5*1/6*71,12=11/4
 +
1/14*1/1871,12=Х
 +
 +
Ответ. 232 руб. 5 коп.
 +
 +
Дележ
 +
 +
4 путешественника: купец с дочерью, да крестьянин с женою нашли без полушки 9 алтын да лапти, из коих крестьянке дали грош без полушки да лапти, а остальные деньги разделили между собой так: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купец вполтретья больше крестьянина; спрашивается, сколько которому досталось?
 +
 +
Решение:
 +
Алтын=15коп; Полушка=1/4коп; Грош=1/2коп; крестьянин-Х
 +
1,5Х+Х+1/6Х=135-1/4
 +
 +
Ответ. Крестьянин получил 5 коп., дочь купца 71/2 коп., купец 121/2 коп.
 +
 +
Мена
 +
 +
Крестьянин менял зайцев на домашних куриц, брал за всяких двух зайцов по три курицы; каждая курица снесла яиц третью часть против числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйцы, брал за каждые девять яиц по стольку копеек, сколько каждая курица яиц снесла, за которые выручил он 24 алтына; спрашивается число кур и зайцов.
 +
 +
Решение:
 +
2заяц=3курицы, пусть было Х кур; 1/3Х яиц снесла каждая курица; 9=1/3Х коп; 24коп за все яйца
 +
 +
Ответ. 12 зайцев и 18 кур.
 +
 +
                                  __________________________________
 +
 +
Следующие составители наших арифметических учебников и задачников не развивали идеи Войтяховского - предлагать задачи и примеры в легкой, доступной и даже забавной форме. Об это надо пожалеть.
 +
 +
 +
--[[Участник:МОЗГИ ID 215|МОЗГИ ID 215]] 14:16, 24 октября 2008 (SAMST)
 +
 +
 +
.Задача из старинного русского учебника математики, носящего пространственное название "Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу употребление юношества и упражняющихся в Математике" (1795), заимствую следующую задачу:
 +
 +
--[[Участник:Пифагор ID 220|Пифагор ID 220]] 14:55, 24 октября 2008 (SAMST)
 +
 +
"Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб, 35 коп. Спрашивается число ран"
 +
РЕШЕНИЕ: Составляем уравнение [[Изображение:form1.jpg]]откуда имеем  х=16
 +
-результат, который легко находим путем испытаний. При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.
 +
 +
 +
<font color="red"><big>'''Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице [[Копилка знаменитых задач продолжение]].'''</big></font>
  
  
 
[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
 
[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]]
−
[[Категория:Проект ДООМ]]
 

Текущая версия на 10:07, 12 февраля 2010

Юные математики! Поместите на эту страницу знакомые всему математическому миру, но незнакомые многим школьникам авторские задачи великих математиков (и не только), а также известные старинные задачи.

В блиц-конкурсе «Великие сюжетные задачи» участвуют задачи, размещенные в срок с 24 октября по 17 ноября!

Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице Копилка знаменитых задач продолжение.


Команда ШОУ «Модель» ID_278

1.Из Древнего Вавилона (около 2000г. до н. э.) Длина и ¼ ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?


Решение:

Пусть ширина составляет х ладоней, длина – у ладоней. Тогда х/4 + у = 7, (1)

х + у = 10, (2)

х = 10 – у. (3)

Подставляя (3) в (1), получаем

(10 – у) /4 + у = 7,

у = 6.

Затем из (1) находим х/4 + 6 = 7, х=4.

2. Из древнеиндийской математики (около 2000 г. до н. э.) Пчелы числом, равным квадратному корню из полного числа их во всем рое, сели на куст жасмина, 8/9 пчел полетели назад к рою. И только одна пчела из того же роя кружилась над цветком лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно угодившей в ловушку сладко благоухающего цветка. Сколько всего пчел было в рое?

Решение: Пусть х – число пчел в рое. Тогда квадратный корень(х/2)+ 8/9 *х+2 (1) Обозначив квадратный корень(х/2)через у, преобразуем уравнение (1) ( так как у²= х/2, или х=2у²) к виду у + 16/9 у² + 2 = 2у², 2у² - 9у – 18 = 0, Откуда у1 = 6, у2 = - 3/2. Этим значениям у соответствуют следующие значения х: х1= 72, х2= 4,5. Так как число пчел в рое может быть только натуральным числом, то в рое было 72 пчелы.

3. Арифметика древних китайцев (2000г. до н. э.) В центре квадратного пруда шириной 10 шагов растет камыш, возвышающийся на 1 шаг над поверхностью воды. Если стоя на берегу водоема, притянуть камыш к середине любой из сторон, то он как раз касается края пруда. Какова глубина пруда?

Решение: По теореме Пифагора: х2 + 52 = (х+1)2 ,

х2 + 25 = х2 + 2х + 1,

х = 12.

Глубина пруда – 12 шагов.

4. Пифагор Самосский (около 580-501 гг. до н. э.) Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат»,- отвечал Пифагор. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины?» Сколько учеников было у Пифагора?

Решение: Пусть х – число учеников Пифагора. Тогда ½ х + ¼ х + 1/7 х +3 = х,Откуда х = 28.Итак, у Пифагора было 28 учеников.


5. Шен Кан (ум. В 152 г. до н.э.) Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого урожая дают 39 доу (старинная китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Спрашивается: сколько доу зерна дает 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?

Решение: Пусть 1 сноп хорошего урожая дает х доу зерна, среднего = у доу и плохого – z доу зерна. Тогда 3х + 2у + z = 36, 2х + 3у + z = 34, Х + 2у + 3z = 26, Откуда х = 9 ¼ , у = 4 ¼, z = 2 ¾ . Итак, 1 сноп хорошего урожая дает 9 ¼ доу зерна, 1 сноп среднего урожая – 4 ¼ доу и 1 сноп плохого урожая – 2 ¾ доу.


6. Римский математик (около 1 в. до н.э.) Адвокаты в Древнем Риме имели обыкновение задавать друг другу задачи. Одна из таких задач гласит: «Некая вдова должна разделить оставшееся после смерти мужа наследство в размере 3500 динариев с ещё не родившимся ребенком. По римским законам, если родится сын, то мать получает половину причитающейся ему доли, а в случае рождения дочери мать получает вдвое больше неё. У вдовы родились близнецы – сын и дочь. Как разделить наследство, чтобы все требования закона были соблюдены

Решение: Пусть доля сына составляет х, дочери у, доля матери z динариев. Тогда х + у + z = 3500, х = 2z, у = z/2. Следовательно, х = 2000 у = 500, z =1000. Таким образом, вдова должна получить 1000 динариев, сын – 2000 динариев, а дочь – 500 динариев.

7. Диофант Александрийский (III в н.э.) По двум данным числам 200 и 5 найти третье число, которое если его умножить на одно из них, дает полный квадрат, а если его умножить на другое число, дает квадратный корень из этого квадрата.

Решение: Пусть х – число, которое требуется найти. Тогда 200х = у², (1) 5х = у. (2) Подставляя (2) в (1), получаем 200х = 25х², 200 = 25х, х = 8. ____ Итак, третье число 8. Проверка: 5•8 = 40; 200•8 = 1600 и квадратный корень из 1600 = 40.


8. Арабская сказка «1001 ночь» (ночь 458-я) Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветках, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветках голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас осталось втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?


Решение: Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда y-1= (x + y)/3


И, кроме того, х-1 = у+1, т.е. х = у+2. Подставляя х = у+2 в первое уравнение, получаем (у-1) • 3 = у +2 +у, 3у – 3 = 2у + 2, у = 5. Следовательно, х = у + 2 = 7. Итак, 7 голубей сели на дерево, а 5 голубей расположились под деревом.


9. В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной девушке задачу: «Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нудно было пройти через четыре двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?»

Решение: Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160 яблок. Следовательно женщина собрала в саду 160 яблок.


10. Бхаскара 1 (VI в.) 

Найти натуральные числа, дающие при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1, и, кроме того, делящиеся на 7.

Решение: Такие числа должны удовлетворять соотношениям х = 60n + 1, х = 7а, где n и a – некоторые целые числа. Итак, 60n + 1= 7а, откуда a = ( 60n +1) / 7 , a = 8n + (4n +1) / 7

Целым, положительным значениям а соответствует n = 5, 12, 19,… При n =5 х = 301, При n =12 х = 721, При n =19 х = 1141 и т.д. Эта задача допускает простое решение, если следовать Бхаскаре. В прошлом веке одному математику для «доказательства» правильности результата, полученного Бхаскарой, понадобилось несколько страниц.


11. Ал-Хорезми (около 780г. – 850 г.) Разложить число 10 на два слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.

Решение: Пусть х – одно из слагаемых числа 10. Тогда х² + (10 – х)² = 58 х1 = 7 х2 = 3. Итак, слагаемые, о которых идет речь в задаче Ал-Хорезми, равны 7 и 3.

12. Задача Ефима Войтяховского. На вопрос: который час? – ответствовано: 2/5 прошедших часов от полуночи до сего времени равны 2/3 остальных до полудни. Спрашивается число часов того времени.

Решение: пусть сейчас x часов. Тогда до полудни осталось 12 – x часов. Имеем уравнение:2/5x = 2/3 (12 – x), 

 2/5x = 8- 2/3 x, 
 2/5x + 2/3 x =8, 
16/15x =8,

x = 8*15/16 , x = 15/2 , 

x = 7,5 (часа). Ответ: сейчас 7 часов 30 минут.


13. Задача Ефима Войтяховского.


Нововыезжей в Россию французской мадаме Вздумалось ценить своё богатство в чемодане: Новой выдумки нарядное фуро (платье) И праздничный чепец а ла фигаро. Оценщик был русак, сказал мадаме так: Богатства твоего первая вещь фуро Вполчетверта (3,5 раза) дороже чепца фигаро; Вообщем стоят не с половиною четыре алтына, Но настоящая им цена только сего половина. Спрашивается каждой вещи цена, С чем француженка к россам привезена.

Решение: пусть чепец стоит x копеек (алтын – 3 копейки), тогда фуро y = 3,5 x копейки. Четыре с половиною алтына – это 13,5 копеек. Тогда составляем уравнение: X + y =13,5:2; 

x + 3,5x = 6,75;

4,5 x = 6,75;

x = 6,75:4,5; x = 1,5. Чепец стоит 1,5 копеейки, фуро 5,25 копеек.


14. Задача Магницкого. Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько было у учителя учеников?

Решение: Предположим, что учеников было 24. Тогда по смыслу задачи: 24 + 24 +12 + 6 +1 = 67. 100 – 67 = на 33 меньше, чем по условию задачи (33 – первое отклонение). Делаем второе предположение, что учеников было 32. Тогда 32 + 32 + 16 + 8 +1 = 89. 100 – 89 = на 11 меньше, чем по условию задачи (11 – второе отклонение). 

(33*32-24*11)/(33-11)=36 . Ответ: учеников было 36.

15. Старинная задача XVII века. Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три – лев, волк и пёс - овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми?

Решение: за 12 часов лев съест 12 овец, волк – 6, пёс – 4. Всего за 12 часов они съедят 22 овцы. В час они съедят 22/12=11/6 овцы. Одну же овцу все вместе – за 6/11 часа.

16. Задача Ахмеса. В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений. На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?

Решение: имеем геометрическую прогрессию a1 = 7, q = 7. Найдём сумму пяти первых членов прогрессии S5 = (a1*(qn-1)) / (q-1 ) = ( 7*(75-1)) / (7-1) = 19607 предметов.

--Участник:Шоу "модель" ID_27812:07, 24 октября 2008 (SAMST)

Великолепная восьмерка ID-300

Из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона

1 задача

Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе?(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)

Решение

Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)

Hабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)

Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч)

За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы.

Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч)

Ответ: за 64 часа

2 задача

Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?

Решение

Лев за час съест1/2 часть овцы,

Волк за час съест 1/3 часть овцы,

Собака за час съест 1/6 часть овцы.

вместе за час они съедят: 1/2+1/3+1/6=1(овцу)

Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.

3 задача

Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог дать каждому по 3, но он раздает лишь по два и у него остается 3. Сколько было бедных?

Решение

Пусть бедных - x, тогда

3х-8=2х+3

х=11

Ответ: было 11 бедных.

Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого (1703 г.)

1 задача

Некто согласился работать с условием получать в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?

Решение

7(х+10)/12=х+2

7х+70=12х+24

5х=46

х=9,2

Ответ: одежда стоит 9,2 флорина

2 задача

Случися некоему человеку к стене лесницу приставить, стены же той высота 117 стоп. Имелась лестница длиною 125 стоп. На сколько стоп нижний конец сией лестницы от стены отставить?

Решение

При решении задачи используем теорему Пифагора.

Длина лестницы - гипотенуза, высота стены известный катет, отступ нижнего конца лестницы от стены - неизвестный катет.

1252-1172=1936=442

Ответ: длина отступа равна 44 стопы.

3 задача

Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.

Решение

а14=а1+13d, a1=59-13*4=7

S14=(7+59)/2*14=462

Ответ: все чарки весят 462 лата

4 задача

Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?

Решение

1 гривна=10 копеек, 1 алтын-3 копейки.

Пусть бочка стоит х руб.

8х+0,6=9х-1,6

х=2,2 руб.

до покупки у него было 2,2*8+0,6=18,2 руб

Ответ: у человека было 18 рублей и 2 гривны

5 задача

Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую своих денег, за другую три седьмых остатка от первой игрушки, за третью заплатил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом нашел остальные - 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?

Решение

1-15=4/5 - остаток

4/5*3/7=12/35(денег) - за первую игрушку

4/5-12/35=16/35 - остаток от второй игрушки

16/35*3/5=48/175(денег) - стоит вторая игрушка

16/35-48/175=32/175 (денег) - осталось в кошельке

1,92:32/175=10,5(руб) - было в кошельке.

10,5*1/5=2,1(руб) - стоила 1 игрушка

(10,5-2,1)*3/7=3,6(руб) - стоила 2 игрушка

(8,4-3,6)*3/5=2,88(руб) - стоила 3 игрушка

6 задача

Говорит дед внукам: "Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза".Как же разделить орехи?

Решение

Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях.

Значит большая часть должна содержать в 3*4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей, поэтому меньшая должна содержать 130/13=10 орехов, а большая 130-10=120 орехов.

Ответ: 10 и 120 орехов.

Индусские задачи из Бхасхары

1 задача

Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда на 4 фута, под напором ветра он скрылся под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?

Решение

Пусть х м - глубина пруда.


2 задача

На две партии разбившись

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась,

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,

Обезьян там было в роще?

Решение

Пусть было х обезьян.

(х/8)2+12=х

х2=768=64х

х2-64х+768=0

D=(-64)2 -4*1*768=4096-3072=1024

х<su>1</sub>=(64+32)/2=48

х2=64-32/2=16

Ответ было либо 48, либо 16 обезьян.

Задача из "Азбуки" Л.Н.Толстого (1828-1910 гг.)

Задача

Пятеро братьев разделили между собой наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех пяти братьев стало поровну. Много ли стоили дома?

Решение

800*3=2400(руб.) - заплатили двум меньшим;

2400:2=1200(руб.) - получил каждый в наследство;

1200*5:3=2000 - стоил дом.

Ответ: дом стоил 2000 рублей.

Из рассказа А.П.Чехова "Репетитор"

Задача

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное - 3 рубля.

Решение

Пусть синего сукна было х аршин, тогда черного (138-х) аршин.

5х+3(138-х)=540

5х+414-3х=540

2х=126

х=63(аршина) - синего

138-63=75(аршин) черного.

Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин. </font>

Старинные задачи

1 задача

Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее даже самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.

Решение

Разделить 9 монет на 3 группы по 3 монеты. Кладем по 3 монеты. Кладем по три монеты на чашки весов. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда берем две из трех монет и кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета третья, если нет, то одна чашка поднимется - там фалтшивая.

2 задача

У одного старика спросили сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?

Решение

Он родился в високосный год 29 февраля.

3 задача

Летела стая гусей, навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?

Решение

Пусть было х гусей. Составим уравнение:

х+х+0,5х+0,25х+1=100

2,75х=99

х=36

Ответ: в стае 36 гусей.

4 задача

Роскошнолипа расцветала

Под ней червяк завелся малый.

Да вверх пополз во всю он мочь -

Четыре локтя делал в ночь.

Но днем со слепу поз обратно

Он на два локтя аккуратно

Трудился наш червяк отважный,

И вот итог работы важной,

Награда девяти ночей:

Он на верхушке липы сей.

- Теперь, мой друг, поведай ты,

Какой та липа высоты?

Решение

(4-2)8+4=20

Ответ: высота липы 20 локтей

5 задача

Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать каждый день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему делать в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?

Решение

Так как первый вышел на день раньше и прошел 40 верст, то второму надо нагнать эти 40 верст.

40:(45-40)=8 дней

Ответ: за 8 дней второй человек догонит первого.

6 задача

идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет из другого города ему на встречу и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?

Решение

За один день путники сближаются на 30+40=70 верст.

700:70=10 дней

Ответ: через 10 дней путники встретятся.

7 задача. (задача Бируни)

Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца

Решение

10 дирхемов - 2,5 дирхема за 1 месяц

8 дирхемов - х дирхемов за 1 месяц

10/8=2,5/x

x=8*2,5/10

x=2

2*3=6

Ответ: 8 дирхемов принесут доход 6 дирхемов за 3 месяца

7 задача (Китай II век)

Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Решение

1/7+1/9=16/63

1:16/63=63/16=3,9375

Ответ: через 3,9375 дня они встретятся.

8 задача

- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу и слушает твои беседы?

- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме того, есть еще три женщины.

Решение

Пусть школу посещают х учеников,

1/2x+1/4x+1/7x+3=x

x=28

Ответ: 28 учеников посещают школу Пифагора.

Задачи из "Курса чистой математики" Войтяховского

1 задача

Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?

Решение

Пусть пробка стоит х копеек, тогда бутылка стоит (х+10) копеек.

х+(х+10)=12

2х=2

х=1(коп) - стоит пробка.

1+10=11 (коп) - Стоит бутылка

Ответ: пробка стоит 1 копейка, бутылка - 10 копеек.

2 задача

Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и еще пол-апельсина, второму пкупателю - половину оставшихся апельсинов и еще пол-апельсина. Таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям. Когда же подошел седьмой покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый покупатель?

Решение

1)Сколько всего было апельсинов?

(((((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=63 (а)

2)Сколько взял первый покупатель?

63:2+0,5=32 (а)

3)Сколько взял второй покупатель?

(63-32):2+0,5=16 (а)

4)Сколько взял третий покупатель?

(63-32-16):2+0,5=8 (а)

5)Сколько взял червертый покупатель?

(63-32-16-8):2+0,5=4 (а)

6)Сколько взял пятый покупатель?

(63-32-16-8-4):2+0,5=2 (а)

7)Сколько взял шестой покупатель?

(63-32-16-8-4-2):2+0,5=1 (а)

3 задача

Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей. Спрашивается в какое время собака догонит зайца?

Решение

500:2=250 (саженей/мин) - скорость зайца

1300:5=260 (саженей/мин) - скорость собаки

150:(260-250)=15 (Мин)

Ответ: через 15 минут собака догонит зайца.

--Участник:Великолепая восьмёрка ID-300 11:05, 24 октября 2008 (SAMST)


Смешарики ID 245

Задачи древнего востока: Задачи из папируса Ринда (1700 г. До н.э.)


Задача №1

Некий математик насчитал на выгоне 70 коров. «Какую долю от всего стада составляют эти коровы?» - спросил математик пастуха. «Я выгнал пастись две трети от трети всего стада», - отвечал пастух. Сколько голов скота насчитывается во всем стаде?

Решение: Пусть х – число голов скота во всем стаде. Тогда: (2/3)*(1/3)х=70 (2/9)х=70 х = 315 Ответ: во всем стаде 315 голов скота.

Великолепные задачи мы находим в собранных много веков назад арабских сказках « 1001 ночь»


Задача № 2

Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну.» Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?

Решение: Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда: У – 1 = (x+y)/3 И, кроме того, Х – 1 = у + 1, т.е. х = у + 2 Подставляя значение х в первое уравнение, получаем: ( у – 1 )* 3 = ( у + 2 ) + у 3у – 3 = 2у + 2 У = 5, х = 5 + 2 = 7 Ответ: 7 голубей село на дерево, а 5 голубей расположилось под деревом.

В старинной персидской легенде « История Морадбальса», так же вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной деве следующую задачу.


Задача № 3.

Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Что бы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину из собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Также она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок собрала женщина в саду? Решение: Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160. Ответ: Женщина собрала в саду 160 яблок.


Задача № 4.

Араб, чувствуя близкую кончину, призвал трех своих сыновей и сказал им: « Когда я умру, разделите между собой мое стадо верблюдов. Пусть старший из вас возьмет 1/2 всего стада , средний – 1/4, а младший – 1/5» Когда араб умер, сыновья хотели разделить стадо, как завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в отцовском стаде оказалось 19 верблюдов. На их счастье мимо проходил мулла, слывший за умного человека. Узнав в чем дело, он предложил сыновьям занять у соседа одного верблюда. Когда этот верблюд был приведен, его присоединили к отцовскому стаду. Затем мулла приказал старшему взять половину стада, т.е. 10 верблюдов, среднему – 1/4 часть, т.е. 5 верблюдов, а младшему – 1/5 часть, т.е. 4 верблюда. « Сколько верблюдов вы разобрали?» – спросил мулла. Братья сосчитали и ответили: «19». « Ну а оставшегося верблюда верните соседу», - сказал мулла. Все ли участники дележа рассуждали правильно, и не заблуждался ли кто–нибудь из них?

Решение: Заблуждался сам завещатель: отказывая в своем завещании сыновьям ½, ¼, и 1/5 всего стада, он упустил из виду, что эти доли всего стада не составляют в сумме единицу, т.е. всего стада:

½+1/4+1/5=10/20+5/20+4/20=19/20 

Не хватает 1/20. Это и понял мулла и приказал добавить к стаду одного верблюда, т.е. недостающую часть стада.


Задача № 5.

Из четырех посетителей храма второй дал в 2 раза больше монет, чем первый, третий – в 3 раза больше монет, чем второй, а четвертый – в 4 раза больше монет, чем третий. Всего было дано 132 монеты. Сколько монет дал первый?

Решение: Пусть х – число монет, которые дал первый посетитель храма. По условию задачи составим уравнение и решим его: Х + 2х + 6х + 24х = 132 3х = 132 Х = 4 Ответ: 4 монеты.


Задача № 6.

Древнеиндийская задача:

Есть кадамба цветок. На один лепесток Пчелок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла вся в цвету сименгда, И на ней третья часть поместилась. Разность их ты найди, трижды их ты сложи, На кутай этих пчел посади. Лишь одна не нашла себе места нигде, Все летала то взад, то вперед И везде ароматом цветов наслаждалась. Назови теперь мне, подсчитавши в уме, Сколько пчелок всего здесь собралось?

Решение: Алгебраический способ. Пусть всего было х пчел. Тогда получим уравнение: x/5+x/3+3(x/3-x/5)+1=x x = 15

Способ подбора. НОК (3;5) = 15. Проверим число 15. 15/5+15/3+3(5-3)+1=15 Ответ: было 15 пчел.


Задача № 7

Пифагор Самосский( около 580 -501 гг. до н.э.)

Поликрат ( известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. « Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины.» Сколько учеников было у Пифагора?

Решение: Пусть х – число учеников Пифагора. По условию задачи составим уравнение:

1*x/2+1*x/4+1*x/7+3=x Х = 28 Ответ: 28 учеников.


Задача № 8.

Герон Александрийский ( 1в. До н.э.)

Из – под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй – за 2 дня, третий – за 3 дня и четвертый – за 4 дня. За сколько времени наполняют бассейн четыре источника вместе?

Решение: Примем объем бассейна за 1. Пусть х – число дней, за которые источники вместе заполнят бассейн. x/1+1*x/2+1*x/3+1*x/4=1 12х + 6х + 4х + 3 = 12 25х = 12 Х = 12/25 Следовательно, чтобы заполнить бассейн из четырех источников, требуется 12/25 дня, т.е. чуть меньше половины дня.


Задача № 9.

Евклид (3 в. До н.э.)

Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. 

Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью:

«Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка? 

Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру,

Если ж ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись». Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.

Решение: Если х – груз мула, то ( х – 1) – груз осла, увеличенный на единицу, а , следовательно, первоначальный груз осла был ( х – 2). С другой стороны, (х + 1) в 2 раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. (х – 3). Таким образом, Х + 1 = 2(х – 3) Х = 7 Груз мула равен 7, груз осла равен Х – 2 = 5 Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5.


Задача №10

Древнеримская задача(II век) 

    Некто, умирая, завещал: “Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене – остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3”. Родилась двойня – сын и дочь. Как же разделить мнение?
    Решение:
    Римский юрист Сильвий так решил эту задачу: наследственно необходимо разделить на 7 частей; 4/7 получит сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь. При таком дележе будет соблюдена воля отца, чтобы сын получил долю вдвое больше, чем мать, а дочь вдвое меньше, чем мать.
    Пусть х – доля матери. Составим уравнение: 
                              х + 2х + х/2 = 1 
                                     х=2/7

Ответ: 4/7 наследства получил сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь.


Задача №11

Суд Париса 

    Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказывали следующие утверждения: 

    Афродита. Я самая прекрасная.               (1)
    Афина. Афродита не самая прекрасная.        (2)
    Гера. Я самая прекрасная.                   (3)
    Афродита. Гера не самая прекрасная.         (4)
    Афина. Я самая прекрасная.                  (5)
     
    Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрывал глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?
    Ответ: Афродита – прекраснейшая из богинь, по “суду Париса”,так как истинными могут быть утверждения 1 и 4, ложными 2, 3, 5.


Задача 12

Летела стая гусей, а на встречу им летит один гусь и говорит: “Здравствуйте, сто гусей!” “Нас не сто гусей,- отвечает ему вожак стада,- если бы нас не было столько, да полстолька, да четверть столька, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей”. Сколько было в стае гусей?

x + x + x/2 + x/4 + 1 = 100 2x + 0,5x + 0,15x = 99 2,75x = 99 X = 36


Задача 13

Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил: “Аще придается к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавится из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег”.

Пусть x рублей было у человека; x + x + x/2 + ¾*x + 2/3*x – 50 = 100 Умножим обе части уравнения на 12 24x + 6x + 9x + 8x – 600 = 1200 47x + 1800 x = 38*14/47


Задача 14

У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил: “Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24к.”. Три раза проходил лодырь мост, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько же денег было у лодыря?

Пусть x коп. было у лодыря, тогда после:

1) раза --> 2X – 24 2) раза --> 2(2x - 24) – 24 4x - 48 – 24 4x – 72 3) раза --> 2(4x - 72) – 24 8x -144 – 24 = 0 8x = 168 x = 21 Ответ: У него была 21 коп.


Задача 15

Жизнь Диофанта

Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей – И камень мудрым искусством его скажет успокоившего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец. Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил, Отнят он был у отца ранней могилою своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Сколько лет прожил Диофант?

Решение: Алгебраический способ Пусть Диофант прожил х лет. Тогда получим уравнение:

х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4=х х=84 Способ подбора Число лет Диофанта делится на 6,12,7, и 2. НОК (6,12,7,2) = НОК (12,7) = 84

Ответ: Диофант прожил 84 года.


Задача 16

Древнегреческая задача о статуе Минервы

Я изваяние из злата. Поэты то злато в дар принесли. Хоризий принес половину всей жертвы, Фестия часть восьмую дала, десятую – Солон. Часть двадцатая – жертва певца Фемисона. А девять – все завершивших талантов – Обет, Аристоником данный. Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?

Решение: Алгебраичеический способ Пусть поэтами в дар принесены х талантов. Уравнение выглядит так: х/2 + х/8 + х/10 + х/20 + 9=х х=40 Ответ: 40 талантов золота.


Задача 17

Задача о Музах

Видя, что плачет Эрот (бог любви), Киприда его вопрощает: “Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!” “Яблок я нес с Геликона немало”,- Эрот отвечает,- Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу. Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа, а Клио Пятую часть взяла, Талия – долю восьмую С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора. С частью седьмою Эрато от меня убежала, Тридцать плодов утащила Полигимния. Сотня и двадцать взяты Уратией, Триста плодов унесла Каллиопа. Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками. Только полсотни плодов мне оставили Музы на долю. Сколько яблок нес Эрот до встречи с Музами? Решение: Пусть х яблок нес Эрот до встречи с Музами. Составим уравнение: х/12 + х/5 + х/8 + х/20 + х/4 + х/7 + 120 + 300 + 50 + 30=х х=3360 Ответ: 3360 яблок нес Эрот до встречи с музами.


P.S. ВСЕ ЗАДАЧИ БЫЛИ В ТОЧЬ В ТОЧЬ КОПИРОВЫНЫ ИЗ ИСТОЧНИКОВ(в нашем случае это книги)

-- Смешарики ID 245 11:07, 24 октября 2008 (SAMST)

Bookworm ID 213

Задача № 1. Задача Льва Толстого: Продавец продаёт шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдаёт 10+10+5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 руб. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. Вопрос: на сколько обманули продавца? Решение: Была шапка и некоторое количество денег. Ему дали 25 рублей и забрали шапку со сдачей в 15 рублей. В результате получилось, что он отдал шапку и получил 10 рублей. Затем он отдал 25 рублей соседке и из +10 рублей получились –15 рублей. Вывод: его обманули на шапку и 15 рублей.

Задача № 2. Головоломка из «Книги абака» Леонардо Фибоначчи 1202 год: В январе тебе подарили новорождённых кроликов. Через два месяца они рождают новую пару кроликов. Каждая новая пара кроликов через два месяца после рождения рождает новую пару. Вопрос: Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре? Решение: Решая эту задачу можно увидеть, что количество кроликов, рождаемых каждый последующий месяц – это числа Фибоначчи. В январе 1 пара, в феврале 1 пара, в марте 2 пары, в апреле 3 пары, в мае 5 пар, в июне 8 пар, в июле 13 пар, в августе 21 пара, в сентябре 34 пары, в октябре 55 пар, в ноябре 89 пар, в декабре 144 пар. Ответ: 144 пары.

Задача № 3. Задача Эйлера: Крестьянка принесла на рынок некоторое количество яиц. Одному покупателю она продала половину того, что имела, и ещё пол яйца, второму половину того, что осталось и ещё пол яйца, третьему половину нового остатка и ещё пол яйца, наконец, четвертому половину того, что осталось после торговли, и ещё пол яйца. После этого у неё ничего не осталось. Вопрос: Сколько было яиц? Решение: Чтобы решить эту задачу составим уравнение, где х – число яиц в начале торга: (((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=х Получаем, что: 15=х Ответ: 15 яиц

Задача № 4. Задача Исаака Ньютона: Два почтальона А и В, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу. А проезжает за 2 часа 7 миль, а В – за 3 часа 8 миль, при этом В отправляется в путь часом позже А. Найти, сколько миль проедет В до встречи с А? Решение: Для начала узнаем, скорости обоих почтальонов: Скорость А=3,5 м/ч. Скорость В=8/3 м/ч. Если известно, что А проехал на час больше, вычитаем это расстояние из всего: 59-3,5=55,5 Затем делим полученную разность на скорость сближения: 55,5:37/6=9ч Скорость В умножить на время: 9*8/3=24м Ответ: 24 мили

Задача № 5. Из рассказа А.П.Чехова «Репетитор» Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540р. Сколько купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 р. За аршин, а черное – 3р.? Решение: Черное сукно – х аршин Синее сукно – y аршин Получаем систему уравнений: х+у=138 и 3х+5у=540. Решая систему получаем: х= 75, y= 63. Ответ: 75 аршин черного сукна и 63 аршина синего сукна.

Задача № 6. Старинная задача (Китай) В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов? Решение: Кролики – х Фазаны – y Получаем систему уравнений: х+у=35 и 4х+2у=94. Решая систему получаем: х= 12, y= 23. Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.

Задача № 7. Задача из «Счетной мудрости» (XVII век) Идет корабль по морю, на нем мужска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужска полу было и женска порознь? (1 гривна=10 копеек, 1 алтын=3 копейки) Решение: 120 гривен = 1200 копеек = 400 алтын Мужчины – х Женщины – y Получаем систему уравнений: х+у=120 и 4х+3у=400. Решая систему получаем: х= 40, y= 80. Ответ: мужска полу было 40, женска – 80.

Задача № 8. Задача, которую в юности решил Пуассон (1781–1840гг.). Эта задача определила жизненный путь Пуассона – математике он посвятил всю свою жизнь. Некто имеет 12 пинт меда и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 пинт. У него 2 сосуда: один вместимостью 8 пинт, а другой – в 5 пинт. Каким образом налить 6 пинт в сосуд на 8 пинт? Решение: Основные ходы на переливание по 2 сосудам представлены в следующей таблице. 8-пинтовый сосуд 8 3 3 0 8 6 6 5-пинтовый сосуд 0 5 0 3 3 5 0


Задача № 9. Из Древнего Вавилона (около 2 тыс. до н.э.) Длина и четверть ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности? Решение: Длина – а ладоней Ширина – b ладоней Тогда a+b=10 и а + 1/4 * b=7. Вычтем почленно из первого уравнения второе и получим: 3/4 * b=3. Решая данное уравнение, получаем b=4. Значит, ширина 4 ладони, тогда длина 10 – 4=6 ладоней.

Задача № 10. Из арифметики Магницкого (1703 г.) Спросил некто у учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придет еще столько учеников, сколько имею, и полстолька и четвертая часть и твой сын, тогда у меня будет 100 учеников. Спрашивается: сколько было учеников у учителя? Решение: Пусть в классе х учеников, тогда по условию задачи получаем уравнение: х+х+0,5х+0,25х+1=100 2,75х=99 х=36 Значит, в классе 36 учеников. Ответ: 36 учеников.

Задача № 11. Адам Рис (1492–1559 гг.) Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внес на покупку дома каждый из подмастерьев? Решение: Всего – 204 гульдена Первый – х гульдена Второй – 4х гульдена Третий – 12х гульдена Составим и решим уравнение: х+4х+12х=204 17х=204 х=12 Значит, 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий. Ответ: 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.

Задача № 12. Бхаскара I I (1114–1185гг.) Одна треть, одна пятая и одна шестая цветков лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну, Сурье, одна четвертая –Бхавани. Остальные 6 цветков предназначены почитаемому праведнику. Сколько цветков лотоса сплетено в венок? Решение: В венке – х цветков Посвящены Шиве – 1/3х цветков Посвящены Вишну – 1/5х цветков Посвящены Сурье – 1/6х цветков Посвящены Бхавани – 1/4х цветков Почитаемому праведнику – 6 цветков Составим и решим уравнение: х – 1/3х –1/5х – 1/6х – 1/4х = 6 Решая уравнение, получаем х = 120 Значит, 120 цветков лотоса сплетено в венок. Ответ: 120 цветков Задача № 13. Жизнь Диофанта История сохранила мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи. Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, Сколь долог был век его жизни. Часть шестую его представляло прекрасное детство. Двенадцатая часть протекла еще жизни – Покрылся пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем Прекрасного первенца сына, коему рок Половину лишь жизни прекрасной и светлой Дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Решение: Возраст Диофанта – х Прекрасное детство – х/6 Покрылся пухом тогда подбородок – х/12 Бездетный брак – х/7 Осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына – 5 Прожил сын – х/2 По условию составим и решим уравнение: х=х/6+х/12+х/7+5+х/2+4 Решая уравнение, получаем х=84 Ответ: 84 года.

Задача № 14. Задача Брахмагупта Индия, около 600 года. Если число дней уменьшить на один затем разделить на 6 и прибавить 3, то получится одна пятая первоначального числа дней. Сколь велико число дней? Решение: х – число дней. Составим уравнение: (х-1)/6+3=х/5 Решив уравнение, получим, что х=85. Ответ: 85 дней. --Bookworm ID 213 12:23, 24 октября 2008 (SAMST)

ID 214 Великие математики

ЗАДАЧА №1.

Рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую два зерна, на третью -4 зерна и продолжать так удваивать число зерен на каждой следующей клетке.

РЕШЕНИЕ: 1+2+22+23+…+263=264-1=18446744073709551615

ОТВЕТ: 18446744073709551615 зерен.

ЗАДАЧА №2.

Некий человек продаёт коня за 156 рублей, раскаялся же, купец начал отдавать продавцу, глаголя: яко есть мне лепо взятии ситцевого коня. Недостойного такия высокия цены; продавец же предложил ему иную куплю, глаголя: аще ти мнится велика цена сему коню бытии, убо купи токмо гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвоздей во всякой подкове по шести: и за един гвоздь даждь ми едину полушку (1/4 коп.) за другу- две полушки, а за третий копейку. Итако все гвозди купи. Купец же видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взятии. Обещался тако цену ему плати, чая не больше 10 рублей за гвоздие дати.

РЕШЕНИЕ: ¼ +2/4+1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+2097152=4178703 ¾ (КОП.)

ОТВЕТ: 4178703 ¾ копейки.

ЗАДАЧА №3.

По сообщению «Газеты чиновника» от 14 июня 1914 г. У мирового судьи г. Новочеркасска разбиралось дело о продаже стада 20 овец по условию-уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую 2 копейки, за третью 4 копейки и т. д..

РЕШЕНИЕ: 2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+524288= 1050574

ОТВЕТ: 1050574 копеек.


ЗАДАЧА №4.

Два человека купили на 100 сальдо свиней и платили за каждые пять штук по два сальдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сальдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?

РЕШЕНИЕ:1)100/2*5=250 (св.)-купили; 

                    2)250/2=125 (св.)-в каждом стаде;
                    3)125/2=60 (с.)-заработали в первом стаде и осталось 5 свиней;
                    4)125/3=40 (с.)-заработали во втором стаде и осталось 5 свиней;
                    5)60+40=100 (с.)-заработали.

ОТВЕТ: 100 сальдо они отработали и ещё заработали 10 свиней.


Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. Номер автомашины.

Задача 5.

Пргуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математики, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифру одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?

Решение.

Обозначим первую (и вторую) цифру искомого числа через а, а третью (и четвертую) – через b. Тогда все число будет равно: 1000а + 100а + 10b + b = 1100а + 11b = 11(100а + b). Число делится на 11, а потому (будучи точным квадратом) оно делится и на 11*11. Иначе говоря, число 100а + b делится на 11. Применяя любой из двух вышеприведенных признаков делимости на 11, найдем, что на 11 делится число а + b. Но это значит, что а + b = 11, так как каждая из цифр а, b меньше десяти. Последняя цифра b числа, являющегося точным квадратом, может принимать только следующие значения: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Поэтому для цифры а, которая равна 11 – b, находим такие возможные значения: 11, 10, 7, 6, 5, 2.

Первые два значения непригодны, и остаются следующие возможности:


b = 4, а = 7,

b = 5, а = 6,

b = 6, а = 5,

b = 9 , а = 2.

Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырёх чисел: 7744, 6655, 5566, 2299.

Но последние три из этих чисел не являются точными квадратами: число 6655 делится на 5, но не делится на 25; число 2299 = 121*19 также не является квадратом. Остается только одно число 7744 = 88*88; оно и даёт решение задачи. 

Замок с секретом. (6)

В одном советском учереждении обнаружен был несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться , нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определенное слово.

Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробывать все комбинации букв в кружкох. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени. Можно ли надеяться, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней? 

 Решение.

Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробывать.

Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно 36*36 .

К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую из 36 букв третьего кружка. Поэтому трехбуквенных комбинаций возможно 36*36*36.

Таким же образом определяем, что четырехбуквенных комбинаций может быть 36*36*36*36, а пятибуквенных 36*36*36*36*36 или 60466176. Чтобы составить эти 60 

с лишним миллионов комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую, 3*60466176 = 181398528 секунд. Это составляет более 50000 часов, или почти 6300 восьмичасовых рабочих дней – более 20 лет.

Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6300, или 1 из 630. Это очень малая вероятность.


Яблоки.(7)

Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и т.д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение.

Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил (0,5x+0,5)


Второй 0,5(x-(0,5x+0,5))+0,5= 0,25х+0,25 и т.д.


Имеем уравнение (0,5x+0,5) +(0,25х+0,25)+…+0,57х+0,57=х

Всех яблок было 127.

На велодроме.(8)

По круговой дорожке велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположном направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дорожки 170 м?

Решение.

Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он поезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170-10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 0х = 170.

Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е. 170х – 170у = 170. После упрощения этих уравнений получаем: х + у = 17, х – у = 1, откуда х = 9, у = 8 (метров в секунду). 

 		Юридический вопрос.(9)

Древние римляне ничего, или почти ничего, не сделали для развития математических наук. Они известны более в области законодательства. Дошедшие до нас римские математические сочинения носят преимущественно практический, утилитарный характер. Так, например, повод к составлению арифметических задач давали римские законы о наследстве. Вот одна из таких дошедших до нас задач.

Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 2/3 оставленного имущества, а 1/3 матери. В случае же рождения дочери - она должна получить 1/3, а мать 2/3 имущества. Вдова завещателя родила близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания? Решение.

Задачу эту, представляющую так называемый « юридический казус », решил, между прочим, знаменитый римский юрист Сальвиан Юлиан. Решение его состоит в том, что имущество должно быть разделено на семь равных частей. Четыре из этих частей должны перейти к сыну, две – к жене и одна к дочери. Предлагаем читателю решить эту задачу на основании не юридических, а математических соображений.


Задача 10-я

Прекрасная дева с блестящими очами, ты, которая знаешь, как правильно применять метод инверсии, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на ¾ этого произведения, разделено на 7, уменьшено на 1/3 частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня , прибавления 8 и деления на 10 дает число 2.

Решение.

Указание на способ решения заключается в самом условии задачи. Предполагается, что девушка умеет « правильно применять метод инверсии». Инверсией называется такой способ решения задачи, при котором начинают с последнего числа задачи, так сказать, « с конца», и идут в обратном порядке, производя действия также обратные названным в задаче.

Так, например, в данной задаче отправляемся от числа 2 и идем к искомому числу следующим путем:

2 * 10 = 20; 20 – 8 =12; 12 * 12=144; 144 + 52 =196;

Из 196 извлекаем квадратный корень = 14;

От 14 берем 3/2 = 21; 21 * 7 = 147; От 147 берем 4/7 = 84; 84:3=28. 28 и есть искомое число. То же решение при системе наших обозначений можно написать в одной строке:

(2*10-8)2 + 52=196; корень 196=14; 14* 3/2*7*4/7:3=28.

Древнейший из известных нам индусских математиков (5 век по Р.Х.) Арьябхатта объясняет способ инверсии с такой характерной краткостью:

« Умножение становится делением, деление становится умножением. Прибыль обращается в убыток, убыток в прибыль; инверсия».

Тот же Арьябхатта предлагает в ряду прочих и нижеследующую «практическую» для индусов задачу:

Задача 11-я

Цена рабыни.

Шестнадцатилетняя девушка-рабыня стоит 32 никша (индусская монета). Что стоит рабыня 20 лет?

Решение.

Решение этой любопытной для нас по условию задачи не отличается само по себе ничем особенным. Но исторически оно доказывает, что индусы уже не позже 5 века были хорошо знакомы с так называемыми у нас « тройным правилом », равно как , кстати сказать, были знакомы и со многими другими «правилами» решений задач, до сих пор еще часто без нужды обременяющими наши учебные курсы.

В частности, при решении задачи о цене рабыни Арьябхатта руководствуется началом « обратной пропорции», потому что, говорит он, « стоимость живых существ (рабов и скота) устанавливается сообразно их возрасту» - чем старше, тем дешевле.

На таком основании выходит, что если шестнадцатилетняя рабыня стоит 32 никша (индусская монета), то однолетняя будет стоить в 16 раз больше, т. е. 32*16 никша, а двадцатилетняя в 20 раз меньше последней суммы, т. е. 32*16:20=25 3/5 никша.

Приведем еще одну индусскую задачу, в которых говорится о более веселых и безобидных вещах , чем о продаже человека человеком. Задача взята из сочинений уже упомянутого Бгаскары. Решение уравнения, особенно для лиц, знакомых с квадратными уравнениями, не представит ни малейшего затруднения.

Задача 12-я

Пчелы.

Пчелы в числе, равном корню квадратному из половины роя, слетели на куст жасмина. 8/9 всего роя осталось дома. Одна пчела-самка летает вокруг цветка лотоса. Там жужжит неосторожный самец, привлеченный сладким запахом цветка и теперь заключенный внутри его. Скажи мне число пчел.

Решение. Пусть пчел в рое Х2, тогда уравнение Х2=Х+8/9Х2+2

Ответ:72.

--Великие математики ID 214 14:00, 24 октября 2008 (SAMST)

ID 215 МОЗГИ

МОЗГИ


Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ

КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ 

 Загадка брата-келаря

Аббат Дэвид обвел присутствующих суровым взглядом и заявил, что случай с бокалом вина напомнил ему о прискорбном факте: не далее как поутру Джона-келаря застали на месте преступления — он тайком наливал из бочонка вино, которое приберегалось для особых оказий. Аббат приказал привести вора.

— Ну, негодяй, — сказал он, когда краснорожий келарь предстал перед братией, — ты воровал лучшее наше вино, прикасаться к которому тебе было запрещено. Что можешь сказать в свое оправдание?

— Молю, отец мой, простить меня! — кинулся келарь на колени. — Истинно говорю, нечистый попутал, а бочонок был под рукой, вино-то такое славное, вот я и приложился вроде бы в беспамятстве, и...

— Нечестивец! Сие усугубляет твое прегрешение! Сколько ты выпил вина?

— Самую малость! В бочонке было сто пинт, я нали¬вал себе в этом месяце (был июнь) каждый день по пинте, сегодня тридцатое и значит... Если отец мой сумеет мне в точности сказать, сколько я всего выпил этого великолепного вина, то я готов вынести любую епитимью, какую ему угодно будет на меня наложить.

— Ну ясно, прохвост, ты выпил тридцать пинт.

— Нет-нет, ибо каждый раз, как я выпивал пинту из бочонка, я доливал туда пинту воды!

Удивительно, что это единственная загадка в старых записях, которая не снабжена решением. Быть может, она оказалась для монахов слишком крепким орешком? Сохранилась лишь пометка: «Джон-келарь не понес наказанья за свое прискорбное прегрешение».

В бочонке было 100 пинт вина, и Джон-келарь 30 раз отливал оттуда по пинте, наливая взамен пинту воды. После первого раза в бочонке оставалось 99 пинт вина; после второго раза его оставалось 9801/100 (квадрат 99, делённый на100); после третьего раза в бочонке оставалось 970299/10000 (куб 99, деленный на квадрат 100); после четвертого раза там оставалась четвертая степень 99, деленная на куб 100, а после тридцатого раза в бочонке оставалась тридцатая степень 99, деленная на двадцать девятую степень 100. Это при обычном методе вычисления приведет к делению 59-значного числа на 58-значное! Однако с помощью логарифмов удается быстро установить, что в бочонке осталось количество вина, очень близкое к 73,97 пинты. Следовательно, украденное количество приближается к 26,03 пинты. Монахам, конечно, не удалось получить ответ, поскольку у них не было таблиц логарифмов и они не собирались проводить долгие и утомительные выкладки, дабы «в точности» определить искомую величину, что оговорил в условии хитрый келарь. С помощью упрощенного метода вычислений я удостоверился, что точное количество украденного вина составило 26,0299626611719577269984907683285057747323737647323555652999 пинты. Человек, который вовлек монастырь в вычисление 58-значной дроби, заслуживал сурового наказания 

 Загадка крестоносцев.

Однажды в гостях у монахов аббатства Ридлуэл оказался некий рыцарь по имени Ральф де Боун. Когда обильная трапеза подходила к концу, он обратился к аббату со следующими словами:

— Господин аббат, хорошо зная твою любовь к за¬гадкам, я хочу, с общего позволенья, рассказать одну из них, которую я узнал в дальних странах. Отряд кресто¬носцев выступил, чтобы сыскать себе славу на поле бра¬ни, число ратников было таково, что они могли образо¬вать квадрат. Но по дороге к воинам присоединился еще один рыцарь, так что теперь они могли образовать три¬надцать меньших квадратов. Прошу вас, любезные мо¬нахи, скажите, сколько крестоносцев отправилось на поле брани?

Аббат отложил в сторону большой кусок пирога и быстро проделал какие-то вычисления.

— Сэр рыцарь, — сказал он через некоторое время,— эту загадку легко разгадать. Сначала было 324 человека, которые могли образовать квадрат 18 X 18, а затем их стало 325, и они могли образовать 13 квадратов по 25 человек в каждом. Но кто из вас скажет мне, сколько понадобится крестоносцев, чтобы • образовать не 13, а 113 квадратов при тех же условиях?

Монахи разошлись в молчании, на следующее утро аббату пришлось сообщить им ответ.

Правильным ответом будет 602 176. Такое число крестоносцев могло образовать квадрат . После того как к отряду присоединился еще один рыцарь, можно было образовать 113 квадратов по 5329 (73 X 73) человек в каждом. Другими словами, 113*(73)2—1=(776)2. Это частный случай так называемого уравнения Пелля. 

 Кошки монастыря святого Эдмондсбери.

— О монастыре святого Эдмондсбери, — начал од¬нажды отец Питер, — рассказывают, что как-то в давние времена его одолели мыши. Дабы искоренить это зло, доброму тамошнему аббату пришлось распорядиться, чтобы в святую обитель доставили кошек со всей округи. Записи свидетельствуют, что к концу года каждая кош¬ка уничтожила одинаковое число мышей и что всего их было уничтожено ровно 1 111 111 штук. Как вы думаете, сколько кошек собрали в монастыре?

— Мне думается, что всех мышей съела одна кош¬ка, — сказал брат Бенджамин.

— Брат мой! Я же сказал «сколько кошек».

— Хорошо, — настаивал Бенджамин, — тогда, навер¬ное, 1 111 111 кошек съело по одной мыши.

— Нет, — возразил отец Питер после того, как мона¬хи вволю насмеялись, — я сказал «мышей»; я хочу лишь добавить, что каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек. Мне сказали, что здесь все осно¬вано просто на делении чисел, но я не знаю ответа на эту загадку.

Правильный ответ сохранился в летописи монастыря, но там не сказано, как его получили.

Решение: . Читатель знает, что целые числа бывают простыми и составными. Далее, 1111111 не может быть простым числом, ибо если бы оно было таковым, то единственными возможными ответами оказались бы те, что предложил брат Бенджамин и отверг брат Питер. Точно так же оно не может разлагаться в произведение более двух простых сомножителей, ибо тогда решение оказалось бы не единственным. И действительно, 1 111 111 = 239 X 4649 (оба сомножителя простые); поскольку каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек, то кошек было 239.

В общем случае данная задача состоит в нахождении делителей (если они имеются) чисел вида (10n-1)/9. 


 Математические задачи из книги:

 «Полный курс чистой математики, сочиненный артиллерии штык-юнкером и математики 
партикулярным  учителем Ефимом Вохтяховским в пользу и употребление юношества
и упражняющихся в математике». 4  тома, изд. 1820 г.

Задачи курса Вохтяховского более переработаны и приспособлены к русскому кругозору, а некоторые из них положительно остроумны, иногда, впрочем, до игривости, сбивающейся на «раешник». Не обходится в иных из них и без сатиры, предметом которой обыкновенно избираются в силу условий времени французы. Вот несколько задач из курса Вохтяховского. Решения их незамысловаты, так что даем только ответы. 

 Богатство Мадамы

Нововыезжей в Россию Французской Мадаме вздумалось ценить свое богатство в чемодане: новой выдумки нарядное фуро и праздничный чепец а ла фигаро; оценщик был Русак, сказал Мадаме так: богатства твоего первая вещь фуро вполчетверта дороже чепца фигаро; вообщеж стоют не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина; спрашивается какой вещи цена, с чем Француженка к Россам привезена.

Решение:

Четвертак=25коп Х-чепец; 12,5Х-фуро Х+12,5Х=30

Ответ. Чапец «а ла фигаро» стоит 11/2 коп., а нарядное фуро 51/4 коп. 

 Богатство гасконца

У приезжего гасконца оценили богатство: модной жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета; спрашивается каждой вещи цена.

Решение: Х-жилет 1/6Х-фрак; 1алтын=15коп; 1полутня=1/4 коп Х+1/6Х=443/4

Ответ. Цена фрака 61/4 коп., жилета 21/2 коп. 

 Веселый француз

Веселый француз пришел в трактир с неизвестною суммою своего богатства, знал у содержателя столько денег, сколько у себя имел; из сей суммы издержал 1 рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занявши столько, сколько имел, издержал в оном также 1 рубль; потом пришед в третий и четвертый трактир учинил то же, наконец по выходе из четвертого трактира не имел ничего; спрашивается количество его денег.

Решение: Аршин=71.12см; Рубль=100коп; Х=кол-во денег за полсемажды полдевята аршина 1.5*1/6*71,12=11/4 1/14*1/1871,12=Х


Ответ. 933/4 коп. 

З а д а ч а

Куплено сукна полторажды полтретья аршина, заплачено полчетвертажды полпята рубли; спрашивается, сколько должно заплатить за полсемажды полдевята аршина того же сукна?

Решение: Аршин=71.12см; Рубль=100коп; Х=кол-во денег за полсемажды полдевята аршина 1.5*1/6*71,12=11/4 1/14*1/1871,12=Х

Ответ. 232 руб. 5 коп. 

Дележ

4 путешественника: купец с дочерью, да крестьянин с женою нашли без полушки 9 алтын да лапти, из коих крестьянке дали грош без полушки да лапти, а остальные деньги разделили между собой так: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купец вполтретья больше крестьянина; спрашивается, сколько которому досталось?

Решение: Алтын=15коп; Полушка=1/4коп; Грош=1/2коп; крестьянин-Х 1,5Х+Х+1/6Х=135-1/4

Ответ. Крестьянин получил 5 коп., дочь купца 71/2 коп., купец 121/2 коп. 

Мена

Крестьянин менял зайцев на домашних куриц, брал за всяких двух зайцов по три курицы; каждая курица снесла яиц третью часть против числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйцы, брал за каждые девять яиц по стольку копеек, сколько каждая курица яиц снесла, за которые выручил он 24 алтына; спрашивается число кур и зайцов.

Решение: 2заяц=3курицы, пусть было Х кур; 1/3Х яиц снесла каждая курица; 9=1/3Х коп; 24коп за все яйца

Ответ. 12 зайцев и 18 кур. 

                                  __________________________________

Следующие составители наших арифметических учебников и задачников не развивали идеи Войтяховского - предлагать задачи и примеры в легкой, доступной и даже забавной форме. Об это надо пожалеть.


--МОЗГИ ID 215 14:16, 24 октября 2008 (SAMST)


.Задача из старинного русского учебника математики, носящего пространственное название "Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу употребление юношества и упражняющихся в Математике" (1795), заимствую следующую задачу:

--Пифагор ID 220 14:55, 24 октября 2008 (SAMST)

"Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб, 35 коп. Спрашивается число ран" РЕШЕНИЕ: Составляем уравнение Form1.jpgоткуда имеем х=16 -результат, который легко находим путем испытаний. При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.


Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице Копилка знаменитых задач продолжение.

Источник — «http://wiki.tgl.net.ru/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%B0_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%82%D1%8B%D1%85_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87&oldid=133239»
Личные инструменты
наши друзья
http://аудиохрестоматия.рф/