Копилка знаменитых задач продолжение
Nika (обсуждение | вклад) |
|||
Строка 5: | Строка 5: | ||
== Задачи участников ДООМ == | == Задачи участников ДООМ == | ||
+ | <font color="red"> ЛАДА-ВЕКТОР </font> | ||
+ | |||
+ | '''''1. Задача индийского математика XII в. Бхаскары.''''' | ||
+ | |||
+ | На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг порыв ветра его ствол надломил. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота? | ||
+ | |||
+ | Решение: | ||
+ | |||
+ | Дано: | ||
+ | |||
+ | треугольник ACD – прямоугольный, | ||
+ | |||
+ | АС = 3 фута, | ||
+ | |||
+ | AD = 4 фута. | ||
+ | |||
+ | Найти: АВ. | ||
+ | |||
+ | Решение: | ||
+ | |||
+ | АВ = АС + СD; ВС = СD; | ||
+ | |||
+ | CD <sup>2</sup> = AC x<sup>2</sup> + AD x<sup>2</sup> (по теореме Пифагора), | ||
+ | |||
+ | CD x<sup>2</sup> = 3 x<sup>2</sup> + 4 x<sup>2</sup>, CD x<sup>2</sup> = 25, CD = 5 (Ф); | ||
+ | |||
+ | АВ = 3+5 = 8 (Ф). | ||
+ | |||
+ | 1 фут (1 Ф) ~ 30,5 см. | ||
+ | |||
+ | Ответ: 8 футов или ~ 244 см. | ||
+ | |||
+ | [[Изображение:Индийская_задача.JPGE]] | ||
+ | |||
+ | '''''2.Решение древнекитайской задачи''''' | ||
+ | |||
+ | В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов. | ||
+ | |||
+ | ''Решение:'' | ||
+ | |||
+ | ''I способ Так решали в древнем Китае.'' | ||
+ | |||
+ | Представим, что наверх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положим морковь. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до моркови! | ||
+ | |||
+ | 1) Сколько ног в этот момент будет стоять на земле? | ||
+ | |||
+ | 35 2=70 (ног). | ||
+ | |||
+ | 2) Но в условии даны 94 ноги, где же остальные? Это передние лапы кроликов: | ||
+ | |||
+ | 94 – 70= 24. | ||
+ | |||
+ | 3) Сколько же кроликов? | ||
+ | |||
+ | 24: 2 = 12. | ||
+ | |||
+ | 4) Сколько фазанов? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | 35 – 12 = 23. | ||
+ | |||
+ | Ответ: 12 кроликов и 23 фазана. | ||
+ | |||
+ | ''II способ решения:'' | ||
+ | |||
+ | Пусть х – число фазанов, у – число кроликов. Всего у них 35 голов и 94 ноги. Значит, | ||
+ | |||
+ | х + у = 35 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | 2х + 4у = 94. | ||
+ | Умножим все члены уравнения на 2 и вычтем первое уравнение из второго. | ||
+ | |||
+ | 2х + 2у = 70 | ||
+ | |||
+ | 2х + 4у = 94 | ||
+ | |||
+ | 2у = 24 | ||
+ | |||
+ | у = 12 | ||
+ | |||
+ | В клетке было 12 кроликов. | ||
+ | |||
+ | х = 35 – у | ||
+ | |||
+ | х = 23 | ||
+ | |||
+ | Было 23 фазана. | ||
+ | |||
+ | Ответ: 23 фазана и 12 кроликов. | ||
+ | |||
+ | '''''3. Задача на применение теоремы Пифагора (Арабский математик XI век)''''' | ||
+ | |||
+ | На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной-30 локтей, другой -20 локтей; расстояние между их основаниями- 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, всплывшую к поверхности воды между пальмами; обе кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба? | ||
+ | |||
+ | ''Решение:'' | ||
+ | |||
+ | Сделаем рисунок: | ||
+ | [[Изображение:Пифагор.JPG]] | ||
+ | |||
+ | Расстояние от основания более высокой пальмы до места появления рыбы, обозначим основания х. тогда расстояние до более низкой пальмы (50-х) локтей, т.к. известно расстояние между ними – 50 локтей. | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим прямоугольные треугольники: ABC и KDC. | ||
+ | |||
+ | АВ= 30 локтей, КД= 20 локтей, АС= х локтей, КС=(50-х) локтей, ВС=ДС, т.к. птицы достигли рыбы одновременно. | ||
+ | |||
+ | Применяя теорему Пифагора. | ||
+ | |||
+ | АВ x<sup>2</sup> +АС x<sup>2</sup> = ВС x<sup>2</sup> и КД x<sup>2</sup> +КС x<sup>2</sup> =ДС x<sup>2</sup>, т.к. ВС=ДС, то ВС x<sup>2</sup> =КД x<sup>2</sup> +КС; x<sup>2</sup> | ||
+ | 30 x<sup>2</sup> +х =20 x<sup>2</sup> +(50-х) x<sup>2</sup>; | ||
+ | 900+х x<sup>2</sup> =400+2500-100х+х x<sup>2</sup>; | ||
+ | х=20 | ||
+ | Ответ: 20 локтей. | ||
+ | |||
+ | '''''4.Задача на числа (Диофант, III в.)''''' | ||
+ | |||
+ | Найдите 2 числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96. | ||
+ | |||
+ | ''1 способ решения:'' | ||
+ | |||
+ | Первое число обозначим х, второе у и составим систему уравнений; т.к. сумма чисел равна 20, то: х + у = 20; произведение 96, то х у = 96, т.е | ||
+ | |||
+ | Используя т.Виета: | ||
+ | |||
+ | х = 12; у = 8 или х =18; у = 12. | ||
+ | |||
+ | Ответ: 8 и 12. | ||
+ | |||
+ | ''2 способ решения:'' | ||
+ | |||
+ | Первое число обозначим х, второе (20-х), т.к. сумма чисел равна 20. Зная их произведение, составим уравнение: | ||
+ | |||
+ | х (20-х) = 96; х -20х+ 96 = 0 | ||
+ | |||
+ | Используя т.Виета: | ||
+ | |||
+ | х=8 | ||
+ | |||
+ | х=12. | ||
+ | |||
+ | Ответ: 8 и 12. | ||
+ | |||
+ | ''''' | ||
+ | 5.Задача на дроби (Бхаскары; Индия,XII в.)''''' | ||
+ | |||
+ | Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертвы: Шиве- 3 доля этого множества; Вишну-пятая и Солнца- шестая; четвертую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ''Решение:'' | ||
+ | |||
+ | Пусть всего цветов было х. | ||
+ | |||
+ | Шива получил третью долю из всего множества, т. е. 1х/4. | ||
+ | |||
+ | Зная, что ещё цветков получил уважаемый учитель, составим уравнение: | ||
+ | |||
+ | [[Изображение:Дроби.JPG]] | ||
+ | |||
+ | Ответ: 120 цветков. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''''6.Задача на составление системы уравнений (Старинная задача).''''' | ||
+ | |||
+ | Лошадь вместе с седлом стоит 235 рублей; лошадь же вместе со с рубей стоит 250 рублей; сбруя же с седлом стоит 135 рублей. Что стоит лошадь, что седло, что сбруя? | ||
+ | |||
+ | ''Решение:'' | ||
+ | |||
+ | Решим задачу с помощью системы уравнений. Пусть х | ||
+ | |||
+ | Возьмём за х рублей стоимость лошади, у рублей – сёдла, я рублей – сбруи. По условию: | ||
+ | |||
+ | x+y=235; | ||
+ | |||
+ | x+y=250; | ||
+ | |||
+ | y+z=135; | ||
+ | |||
+ | Вычитаем из первого уравнения второе: | ||
+ | |||
+ | x+y-x-z=235-250; | ||
+ | |||
+ | y=z-15; | ||
+ | |||
+ | Подставим полученное выражение в третье уравнение: | ||
+ | |||
+ | z-15+z=135; | ||
+ | |||
+ | z=75; | ||
+ | |||
+ | Найдём у: | ||
+ | |||
+ | у = z- 15=75-15=60; | ||
+ | |||
+ | Найдём х: | ||
+ | |||
+ | х + 60=235; | ||
+ | |||
+ | х=175. | ||
+ | |||
+ | Ответ: 175 рублей, 60 рублей, 75 рублей. | ||
+ | |||
+ | '''''7.Вознаграждение воина.''''' | ||
+ | |||
+ | ''Задача из | ||
+ | «Полного курс чистой математики , сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795г)'' | ||
+ | |||
+ | Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую -2 копейки, за третью – 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось , что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран. | ||
+ | |||
+ | [[Изображение:Задача_воин.JPG]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
[[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]] | [[Категория:Проект ДООМ - 2008-2009]] | ||
[[Категория:Проект ДООМ]] | [[Категория:Проект ДООМ]] |
Версия 14:33, 24 октября 2008
Посмотреть страницу Копилка знаменитых задач. Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице Копилка знаменитых задач продолжение 3
Задачи участников ДООМ
ЛАДА-ВЕКТОР
1. Задача индийского математика XII в. Бхаскары.
На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг порыв ветра его ствол надломил. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?
Решение:
Дано:
треугольник ACD – прямоугольный,
АС = 3 фута,
AD = 4 фута.
Найти: АВ.
Решение:
АВ = АС + СD; ВС = СD;
CD 2 = AC x2 + AD x2 (по теореме Пифагора),
CD x2 = 3 x2 + 4 x2, CD x2 = 25, CD = 5 (Ф);
АВ = 3+5 = 8 (Ф).
1 фут (1 Ф) ~ 30,5 см.
Ответ: 8 футов или ~ 244 см.
2.Решение древнекитайской задачи
В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов.
Решение:
I способ Так решали в древнем Китае.
Представим, что наверх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положим морковь. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до моркови!
1) Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?
35 2=70 (ног).
2) Но в условии даны 94 ноги, где же остальные? Это передние лапы кроликов:
94 – 70= 24.
3) Сколько же кроликов?
24: 2 = 12.
4) Сколько фазанов?
35 – 12 = 23.
Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.
II способ решения:
Пусть х – число фазанов, у – число кроликов. Всего у них 35 голов и 94 ноги. Значит,
х + у = 35
2х + 4у = 94.
Умножим все члены уравнения на 2 и вычтем первое уравнение из второго.
2х + 2у = 70
2х + 4у = 94
2у = 24
у = 12
В клетке было 12 кроликов.
х = 35 – у
х = 23
Было 23 фазана.
Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.
3. Задача на применение теоремы Пифагора (Арабский математик XI век)
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной-30 локтей, другой -20 локтей; расстояние между их основаниями- 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, всплывшую к поверхности воды между пальмами; обе кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Решение:
Расстояние от основания более высокой пальмы до места появления рыбы, обозначим основания х. тогда расстояние до более низкой пальмы (50-х) локтей, т.к. известно расстояние между ними – 50 локтей.
Рассмотрим прямоугольные треугольники: ABC и KDC.
АВ= 30 локтей, КД= 20 локтей, АС= х локтей, КС=(50-х) локтей, ВС=ДС, т.к. птицы достигли рыбы одновременно.
Применяя теорему Пифагора.
АВ x2 +АС x2 = ВС x2 и КД x2 +КС x2 =ДС x2, т.к. ВС=ДС, то ВС x2 =КД x2 +КС; x2 30 x2 +х =20 x2 +(50-х) x2; 900+х x2 =400+2500-100х+х x2; х=20 Ответ: 20 локтей.
4.Задача на числа (Диофант, III в.)
Найдите 2 числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96.
1 способ решения:
Первое число обозначим х, второе у и составим систему уравнений; т.к. сумма чисел равна 20, то: х + у = 20; произведение 96, то х у = 96, т.е
Используя т.Виета:
х = 12; у = 8 или х =18; у = 12.
Ответ: 8 и 12.
2 способ решения:
Первое число обозначим х, второе (20-х), т.к. сумма чисел равна 20. Зная их произведение, составим уравнение:
х (20-х) = 96; х -20х+ 96 = 0
Используя т.Виета:
х=8
х=12.
Ответ: 8 и 12.
5.Задача на дроби (Бхаскары; Индия,XII в.)
Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертвы: Шиве- 3 доля этого множества; Вишну-пятая и Солнца- шестая; четвертую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?
Решение:
Пусть всего цветов было х.
Шива получил третью долю из всего множества, т. е. 1х/4.
Зная, что ещё цветков получил уважаемый учитель, составим уравнение:
Ответ: 120 цветков.
6.Задача на составление системы уравнений (Старинная задача).
Лошадь вместе с седлом стоит 235 рублей; лошадь же вместе со с рубей стоит 250 рублей; сбруя же с седлом стоит 135 рублей. Что стоит лошадь, что седло, что сбруя?
Решение:
Решим задачу с помощью системы уравнений. Пусть х
Возьмём за х рублей стоимость лошади, у рублей – сёдла, я рублей – сбруи. По условию:
x+y=235;
x+y=250;
y+z=135;
Вычитаем из первого уравнения второе:
x+y-x-z=235-250;
y=z-15;
Подставим полученное выражение в третье уравнение:
z-15+z=135;
z=75;
Найдём у:
у = z- 15=75-15=60;
Найдём х:
х + 60=235;
х=175.
Ответ: 175 рублей, 60 рублей, 75 рублей.
7.Вознаграждение воина.
Задача из «Полного курс чистой математики , сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795г)
Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую -2 копейки, за третью – 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось , что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран.