Семинар ДООМ: "Проценты", ID 274

Версия 10:50, 19 ноября 2008

Проценты - одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, часто можно прочитать или услышать, что, на¬пример, в выборах приняли участие 57,3% изби¬рателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленное производство сократилось на 12,3%, банк начисляет 22% годовых, молоко со¬держит 1,5% жира, материал содержит 100% хлопка и т.д. Ясно, что без понимания такого рода информации в современном обществе просто труд¬но было бы существовать. Еще с младших классов нам известно, что процентом от любой величины называется одна сотая ее часть. Обозначается процент знаком %. Таким образом,

Поэтому, например, надпись на этикетке "хлопок 100%" означает, что ткань состоит из чистого хлопка, а стопроцентная успеваемость означает, что в классе нет неуспевающих учеников. Слово "процент" происходит от латинского pro centum, означающего "от сотни" или "на 100". Проценты были известны в Индии еще в V веке. В Европе десятичные дро¬би, а вместе с ними и проценты, появились на 1000 лет позже - лишь в конце XV века, после того, как нидерландский математик и инженер Симон Стевин опубликовал таблицу процентов. Любое число процентов можно выразить десятичной дробью или натураль¬ным числом. Чтобы выразить проценты десятичной дробью или натуральным числом, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100. Для обратного перехода выполняется обратное действие. Таким образом, чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100. В практической жизни полезно знать связь между простейшими значения¬ми процентов и соответствующими дробями: половина - 50% , четверть - 25% , три четверти - 75% , пятая часть - 20% , три пятых - 60% и т.д. Увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, уменьшить в 2 раза - это значит уменьшить на 50%. Если человек не вносит своевременную плату за квартиру, то на него налагается штраф, который называется "пеня" (от латинского роепа - наказа¬ние). Так, если пеня составляет 1% от суммы квартплаты, за каждый день просрочки то за 19 дней просрочки сумма составит 19% от суммы квартплаты, и вместе, с суммой квартплаты, например, 1000 рублей человек должен будет внести пеню 0,19 • 1000 = 190руб., а всего 1190 руб.

Можно составить общую формулу кварт¬платы для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятель¬ствах. Пусть S - ежемесячная квартплата, пеня составляет р % квартплаты за каж¬дый день просрочки, а n - число просроченных дней. Сумму, которую должен заплатить человек после п дней просрочки обозначим Sn. Тогда за п дней просрочки пеня составит рп % от S, или S, а всего придется заплатить S + S или, что то же самое, (l + ) S.

Таким образом,   (l + ) S

Задача 1. Сколько надо заплатить человеку, если его квартплата состав¬ляет 1000руб. и просрочена: а) на 5 дней; б) на 30 дней; б) на 4 месяца (120 дней)? Решение: Подставим в формулу значение р = 1 и значения п =5, 30, 120.

Если банк выплачивает вкладчикам каждый месяц р% от внесенной суммы и клиент внес сумму S, то через п месяцев на его счете будет (1 + ) S. Получилась в точности ту же самую формулу, что и в задаче с квартпла¬той, хотя буквы в этих двух примерах имеют разный смысл: в первом примере п - число дней, а во втором п - число месяцев, в первом примере S - величина квартплаты, а во втором S - сумма, внесенная в банк. Такая же формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста. Задача 2. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 4% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 5000руб. Какая сумма будет на его счете через полгода? Решение: Подставим в формулу величину процентной ставки р = 4, число месяцев п = 6, S = 5000:

В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называе¬мых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения вне¬сенной суммы на счете начисляется, например, 30% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги - "проценты", как их обычно называют. Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 30% начисляются банком уже на новую, уве¬личенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются "проценты на проценты", или, как их обычно называют, сложные проценты. Задача 3. Сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он поло¬жил на срочный счет в банк 1000 руб. под 40% годовых и ни разу не будет брать деньги со счета. Решение: 40% от 1000 руб. составляют 0,4 • 1000 = 400 руб., через год на его счете будет

1000 + 400 = 1400 (руб.)

40% от новой суммы 1400 руб. составляют 0,4 • 1400 = 560 руб., через 2 года на его счете будет 1400 + 560 = 1960 (руб.) 40% от новой суммы 1960 руб. составляют 0,4 • 1960 = 784 руб., через 3 года на его счете будет 1960 + 784 = 2744 (руб.) Подсчитать можно проще. Через год начальная сумма увеличится на 40%, она составит 140% от начальной, или, увеличится в 1,4 раза. В следую¬щем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40% . Следо¬вательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,4 • 1,4 = 1,42 раза. Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,4 • 1,42 = 1,43 раза. Получаем решение задачи значительно более простое: 1,43 • 1000 = 2,744 • 1000 = 2744 (руб.) Попробуем решить эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет р% годовых, внесенная сумма равна S руб., а сумма, которая будет на счете через п лет, рав¬на Sn руб. р% от S составляют S, и через год на счете окажется сумма

S+ S = (1+  ) S

За следующий год сумма S1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сумма S = (1+ ) S1=(1+ )(1+ ) S=(1+ ) S.

 S  S.

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста. Разница законов простого и сложного роста состоит в том, что при простом росте процент каждый раз исчисляют, исходя из начального значения величи¬ны, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения. Иначе говоря, при простом росте 100% - всегда начальная сумма, а при слож¬ном росте 100% - это предыдущее значение величины.

При уменьшении величины на определенное число про¬центов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста, появляется знак минус.

Задача 4. Банк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна 6000 руб. Какая сумма будет на счете клиента банка через 5 лет: а) при начислении банком простых процентов; б) при начислении банком сложных процентов? Решение: При простом процентном росте через 5 лет сумма составит

Из Задачи 4 видно, какая значительная разница получается при начислении процентов разными способами. Поэтому, желая внести деньги в какой-нибудь банк, человек всегда должен внимательно ознакомиться с усло¬виями: какие проценты выплачивает банк - простые или сложные, платит ли он "проценты на проценты". И судить об этом надо не только по рекламе, кото¬рая часто бывает расплывчатой, неточной, но и непосредственно по тексту договора, который перед подписанием надо внимательно изучить.

Сбер¬банк России с 1 октября 1993 г. за хранение денег на депо¬зитном вкладе в течение года, 6 и 3 месяцев выплачивал доход в размере 150%, 130% и 120% годовых соответственно.

Рас¬четы показывают, что при двукратном вложении денег на 6 ме¬сяцев:
; 2,7225S – S = 1,7225S = 172,25% S

можно получить доход в 172,5%

При четырехкратном  вложении денег  на 3 месяца:

можно получить доход в 185,61% . Все эти многократные вклады заметно превышает 150% годовых. Таким образом, вкладчики имели возможность получить выигрыш за счет более выгодного использования ус¬ловий Сбербанка России. Описанная ситуация поставила естественную задачу, которую нужно было бы решить руководству Сбербанка, если бы оно считало нежелательным многократное использование клиентами вкладов на 3 и 6 месяцев при заданной ставке годовых для вкладов на год. Задача 5: Каким наибольшим целым числом должен выражаться процент годовых для вкладов на 6 месяцев, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход, меньший чем вклад на 1 год под р% годовых? Каким наибольшим целым числом должен выражаться процент годовых для вкладов на 3 месяца, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход, меньший, чем вклад на 6 месяцев?

 Над решением этой задачи я планирую работать в дальнейшем.
   Ещё более интересной, на мой взгляд, с непредсказуемым ответом оказалась задача про вырубку соснового леса.
       Задача 6: Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вы¬рубить леспромхоз?
 Решение:
   Пусть  а –100%  весь лес. 

а). Предположим, что леспромхоз не будет рубить сосну, тогда 100 - 99 = 1(%) - составляют деревья других пород,

                 или,  а • 0,01= 0,01 • а (штук)

100 - 98 = 2(%) - будут составлять деревья других пород после вырубки от всего леса.

  Найдем этот оставшийся лес:
                      0,01а : 0,02 = 0,5а (штук), т. е. останется пол леса.

б). Предположим, что леспромхоз будет рубить сосну, тогда он может вырубить почти весь лес, оставив 49 сосен и одну берёзу. 50 штук - 100% 49 штук – х % Х = 100 • 49 : 50 = 98(%) – составляет сосна от общего количества деревьев. Ответ: а). если не рубить сосну, то можно вырубить половину леса; б). если будут вырубать и сосну, то можно вырубить практически весь лес, оставив лишь 49 сосен и 1 дерево другой породы.

ЛИТЕРАТУРА 1.М.Я. Выгодский, Справочник по элементарной математике. Издательство Санкт – Петербург, 1994. 2.В.Т. Воднев и др., Основные математические формулы. Минск, Выш. Школа, 1980 – 336с. 3.Д.Я. Стройк, Краткий очерк истории математики. Москва, Наука, 1978. 4.И.Н. Петрова, Проценты на все случаи жизни. Челябинск. Южно – Уральское кн. изд., 1996.