Семинар ДООМ: "Проценты", ID 274

Материал из ТолВИКИ
(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 10: Строка 10:
 
Если человек не вносит своевременную плату за квартиру, то на него налагается штраф, который называется "пеня" (от латинского роепа - наказа¬ние). Так, если пеня составляет 1% от суммы квартплаты, за каждый день просрочки то за 19 дней просрочки сумма составит 19% от суммы квартплаты, и вместе, с суммой квартплаты, например, 1000 рублей человек должен будет внести пеню 0,19 • 1000 = 190руб., а всего 1190 руб.
 
Если человек не вносит своевременную плату за квартиру, то на него налагается штраф, который называется "пеня" (от латинского роепа - наказа¬ние). Так, если пеня составляет 1% от суммы квартплаты, за каждый день просрочки то за 19 дней просрочки сумма составит 19% от суммы квартплаты, и вместе, с суммой квартплаты, например, 1000 рублей человек должен будет внести пеню 0,19 • 1000 = 190руб., а всего 1190 руб.
  
Можно составить общую формулу кварт¬платы для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятель¬ствах.
 
Пусть S - ежемесячная квартплата, пеня составляет р % квартплаты за каж¬дый день просрочки, а n - число просроченных дней. Сумму, которую должен заплатить человек после п дней просрочки обозначим Sn. Тогда за п дней просрочки пеня составит рп % от S, или  S, а всего придется заплатить S +  S  или, что то же самое, (l + ) S.
 
Таким образом,  (l + ) S
 
 
Задача 1. Сколько надо заплатить человеку, если его квартплата состав¬ляет 1000руб. и просрочена: а) на 5 дней; б) на 30 дней; б) на 4 месяца (120 дней)?
 
Задача 1. Сколько надо заплатить человеку, если его квартплата состав¬ляет 1000руб. и просрочена: а) на 5 дней; б) на 30 дней; б) на 4 месяца (120 дней)?
Решение:
+
Получилась в точности ту же самую формулу, что и в задаче с квартплатой, хотя буквы в этих двух примерах имеют разный смысл: в первом примере п - число дней, а во втором п - число месяцев, в первом примере S - величина квартплаты, а во втором S - сумма, внесенная в банк. Такая же формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста.
Подставим в формулу значение р = 1 и значения п =5, 30, 120.
+
+
Если банк выплачивает вкладчикам каждый месяц р% от внесенной суммы и клиент внес сумму S, то через п месяцев на его счете будет    (1 + ) S.
+
Получилась в точности ту же самую формулу, что и в задаче с квартпла¬той, хотя буквы в этих двух примерах имеют разный смысл: в первом примере п - число дней, а во втором п - число месяцев, в первом примере S - величина квартплаты, а во втором S - сумма, внесенная в банк. Такая же формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста.
+
 
Задача 2. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 4% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 5000руб. Какая сумма будет на его счете через полгода?
 
Задача 2. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 4% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 5000руб. Какая сумма будет на его счете через полгода?
 
Решение:  
 
Решение:  
Строка 28: Строка 21:
 
Решение:
 
Решение:
 
40% от 1000 руб. составляют 0,4 • 1000 = 400 руб., через год на его счете будет
 
40% от 1000 руб. составляют 0,4 • 1000 = 400 руб., через год на его счете будет
1000 + 400 = 1400 (руб.)
+
1000 + 400 = 1400 (руб.)
 
40% от новой суммы 1400 руб. составляют 0,4 • 1400 = 560 руб., через 2 года на его счете будет  1400 + 560 = 1960 (руб.)
 
40% от новой суммы 1400 руб. составляют 0,4 • 1400 = 560 руб., через 2 года на его счете будет  1400 + 560 = 1960 (руб.)
 
40% от новой суммы 1960 руб. составляют 0,4 • 1960 = 784 руб., через 3 года на его счете будет  1960 + 784 = 2744 (руб.)
 
40% от новой суммы 1960 руб. составляют 0,4 • 1960 = 784 руб., через 3 года на его счете будет  1960 + 784 = 2744 (руб.)
 
Подсчитать можно проще. Через год начальная сумма увеличится на 40%, она составит 140% от начальной, или, увеличится в 1,4 раза. В следую¬щем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40% . Следо¬вательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,4 • 1,4 = 1,42 раза.
 
Подсчитать можно проще. Через год начальная сумма увеличится на 40%, она составит 140% от начальной, или, увеличится в 1,4 раза. В следую¬щем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40% . Следо¬вательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,4 • 1,4 = 1,42 раза.
 
Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,4 • 1,42 = 1,43 раза. Получаем решение задачи значительно более простое: 1,43 • 1000 = 2,744 • 1000 = 2744 (руб.)
 
Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,4 • 1,42 = 1,43 раза. Получаем решение задачи значительно более простое: 1,43 • 1000 = 2,744 • 1000 = 2744 (руб.)
Попробуем решить эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет р% годовых, внесенная сумма равна S руб., а сумма, которая будет на счете через п лет, рав¬на Sn руб.  р% от S составляют  S, и через год на счете окажется сумма
+
 
S+ S = (1+  ) S
+
За следующий год сумма S1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сумма
+
S = (1+  )  S1=(1+  )(1+  ) S=(1+  ) S.
+
  S  S.
+
Эту формулу называют формулой сложного процентного роста.
+
 
Разница законов простого и сложного роста состоит в том, что при простом росте процент каждый раз исчисляют, исходя из начального значения величи¬ны, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения.
 
Разница законов простого и сложного роста состоит в том, что при простом росте процент каждый раз исчисляют, исходя из начального значения величи¬ны, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения.
 
Иначе говоря, при простом росте 100% - всегда начальная сумма, а при слож¬ном росте 100% - это предыдущее значение величины.
 
Иначе говоря, при простом росте 100% - всегда начальная сумма, а при слож¬ном росте 100% - это предыдущее значение величины.
При уменьшении величины на определенное число про¬центов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста, появляется знак минус.
+
При уменьшении величины на определенное число процентов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста, появляется знак минус.
 +
 
 
Задача 4. Банк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна 6000 руб. Какая сумма будет на счете клиента банка через 5 лет: а) при начислении банком простых процентов; б) при начислении банком сложных процентов?
 
Задача 4. Банк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна 6000 руб. Какая сумма будет на счете клиента банка через 5 лет: а) при начислении банком простых процентов; б) при начислении банком сложных процентов?
Решение:
 
При простом процентном росте через 5 лет сумма составит
 
 
   
 
   
 
Из Задачи 4 видно, какая значительная разница получается при начислении процентов разными способами. Поэтому, желая внести деньги в какой-нибудь банк, человек всегда должен внимательно ознакомиться с усло¬виями: какие проценты выплачивает банк - простые или сложные, платит ли он "проценты на проценты". И судить об этом надо не только по рекламе, кото¬рая часто бывает расплывчатой, неточной, но и непосредственно по тексту договора, который перед подписанием надо внимательно изучить.
 
Из Задачи 4 видно, какая значительная разница получается при начислении процентов разными способами. Поэтому, желая внести деньги в какой-нибудь банк, человек всегда должен внимательно ознакомиться с усло¬виями: какие проценты выплачивает банк - простые или сложные, платит ли он "проценты на проценты". И судить об этом надо не только по рекламе, кото¬рая часто бывает расплывчатой, неточной, но и непосредственно по тексту договора, который перед подписанием надо внимательно изучить.
  
Сбер¬банк России с 1 октября 1993 г. за хранение денег на депо¬зитном вкладе в течение года, 6 и 3 месяцев выплачивал доход в размере 150%, 130% и 120% годовых соответственно.
+
Сбербанк России с 1 октября 1993 г. за хранение денег на депозитном вкладе в течение года, 6 и 3 месяцев выплачивал доход в размере 150%, 130% и 120% годовых соответственно.
Рас¬четы показывают, что при двукратном вложении денег на 6 ме¬сяцев:
+
Можно получить доход в 172,5%
; 2,7225S – S = 1,7225S = 172,25% S
+
При четырехкратном  вложении денег  на 3 месяца:
 
+
можно получить доход в 172,5%
+
При четырехкратном  вложении денег  на 3 месяца:
+
+
 
+
 
можно получить доход в 185,61% . Все эти многократные вклады  заметно превышает 150% годовых.  
 
можно получить доход в 185,61% . Все эти многократные вклады  заметно превышает 150% годовых.  
 
Таким образом, вкладчики имели возможность получить выигрыш за счет более выгодного использования ус¬ловий Сбербанка России.
 
Таким образом, вкладчики имели возможность получить выигрыш за счет более выгодного использования ус¬ловий Сбербанка России.
 
Описанная ситуация поставила естественную задачу, которую нужно было бы решить руководству Сбербанка, если бы оно считало нежелательным многократное использование клиентами вкладов на 3 и 6 месяцев при заданной ставке годовых для вкладов на год.
 
Описанная ситуация поставила естественную задачу, которую нужно было бы решить руководству Сбербанка, если бы оно считало нежелательным многократное использование клиентами вкладов на 3 и 6 месяцев при заданной ставке годовых для вкладов на год.
 
Задача 5: Каким наибольшим целым числом должен выражаться процент годовых для вкладов на 6 месяцев, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход, меньший чем вклад на 1 год под р% годовых? Каким наибольшим целым числом должен выражаться процент годовых для вкладов на 3 месяца, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход, меньший, чем вклад на 6 месяцев?
 
Задача 5: Каким наибольшим целым числом должен выражаться процент годовых для вкладов на 6 месяцев, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход, меньший чем вклад на 1 год под р% годовых? Каким наибольшим целым числом должен выражаться процент годовых для вкладов на 3 месяца, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход, меньший, чем вклад на 6 месяцев?
  Над решением этой задачи я планирую работать в дальнейшем.
+
Над решением этой задачи я планирую работать в дальнейшем.
    Ещё более интересной, на мой взгляд, с непредсказуемым ответом оказалась задача про вырубку соснового леса.
+
Ещё более интересной, на мой взгляд, с непредсказуемым ответом оказалась задача про вырубку соснового леса.
        Задача 6: Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вы¬рубить леспромхоз?
+
Задача 6: Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вы¬рубить леспромхоз?
  Решение:
+
Решение:
    Пусть  а –100%  весь лес.  
+
Пусть  а –100%  весь лес.  
 
а). Предположим, что леспромхоз не будет рубить сосну, тогда
 
а). Предположим, что леспромхоз не будет рубить сосну, тогда
 
100 - 99  = 1(%) - составляют деревья других пород,  
 
100 - 99  = 1(%) - составляют деревья других пород,  
                  или,  а • 0,01= 0,01 • а (штук)
+
или,  а • 0,01= 0,01 • а (штук)
 
100 - 98 = 2(%) - будут составлять деревья других пород после вырубки от всего леса.
 
100 - 98 = 2(%) - будут составлять деревья других пород после вырубки от всего леса.
  Найдем этот оставшийся лес:
+
Найдем этот оставшийся лес:
                      0,01а : 0,02 = 0,5а (штук), т. е. останется пол леса.
+
0,01а : 0,02 = 0,5а (штук), т. е. останется пол леса.
 
б). Предположим, что леспромхоз будет рубить сосну, тогда он может вырубить почти весь лес, оставив 49 сосен и одну берёзу.
 
б). Предположим, что леспромхоз будет рубить сосну, тогда он может вырубить почти весь лес, оставив 49 сосен и одну берёзу.
 
50 штук - 100%
 
50 штук - 100%

Версия 23:20, 29 октября 2009

Проценты - одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, часто можно прочитать или услышать, что, на¬пример, в выборах приняли участие 57,3% изби¬рателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленное производство сократилось на 12,3%, банк начисляет 22% годовых, молоко со¬держит 1,5% жира, материал содержит 100% хлопка и т.д. Ясно, что без понимания такого рода информации в современном обществе просто труд¬но было бы существовать. Еще с младших классов нам известно, что процентом от любой величины называется одна сотая ее часть. Обозначается процент знаком %. Таким образом,

Поэтому, например, надпись на этикетке "хлопок 100%" означает, что ткань состоит из чистого хлопка, а стопроцентная успеваемость означает, что в классе нет неуспевающих учеников. Слово "процент" происходит от латинского pro centum, означающего "от сотни" или "на 100". Проценты были известны в Индии еще в V веке. В Европе десятичные дро¬би, а вместе с ними и проценты, появились на 1000 лет позже - лишь в конце XV века, после того, как нидерландский математик и инженер Симон Стевин опубликовал таблицу процентов. Любое число процентов можно выразить десятичной дробью или натураль¬ным числом. Чтобы выразить проценты десятичной дробью или натуральным числом, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100. Для обратного перехода выполняется обратное действие. Таким образом, чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100. В практической жизни полезно знать связь между простейшими значения¬ми процентов и соответствующими дробями: половина - 50% , четверть - 25% , три четверти - 75% , пятая часть - 20% , три пятых - 60% и т.д. Увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, уменьшить в 2 раза - это значит уменьшить на 50%. Если человек не вносит своевременную плату за квартиру, то на него налагается штраф, который называется "пеня" (от латинского роепа - наказа¬ние). Так, если пеня составляет 1% от суммы квартплаты, за каждый день просрочки то за 19 дней просрочки сумма составит 19% от суммы квартплаты, и вместе, с суммой квартплаты, например, 1000 рублей человек должен будет внести пеню 0,19 • 1000 = 190руб., а всего 1190 руб.

Задача 1. Сколько надо заплатить человеку, если его квартплата состав¬ляет 1000руб. и просрочена: а) на 5 дней; б) на 30 дней; б) на 4 месяца (120 дней)? Получилась в точности ту же самую формулу, что и в задаче с квартплатой, хотя буквы в этих двух примерах имеют разный смысл: в первом примере п - число дней, а во втором п - число месяцев, в первом примере S - величина квартплаты, а во втором S - сумма, внесенная в банк. Такая же формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста. Задача 2. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 4% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 5000руб. Какая сумма будет на его счете через полгода? Решение: Подставим в формулу величину процентной ставки р = 4, число месяцев п = 6, S = 5000:

В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называе¬мых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения вне¬сенной суммы на счете начисляется, например, 30% от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги - "проценты", как их обычно называют. Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года 30% начисляются банком уже на новую, уве¬личенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются "проценты на проценты", или, как их обычно называют, сложные проценты. Задача 3. Сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он поло¬жил на срочный счет в банк 1000 руб. под 40% годовых и ни разу не будет брать деньги со счета. Решение: 40% от 1000 руб. составляют 0,4 • 1000 = 400 руб., через год на его счете будет 1000 + 400 = 1400 (руб.) 40% от новой суммы 1400 руб. составляют 0,4 • 1400 = 560 руб., через 2 года на его счете будет 1400 + 560 = 1960 (руб.) 40% от новой суммы 1960 руб. составляют 0,4 • 1960 = 784 руб., через 3 года на его счете будет 1960 + 784 = 2744 (руб.) Подсчитать можно проще. Через год начальная сумма увеличится на 40%, она составит 140% от начальной, или, увеличится в 1,4 раза. В следую¬щем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 40% . Следо¬вательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,4 • 1,4 = 1,42 раза. Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,4 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,4 • 1,42 = 1,43 раза. Получаем решение задачи значительно более простое: 1,43 • 1000 = 2,744 • 1000 = 2744 (руб.)

Разница законов простого и сложного роста состоит в том, что при простом росте процент каждый раз исчисляют, исходя из начального значения величи¬ны, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения. Иначе говоря, при простом росте 100% - всегда начальная сумма, а при слож¬ном росте 100% - это предыдущее значение величины. При уменьшении величины на определенное число процентов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста, появляется знак минус.

Задача 4. Банк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна 6000 руб. Какая сумма будет на счете клиента банка через 5 лет: а) при начислении банком простых процентов; б) при начислении банком сложных процентов?

Из Задачи 4 видно, какая значительная разница получается при начислении процентов разными способами. Поэтому, желая внести деньги в какой-нибудь банк, человек всегда должен внимательно ознакомиться с усло¬виями: какие проценты выплачивает банк - простые или сложные, платит ли он "проценты на проценты". И судить об этом надо не только по рекламе, кото¬рая часто бывает расплывчатой, неточной, но и непосредственно по тексту договора, который перед подписанием надо внимательно изучить.

Сбербанк России с 1 октября 1993 г. за хранение денег на депозитном вкладе в течение года, 6 и 3 месяцев выплачивал доход в размере 150%, 130% и 120% годовых соответственно. Можно получить доход в 172,5% При четырехкратном вложении денег на 3 месяца: можно получить доход в 185,61% . Все эти многократные вклады заметно превышает 150% годовых. Таким образом, вкладчики имели возможность получить выигрыш за счет более выгодного использования ус¬ловий Сбербанка России. Описанная ситуация поставила естественную задачу, которую нужно было бы решить руководству Сбербанка, если бы оно считало нежелательным многократное использование клиентами вкладов на 3 и 6 месяцев при заданной ставке годовых для вкладов на год. Задача 5: Каким наибольшим целым числом должен выражаться процент годовых для вкладов на 6 месяцев, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход, меньший чем вклад на 1 год под р% годовых? Каким наибольшим целым числом должен выражаться процент годовых для вкладов на 3 месяца, чтобы двукратное использование этого вклада приносило доход, меньший, чем вклад на 6 месяцев? Над решением этой задачи я планирую работать в дальнейшем. Ещё более интересной, на мой взгляд, с непредсказуемым ответом оказалась задача про вырубку соснового леса. Задача 6: Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вы¬рубить леспромхоз? Решение: Пусть а –100% весь лес. а). Предположим, что леспромхоз не будет рубить сосну, тогда 100 - 99 = 1(%) - составляют деревья других пород, или, а • 0,01= 0,01 • а (штук) 100 - 98 = 2(%) - будут составлять деревья других пород после вырубки от всего леса. Найдем этот оставшийся лес: 0,01а : 0,02 = 0,5а (штук), т. е. останется пол леса. б). Предположим, что леспромхоз будет рубить сосну, тогда он может вырубить почти весь лес, оставив 49 сосен и одну берёзу. 50 штук - 100% 49 штук – х % Х = 100 • 49 : 50 = 98(%) – составляет сосна от общего количества деревьев. Ответ: а). если не рубить сосну, то можно вырубить половину леса; б). если будут вырубать и сосну, то можно вырубить практически весь лес, оставив лишь 49 сосен и 1 дерево другой породы.

ЛИТЕРАТУРА 1.М.Я. Выгодский, Справочник по элементарной математике. Издательство Санкт – Петербург, 1994. 2.В.Т. Воднев и др., Основные математические формулы. Минск, Выш. Школа, 1980 – 336с. 3.Д.Я. Стройк, Краткий очерк истории математики. Москва, Наука, 1978. 4.И.Н. Петрова, Проценты на все случаи жизни. Челябинск. Южно – Уральское кн. изд., 1996.

Личные инструменты
наши друзья
http://аудиохрестоматия.рф/