Копилка знаменитых задач продолжение
Посмотреть страницу Копилка знаменитых задач. Если вы увидите сообщение что количество опубликованных знаков превышает длину страницы, то вы можете разместить свои задачи на странице Копилка знаменитых задач продолжение 3
Задачи участников ДООМ
ЛАДА-ВЕКТОР
1. Задача индийского математика XII в. Бхаскары.
На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг порыв ветра его ствол надломил. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?
Решение:
Дано:
треугольник ACD – прямоугольный,
АС = 3 фута,
AD = 4 фута.
Найти: АВ.
Решение:
АВ = АС + СD; ВС = СD;
CD 2 = AC x2 + AD x2 (по теореме Пифагора),
CD x2 = 3 x2 + 4 x2, CD x2 = 25, CD = 5 (Ф);
АВ = 3+5 = 8 (Ф).
1 фут (1 Ф) ~ 30,5 см.
Ответ: 8 футов или ~ 244 см.
2.Решение древнекитайской задачи
В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов.
Решение:
I способ Так решали в древнем Китае.
Представим, что наверх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положим морковь. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до моркови!
1) Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?
35 2=70 (ног).
2) Но в условии даны 94 ноги, где же остальные? Это передние лапы кроликов:
94 – 70= 24.
3) Сколько же кроликов?
24: 2 = 12.
4) Сколько фазанов?
35 – 12 = 23.
Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.
II способ решения:
Пусть х – число фазанов, у – число кроликов. Всего у них 35 голов и 94 ноги. Значит,
х + у = 35
2х + 4у = 94. Умножим все члены уравнения на 2 и вычтем первое уравнение из второго.
2х + 2у = 70
2х + 4у = 94
2у = 24
у = 12
В клетке было 12 кроликов.
х = 35 – у
х = 23
Было 23 фазана.
Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.
3. Задача на применение теоремы Пифагора (Арабский математик XI век)
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной-30 локтей, другой -20 локтей; расстояние между их основаниями- 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, всплывшую к поверхности воды между пальмами; обе кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
Решение:
Сделаем рисунок:
Расстояние от основания более высокой пальмы до места появления рыбы, обозначим основания х. тогда расстояние до более низкой пальмы (50-х) локтей, т.к. известно расстояние между ними – 50 локтей.
Рассмотрим прямоугольные треугольники: ABC и KDC.
АВ= 30 локтей, КД= 20 локтей, АС= х локтей, КС=(50-х) локтей, ВС=ДС, т.к. птицы достигли рыбы одновременно.
Применяя теорему Пифагора.
АВ x2 +АС x2 = ВС x2 и КД x2 +КС x2 =ДС x2, т.к. ВС=ДС, то ВС x2 =КД x2 +КС; x2 30 x2 +х =20 x2 +(50-х) x2; 900+х x2 =400+2500-100х+х x2; х=20 Ответ: 20 локтей.
4.Задача на числа (Диофант, III в.)
Найдите 2 числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96.
1 способ решения:
Первое число обозначим х, второе у и составим систему уравнений; т.к. сумма чисел равна 20, то: х + у = 20; произведение 96, то х у = 96, т.е
Используя т.Виета:
х = 12; у = 8 или х =18; у = 12.
Ответ: 8 и 12.
2 способ решения:
Первое число обозначим х, второе (20-х), т.к. сумма чисел равна 20. Зная их произведение, составим уравнение:
х (20-х) = 96; х -20х+ 96 = 0
Используя т.Виета:
х=8
х=12.
Ответ: 8 и 12.
5.Задача на дроби (Бхаскары; Индия,XII в.)
Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертвы: Шиве- 3 доля этого множества; Вишну-пятая и Солнца- шестая; четвертую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?
Решение:
Пусть всего цветов было х.
Шива получил третью долю из всего множества, т. е. 1х/4.
Зная, что ещё цветков получил уважаемый учитель, составим уравнение:
Ответ: 120 цветков.
6.Задача на составление системы уравнений (Старинная задача).
Лошадь вместе с седлом стоит 235 рублей; лошадь же вместе со с рубей стоит 250 рублей; сбруя же с седлом стоит 135 рублей. Что стоит лошадь, что седло, что сбруя?
Решение:
Решим задачу с помощью системы уравнений. Пусть х
Возьмём за х рублей стоимость лошади, у рублей – сёдла, я рублей – сбруи. По условию:
x+y=235;
x+y=250;
y+z=135;
Вычитаем из первого уравнения второе:
x+y-x-z=235-250;
y=z-15;
Подставим полученное выражение в третье уравнение:
z-15+z=135;
z=75;
Найдём у:
у = z- 15=75-15=60;
Найдём х:
х + 60=235;
х=175.
Ответ: 175 рублей, 60 рублей, 75 рублей.
7.Вознаграждение воина.
Задача из «Полного курс чистой математики , сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795г)
Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую -2 копейки, за третью – 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось , что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран.
9. Задача Эйлера
Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь твой яйца у меня, я выручила бы за них крейцера». Сколько яиц у каждой?
РЕШЕНИЕ
I способ:
Пусть у первой крестьянки x яиц, тогда у второй 100 – x. Если бы первая имела 100 – x яиц, она выручила бы, мы знаем 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продала яйца по цене
Отрицательный корень в данном случае не имеет смысла; у задачи – только одно решение: первая крестьянка принесла 40 яиц и , значит, вторая 60. II способ: Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже , чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами , то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц , чем вторая , и продавала бы их в k раз дороже. Это значит ,что она выручила бы в k больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем:
10. Покупка лошади
Задача из «Арифметики» Магницкого.
Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу, говоря - Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит тогда продавец предложил другие условия. Если, по-твоему цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего ¼ коп., за второй – ½ коп., за третий – 1 коп. и т.д. Покупатель соблазнённый низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
Решение
--Лада-Вектор ID 279 15:40, 24 октября 2008 (SAMST)
--Сталкера задач ID 219 16:11, 24 октября 2008 (SAMST)
Задача 1. Вопросил некто некоего учителя: "Сколько имеешь учеников у себя,так как хочу отдать сына к тебе в училище". Учитель ответил: "Если ко мне придет учеников еще столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня учеников 100." Сколько было у учителя учеников?
Решение:
2х+1/2*х+1/4*х+1=100, х=36
Ответ: 36 учеников.
ЗВЕЗДА ID 248
ЗАДАЧИ РАЗНЫХ СТРАН
Задача №1 РОССИЯ
На вопрос о том, сколько времени, был дан такой ответ: «Две пятых времени, прошедшего от полуночи до этого момента, равно двум третьим времени, которое осталось до полудня». Сколько сейчас времени?
Решение
От полуночи до полудня 12 часов, если t ч. — время, прошед¬шее от полуночи до настоящего времени, то:
2 / 3t = 2 / 3(12 − t)
Следовательно, в данный момент t = 7,5 ч., т.е. часы показы¬вают 7 ч. 30 мин. Ответ: 7 ч. 30 мин.
Задача №2 ФРАНЦИЯ
Чему равно наименьшее число, которое при делении на 2, 3, 4, 5, 6 дает в остатке 1, 2, 3, 4, 5 соответственно.
Решение:
Пусть п - неизвестное число. Так как при делении п на 2 в остатке 1, значит, (п + 1) делится на 2 без остатка. Если п при делении на 3 дает в остатке 2, то число (п + 1) делится на 3 без остатка и т.д. Наименьшее кратное 2, 3, 4, 5, 6 равно 60. Сле¬довательно, п = 60 -1 = 59.
Ответ: 59.
Задача №3
Когда у старушки Леони спрашивают, сколько у нее кошек, она меланхолично отвечает: «Четыре пятых моих кошек плюс четыре пятых кошки». Сколько же у Леони кошек?
Решение:
Пусть п - число кошек у Леони. Со слов старушки можем записать уравнение:
4 4 — n + - = n 5 5
n = 4
Ответ: 4 кошки.
Задача №4 БОЛГАРИЯ
Отец, по имени Николай, с сыном и отец, по имени Петр, с сы¬ном отправились удить рыбу. Число рыб, пойманных Николаем, оканчивается на 2, а число рыб, пойманных его сыном - на 3; число рыб, пойманных Петром, также оканчивается на 3, а число рыб, пойманных его сыном - на 4. Число рыб, пойманных на¬шими рыболовами вместе, совпадает с квадратом некоторого натурального числа. Как зовут сына Николая?
Решение:
Так как сумма последних цифр 2 + 3 + 3 + 4 = 12 оканчива¬ется на 2, и не существует квадрата натурального числа, который оканчивается на 2, то речь идет не о четырех, а лишь о трех ры¬баках, т.е. сын одного из любителей рыбной ловли одновременно является отцом другого (2 + 3 + 4 = 9). Николай не может быть сыном Петра, т.к. улов Николая оканчивается на 2, а не на 4, как того требует условие задачи. Следовательно, Петр - сын Николая.
Ответ: Петр.
Задача №5 ДАНИЯ
Рыбаки Адам, Бауэр, Кристиансен и Дазе (сокращенно: А, Б, К, Д), взвесив свой улов, установили следующее:
1) Д поймал больше, чем К; 2) А и Б вместе поймали столько же, сколько К и Д вместе; 3) А и Д вместе поймали меньше, чем Б а К вместе. Расположите результаты взвешиваний уловов а, б, к, д рыба¬ков А, Б, К, Д по величине.
Решение:
Результаты взвешивания улов а, б, к, д удовлетворяют соот¬ношениям: к<д (1)
а + б = к + д (2)
а + д < б + к (3)
Из (2) и (3) при сложении получим неравенство:
2а + б + д < б + 2к + д
2а < 2к
а < к (4)
Из (1) и (4) следует, что а < к < д.
Из (2) и (4) получим д < б. Значит, выполняется цепочка не¬равенств: а < к < д < б. Значит, самый большой улов у Бауэра, за ним у Дазе, Кристиансена и Адама.
Задача №6 АВСТРАЛИЯ
Скотовод завещал трем своим сыновьям Альфреду, Джону и Чарльзу разделить стадо овец следующим образом: Альфред получит на 20% больше Джона и на 25% больше Чарльза. Часть Джона - 3600 овец. Сколько овец получит Чарльз?
Решение:
Альфред получит 3600 + 0,2 • 3600 = 4320 овец. Это число на 25% больше z - числа овец Чарльза, т.е.
4320 = z - 0,25z
z = 3456
Ответ: 3456 овец получит Чарльз.
Задача №7 ЧЕХИЯ
По преданию, основательница чешского государства принцес¬са Либуша обещала отдать свою руку тому из трех женихов, кто сумеет решить задачу: «Если бы я дала первому жениху половину слив из этой корзины и еще одну сливу, второму жениху - поло¬вину оставшихся слив и еще одну сливу, а оставшиеся сливы поделила пополам и половину их и еще три сливы дала бы треть¬ему жениху, то корзина бы опустела». Сколько слив в корзине?
Ответ: 22 сливы.
Задача №8 Германия
Сын спросил отца, сколько ему лет. Отец ответил так: «Если прибавить к моим годам их половину, затем их четверть и еще один год, то получится 134 года». Сколько отцу лет?
Решение:
Пусть отцу х лет, тогда по условию задачи:
Ответ:76 лет
Задача №9
За какое время лев, волк и собака могут съесть трех овец, если лев один может съесть овцу за 1 час, волк - за 3 часа, а со¬бака - за 6 часов.
Решение:
Если t ч. - время, за которое все трое могут съесть одну овцу, то съеденные части соответственно равны
t/1; t/3; t/6. Из равенства
t/1+t/3+t/6= 1 находим t = 2/3 часа, т.е. 40 мин. Следовательно, все трое съедят трех овец за 40x3=120 мин., т.е. за 2 часа.
Ответ: 2 часа.
Задача №10 Жизнь Диофанта
(наглядно-геометрический способ)алгебраический у команды
Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей –
И камень мудрым искусством его скажет успокоившего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил,
Отнят он был у отца ранней могилою своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Сколько лет прожил Диофант?
Решение
Наглядно-геометрический способ 
Так как в задаче речь идет о 1/6, 1/12, 1/7 и 1/2 частях жиз¬ни, то число лет, прожитых Дио¬фантом, надо делить на 6, 12, 7 и 2. Изобразим всю жизнь Диофанта в виде прямоуголь¬ника размером 7x12 клеток. Тогда 1/6, 1/12 и 1/2 части жиз¬ни изобразить легко; 1/7 - это полоска размером 1x12, т.е. 12 клеток, значит 1/7 жизни можно изобразить, например, прямоугольником 3x4 клетки. Оставшая¬ся затемненная часть соответствует 9 годам жизни Диофанта (4 + 5 = 9). Итак, одна клетка соответствует одному году жизни, всего получится 7х2 =84 клетки. Способ подбора Число лет Диофанта делится на 6, 12, 7 и 2.
--ЗВЕЗДА ID 248--ЗВЕЗДА ID 248 16:55, 24 октября 2008 (SAMST)
