Копилка знаменитых задач
Юные математики! Поместите на эту страницу знакомые всему математическому миру, но незнакомые многим школьникам авторские задачи великих математиков (и не только), а также известные старинные задачи.
В блиц-конкурсе «Великие сюжетные задачи» участвуют задачи, размещенные в срок с 24 октября по 17 ноября!
Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице Копилка знаменитых задач продолжение.
Команда ШОУ «Модель»
ID_278
1.Из Древнего Вавилона (около 2000г. до н. э.) Длина и ¼ ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?
Решение:
Пусть ширина составляет х ладоней, длина – у ладоней. Тогда х/4 + у = 7, (1)
х + у = 10, (2)
х = 10 – у. (3)
Подставляя (3) в (1), получаем
(10 – у) /4 + у = 7,
у = 6.
Затем из (1) находим х/4 + 6 = 7, х=4.
2. Из древнеиндийской математики (около 2000 г. до н. э.) Пчелы числом, равным квадратному корню из полного числа их во всем рое, сели на куст жасмина, 8/9 пчел полетели назад к рою. И только одна пчела из того же роя кружилась над цветком лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно угодившей в ловушку сладко благоухающего цветка. Сколько всего пчел было в рое?
Решение: Пусть х – число пчел в рое. Тогда квадратный корень(х/2)+ 8/9 *х+2 (1) Обозначив квадратный корень(х/2)через у, преобразуем уравнение (1) ( так как у²= х/2, или х=2у²) к виду у + 16/9 у² + 2 = 2у², 2у² - 9у – 18 = 0, Откуда у1 = 6, у2 = - 3/2. Этим значениям у соответствуют следующие значения х: х1= 72, х2= 4,5. Так как число пчел в рое может быть только натуральным числом, то в рое было 72 пчелы.
3. Арифметика древних китайцев (2000г. до н. э.) В центре квадратного пруда шириной 10 шагов растет камыш, возвышающийся на 1 шаг над поверхностью воды. Если стоя на берегу водоема, притянуть камыш к середине любой из сторон, то он как раз касается края пруда. Какова глубина пруда?
Решение: По теореме Пифагора: х2 + 52 = (х+1)2 ,
х2 + 25 = х2 + 2х + 1,
х = 12.
Глубина пруда – 12 шагов.
4. Пифагор Самосский (около 580-501 гг. до н. э.) Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат»,- отвечал Пифагор. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины?» Сколько учеников было у Пифагора?
Решение: Пусть х – число учеников Пифагора. Тогда ½ х + ¼ х + 1/7 х +3 = х,Откуда х = 28.Итак, у Пифагора было 28 учеников.
5. Шен Кан (ум. В 152 г. до н.э.)
Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого урожая дают 39 доу (старинная китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна. Спрашивается: сколько доу зерна дает 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?
Решение: Пусть 1 сноп хорошего урожая дает х доу зерна, среднего = у доу и плохого – z доу зерна. Тогда 3х + 2у + z = 36, 2х + 3у + z = 34, Х + 2у + 3z = 26, Откуда х = 9 ¼ , у = 4 ¼, z = 2 ¾ . Итак, 1 сноп хорошего урожая дает 9 ¼ доу зерна, 1 сноп среднего урожая – 4 ¼ доу и 1 сноп плохого урожая – 2 ¾ доу.
6. Римский математик (около 1 в. до н.э.)
Адвокаты в Древнем Риме имели обыкновение задавать друг другу задачи. Одна из таких задач гласит:
«Некая вдова должна разделить оставшееся после смерти мужа наследство в размере 3500 динариев с ещё не родившимся ребенком. По римским законам, если родится сын, то мать получает половину причитающейся ему доли, а в случае рождения дочери мать получает вдвое больше неё. У вдовы родились близнецы – сын и дочь.
Как разделить наследство, чтобы все требования закона были соблюдены
Решение: Пусть доля сына составляет х, дочери у, доля матери z динариев. Тогда х + у + z = 3500, х = 2z, у = z/2. Следовательно, х = 2000 у = 500, z =1000. Таким образом, вдова должна получить 1000 динариев, сын – 2000 динариев, а дочь – 500 динариев.
7. Диофант Александрийский (III в н.э.) По двум данным числам 200 и 5 найти третье число, которое если его умножить на одно из них, дает полный квадрат, а если его умножить на другое число, дает квадратный корень из этого квадрата.
Решение: Пусть х – число, которое требуется найти. Тогда 200х = у², (1) 5х = у. (2) Подставляя (2) в (1), получаем 200х = 25х², 200 = 25х, х = 8. ____ Итак, третье число 8. Проверка: 5•8 = 40; 200•8 = 1600 и квадратный корень из 1600 = 40.
8. Арабская сказка «1001 ночь» (ночь 458-я)
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветках, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветках голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас осталось втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну».
Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?
Решение:
Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда y-1= (x + y)/3
И, кроме того, х-1 = у+1, т.е. х = у+2.
Подставляя х = у+2 в первое уравнение, получаем
(у-1) • 3 = у +2 +у,
3у – 3 = 2у + 2,
у = 5.
Следовательно, х = у + 2 = 7.
Итак, 7 голубей сели на дерево, а 5 голубей расположились под деревом.
9. В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной девушке задачу:
«Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нудно было пройти через четыре двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у неё осталось лишь 10 яблок.
Сколько яблок она собрала в саду?»
Решение: Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160 яблок. Следовательно женщина собрала в саду 160 яблок.
10. Бхаскара 1 (VI в.)
Найти натуральные числа, дающие при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1, и, кроме того, делящиеся на 7.
Решение: Такие числа должны удовлетворять соотношениям х = 60n + 1, х = 7а, где n и a – некоторые целые числа. Итак, 60n + 1= 7а, откуда a = ( 60n +1) / 7 , a = 8n + (4n +1) / 7
Целым, положительным значениям а соответствует n = 5, 12, 19,… При n =5 х = 301, При n =12 х = 721, При n =19 х = 1141 и т.д. Эта задача допускает простое решение, если следовать Бхаскаре. В прошлом веке одному математику для «доказательства» правильности результата, полученного Бхаскарой, понадобилось несколько страниц.
11. Ал-Хорезми (около 780г. – 850 г.)
Разложить число 10 на два слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.
Решение: Пусть х – одно из слагаемых числа 10. Тогда х² + (10 – х)² = 58 х1 = 7 х2 = 3. Итак, слагаемые, о которых идет речь в задаче Ал-Хорезми, равны 7 и 3.
12. Задача Ефима Войтяховского. На вопрос: который час? – ответствовано: 2/5 прошедших часов от полуночи до сего времени равны 2/3 остальных до полудни. Спрашивается число часов того времени.
Решение: пусть сейчас x часов. Тогда до полудни осталось 12 – x часов. Имеем уравнение:2/5x = 2/3 (12 – x),
2/5x = 8- 2/3 x, 2/5x + 2/3 x =8, 16/15x =8,
x = 8*15/16 , x = 15/2 ,
x = 7,5 (часа). Ответ: сейчас 7 часов 30 минут.
13. Задача Ефима Войтяховского.
Нововыезжей в Россию французской мадаме
Вздумалось ценить своё богатство в чемодане:
Новой выдумки нарядное фуро (платье)
И праздничный чепец а ла фигаро.
Оценщик был русак, сказал мадаме так:
Богатства твоего первая вещь фуро
Вполчетверта (3,5 раза) дороже чепца фигаро;
Вообщем стоят не с половиною четыре алтына,
Но настоящая им цена только сего половина.
Спрашивается каждой вещи цена,
С чем француженка к россам привезена.
Решение: пусть чепец стоит x копеек (алтын – 3 копейки), тогда фуро y = 3,5 x копейки. Четыре с половиною алтына – это 13,5 копеек. Тогда составляем уравнение: X + y =13,5:2;
x + 3,5x = 6,75;
4,5 x = 6,75;
x = 6,75:4,5; x = 1,5. Чепец стоит 1,5 копеейки, фуро 5,25 копеек.
14. Задача Магницкого.
Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придёт ещё учеников столько же, сколько имею, и
полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько было у учителя учеников?
Решение: Предположим, что учеников было 24. Тогда по смыслу задачи: 24 + 24 +12 + 6 +1 = 67. 100 – 67 = на 33 меньше, чем по условию задачи (33 – первое отклонение). Делаем второе предположение, что учеников было 32. Тогда 32 + 32 + 16 + 8 +1 = 89. 100 – 89 = на 11 меньше, чем по условию задачи (11 – второе отклонение).
/(33-11)=36 . Ответ: учеников было 36.
15. Старинная задача XVII века. Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три – лев, волк и пёс - овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми?
Решение: за 12 часов лев съест 12 овец, волк – 6, пёс – 4. Всего за 12 часов они съедят 22 овцы. В час они съедят 22/12=11/6 овцы. Одну же овцу все вместе – за 6/11 часа.
16. Задача Ахмеса. В доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый колос даёт 7 растений. На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?
Решение: имеем геометрическую прогрессию a1 = 7, q = 7. Найдём сумму пяти первых членов прогрессии S5 = (a1*(qn-1)) / (q-1 ) = ( 7*(75-1)) / (7-1) = 19607 предметов.
--Участник:Шоу "модель" ID_27812:07, 24 октября 2008 (SAMST)
Великолепная восьмерка ID-300
Из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона
1 задача
Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе?(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)
Решение
Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)
Hабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)
Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч)
За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы.
Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч)
Ответ: за 64 часа
2 задача
Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?
Решение
Лев за час съест1/2 часть овцы,
Волк за час съест 1/3 часть овцы,
Собака за час съест 1/6 часть овцы.
вместе за час они съедят: 1/2+1/3+1/6=1(овцу)
Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.
3 задача
Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог дать каждому по 3, но он раздает лишь по два и у него остается 3. Сколько было бедных?
Решение
Пусть бедных - x, тогда
3х-8=2х+3
х=11
Ответ: было 11 бедных.
Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого (1703 г.)
1 задача
Некто согласился работать с условием получать в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?
Решение
7(х+10)/12=х+2
7х+70=12х+24
5х=46
х=9,2
Ответ: одежда стоит 9,2 флорина
2 задача
Случися некоему человеку к стене лесницу приставить, стены же той высота 117 стоп. Имелась лестница длиною 125 стоп. На сколько стоп нижний конец сией лестницы от стены отставить?
Решение
При решении задачи используем теорему Пифагора.
Длина лестницы - гипотенуза, высота стены известный катет, отступ нижнего конца лестницы от стены - неизвестный катет.
1252-1172=1936=442
Ответ: длина отступа равна 44 стопы.
3 задача
Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.
Решение
а14=а1+13d, a1=59-13*4=7
S14=(7+59)/2*14=462
Ответ: все чарки весят 462 лата
4 задача
Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
Решение
1 гривна=10 копеек, 1 алтын-3 копейки.
Пусть бочка стоит х руб.
8х+0,6=9х-1,6
х=2,2 руб.
до покупки у него было 2,2*8+0,6=18,2 руб
Ответ: у человека было 18 рублей и 2 гривны
5 задача
Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую своих денег, за другую три седьмых остатка от первой игрушки, за третью заплатил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом нашел остальные - 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?
Решение
1-15=4/5 - остаток
4/5*3/7=12/35(денег) - за первую игрушку
4/5-12/35=16/35 - остаток от второй игрушки
16/35*3/5=48/175(денег) - стоит вторая игрушка
16/35-48/175=32/175 (денег) - осталось в кошельке
1,92:32/175=10,5(руб) - было в кошельке.
10,5*1/5=2,1(руб) - стоила 1 игрушка
(10,5-2,1)*3/7=3,6(руб) - стоила 2 игрушка
(8,4-3,6)*3/5=2,88(руб) - стоила 3 игрушка
6 задача
Говорит дед внукам: "Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза".Как же разделить орехи?
Решение
Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях.
Значит большая часть должна содержать в 3*4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей, поэтому меньшая должна содержать 130/13=10 орехов, а большая 130-10=120 орехов.
Ответ: 10 и 120 орехов.
Индусские задачи из Бхасхары
1 задача
Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда на 4 фута, под напором ветра он скрылся под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?
Решение
Пусть х м - глубина пруда.
2 задача
На две партии разбившись
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась,
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще?
Решение
Пусть было х обезьян.
(х/8)2+12=х
х2=768=64х
х2-64х+768=0
D=(-64)2 -4*1*768=4096-3072=1024
х<su>1</sub>=(64+32)/2=48
х2=64-32/2=16
Ответ было либо 48, либо 16 обезьян.
Задача из "Азбуки" Л.Н.Толстого (1828-1910 гг.)
Задача
Пятеро братьев разделили между собой наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех пяти братьев стало поровну. Много ли стоили дома?
Решение
800*3=2400(руб.) - заплатили двум меньшим;
2400:2=1200(руб.) - получил каждый в наследство;
1200*5:3=2000 - стоил дом.
Ответ: дом стоил 2000 рублей.
Из рассказа А.П.Чехова "Репетитор"
Задача
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное - 3 рубля.
Решение
Пусть синего сукна было х аршин, тогда черного (138-х) аршин.
5х+3(138-х)=540
5х+414-3х=540
2х=126
х=63(аршина) - синего
138-63=75(аршин) черного.
Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин. </font>
Старинные задачи
1 задача
Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее даже самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.
Решение
Разделить 9 монет на 3 группы по 3 монеты. Кладем по 3 монеты. Кладем по три монеты на чашки весов. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда берем две из трех монет и кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета третья, если нет, то одна чашка поднимется - там фалтшивая.
2 задача
У одного старика спросили сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?
Решение
Он родился в високосный год 29 февраля.
3 задача
Летела стая гусей, навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?
Решение
Пусть было х гусей. Составим уравнение:
х+х+0,5х+0,25х+1=100
2,75х=99
х=36
Ответ: в стае 36 гусей.
4 задача
Роскошнолипа расцветала
Под ней червяк завелся малый.
Да вверх пополз во всю он мочь -
Четыре локтя делал в ночь.
Но днем со слепу поз обратно
Он на два локтя аккуратно
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
- Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты?
Решение
(4-2)8+4=20
Ответ: высота липы 20 локтей
5 задача
Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать каждый день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему делать в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?
Решение
Так как первый вышел на день раньше и прошел 40 верст, то второму надо нагнать эти 40 верст.
40:(45-40)=8 дней
Ответ: за 8 дней второй человек догонит первого.
6 задача
идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет из другого города ему на встречу и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?
Решение
За один день путники сближаются на 30+40=70 верст.
700:70=10 дней
Ответ: через 10 дней путники встретятся.
7 задача. (задача Бируни)
Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца
Решение
10 дирхемов - 2,5 дирхема за 1 месяц
8 дирхемов - х дирхемов за 1 месяц
10/8=2,5/x
x=8*2,5/10
x=2
2*3=6
Ответ: 8 дирхемов принесут доход 6 дирхемов за 3 месяца
7 задача (Китай II век)
Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?
Решение
1/7+1/9=16/63
1:16/63=63/16=3,9375
Ответ: через 3,9375 дня они встретятся.
8 задача
- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу и слушает твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме того, есть еще три женщины.
Решение
Пусть школу посещают х учеников,
1/2x+1/4x+1/7x+3=x
x=28
Ответ: 28 учеников посещают школу Пифагора.
Задачи из "Курса чистой математики" Войтяховского
1 задача
Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?
Решение
Пусть пробка стоит х копеек, тогда бутылка стоит (х+10) копеек.
х+(х+10)=12
2х=2
х=1(коп) - стоит пробка.
1+10=11 (коп) - Стоит бутылка
Ответ: пробка стоит 1 копейка, бутылка - 10 копеек.
2 задача
Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и еще пол-апельсина, второму пкупателю - половину оставшихся апельсинов и еще пол-апельсина. Таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям. Когда же подошел седьмой покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый покупатель?
Решение
1)Сколько всего было апельсинов?
(((((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=63 (а)
2)Сколько взял первый покупатель?
63:2+0,5=32 (а)
3)Сколько взял второй покупатель?
(63-32):2+0,5=16 (а)
4)Сколько взял третий покупатель?
(63-32-16):2+0,5=8 (а)
5)Сколько взял червертый покупатель?
(63-32-16-8):2+0,5=4 (а)
6)Сколько взял пятый покупатель?
(63-32-16-8-4):2+0,5=2 (а)
7)Сколько взял шестой покупатель?
(63-32-16-8-4-2):2+0,5=1 (а)
3 задача
Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей. Спрашивается в какое время собака догонит зайца?
Решение
500:2=250 (саженей/мин) - скорость зайца
1300:5=260 (саженей/мин) - скорость собаки
150:(260-250)=15 (Мин)
Ответ: через 15 минут собака догонит зайца.
--Участник:Великолепая восьмёрка ID-300 11:05, 24 октября 2008 (SAMST)
Смешарики ID 245
Задачи древнего востока: Задачи из папируса Ринда (1700 г. До н.э.)
Задача №1
Некий математик насчитал на выгоне 70 коров. «Какую долю от всего стада составляют эти коровы?» - спросил математик пастуха. «Я выгнал пастись две трети от трети всего стада», - отвечал пастух. Сколько голов скота насчитывается во всем стаде?
Решение: Пусть х – число голов скота во всем стаде. Тогда: (2/3)*(1/3)х=70 (2/9)х=70 х = 315 Ответ: во всем стаде 315 голов скота.
Великолепные задачи мы находим в собранных много веков назад арабских сказках « 1001 ночь»
Задача № 2
Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну.» Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?
Решение: Пусть х – число голубей, севших на дерево, а у – число голубей, расположившихся под деревом. Тогда: У – 1 = (x+y)/3 И, кроме того, Х – 1 = у + 1, т.е. х = у + 2 Подставляя значение х в первое уравнение, получаем: ( у – 1 )* 3 = ( у + 2 ) + у 3у – 3 = 2у + 2 У = 5, х = 5 + 2 = 7 Ответ: 7 голубей село на дерево, а 5 голубей расположилось под деревом.
В старинной персидской легенде « История Морадбальса», так же вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной деве следующую задачу.
Задача № 3.
Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Что бы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину из собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Также она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок собрала женщина в саду? Решение: Если х – число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий – х/8 яблок и четвертый – х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160. Ответ: Женщина собрала в саду 160 яблок.
Задача № 4.
Араб, чувствуя близкую кончину, призвал трех своих сыновей и сказал им: « Когда я умру, разделите между собой мое стадо верблюдов. Пусть старший из вас возьмет 1/2 всего стада , средний – 1/4, а младший – 1/5» Когда араб умер, сыновья хотели разделить стадо, как завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в отцовском стаде оказалось 19 верблюдов. На их счастье мимо проходил мулла, слывший за умного человека. Узнав в чем дело, он предложил сыновьям занять у соседа одного верблюда. Когда этот верблюд был приведен, его присоединили к отцовскому стаду. Затем мулла приказал старшему взять половину стада, т.е. 10 верблюдов, среднему – 1/4 часть, т.е. 5 верблюдов, а младшему – 1/5 часть, т.е. 4 верблюда. « Сколько верблюдов вы разобрали?» – спросил мулла. Братья сосчитали и ответили: «19». « Ну а оставшегося верблюда верните соседу», - сказал мулла. Все ли участники дележа рассуждали правильно, и не заблуждался ли кто–нибудь из них?
Решение: Заблуждался сам завещатель: отказывая в своем завещании сыновьям ½, ¼, и 1/5 всего стада, он упустил из виду, что эти доли всего стада не составляют в сумме единицу, т.е. всего стада:
½+1/4+1/5=10/20+5/20+4/20=19/20
Не хватает 1/20. Это и понял мулла и приказал добавить к стаду одного верблюда, т.е. недостающую часть стада.
Задача № 5.
Из четырех посетителей храма второй дал в 2 раза больше монет, чем первый, третий – в 3 раза больше монет, чем второй, а четвертый – в 4 раза больше монет, чем третий. Всего было дано 132 монеты. Сколько монет дал первый?
Решение: Пусть х – число монет, которые дал первый посетитель храма. По условию задачи составим уравнение и решим его: Х + 2х + 6х + 24х = 132 3х = 132 Х = 4 Ответ: 4 монеты.
Задача № 6.
Древнеиндийская задача:
Есть кадамба цветок. На один лепесток Пчелок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла вся в цвету сименгда, И на ней третья часть поместилась. Разность их ты найди, трижды их ты сложи, На кутай этих пчел посади. Лишь одна не нашла себе места нигде, Все летала то взад, то вперед И везде ароматом цветов наслаждалась. Назови теперь мне, подсчитавши в уме, Сколько пчелок всего здесь собралось?
Решение: Алгебраический способ. Пусть всего было х пчел. Тогда получим уравнение: x/5+x/3+3(x/3-x/5)+1=x x = 15
Способ подбора. НОК (3;5) = 15. Проверим число 15. 15/5+15/3+3(5-3)+1=15 Ответ: было 15 пчел.
Задача № 7
Пифагор Самосский( около 580 -501 гг. до н.э.)
Поликрат ( известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. « Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины.» Сколько учеников было у Пифагора?
Решение: Пусть х – число учеников Пифагора. По условию задачи составим уравнение:
1*x/2+1*x/4+1*x/7+3=x Х = 28 Ответ: 28 учеников.
Задача № 8.
Герон Александрийский ( 1в. До н.э.)
Из – под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй – за 2 дня, третий – за 3 дня и четвертый – за 4 дня. За сколько времени наполняют бассейн четыре источника вместе?
Решение: Примем объем бассейна за 1. Пусть х – число дней, за которые источники вместе заполнят бассейн. x/1+1*x/2+1*x/3+1*x/4=1 12х + 6х + 4х + 3 = 12 25х = 12 Х = 12/25 Следовательно, чтобы заполнить бассейн из четырех источников, требуется 12/25 дня, т.е. чуть меньше половины дня.
Задача № 9.
Евклид (3 в. До н.э.)
Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен.
Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью:
«Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка?
Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру,
Если ж ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись». Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.
Решение: Если х – груз мула, то ( х – 1) – груз осла, увеличенный на единицу, а , следовательно, первоначальный груз осла был ( х – 2). С другой стороны, (х + 1) в 2 раза больше, чем груз осла, уменьшенный на 1, т.е. (х – 3). Таким образом, Х + 1 = 2(х – 3) Х = 7 Груз мула равен 7, груз осла равен Х – 2 = 5 Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5.
Задача №10
Древнеримская задача(II век)
Некто, умирая, завещал: “Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене – остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3”. Родилась двойня – сын и дочь. Как же разделить мнение?
Решение:
Римский юрист Сильвий так решил эту задачу: наследственно необходимо разделить на 7 частей; 4/7 получит сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь. При таком дележе будет соблюдена воля отца, чтобы сын получил долю вдвое больше, чем мать, а дочь вдвое меньше, чем мать.
Пусть х – доля матери. Составим уравнение:
х + 2х + х/2 = 1
х=2/7
Ответ: 4/7 наследства получил сын, 2/7 – жена и 1/7 дочь.
Задача №11
Суд Париса
Богини Гера, Афродита и Афина пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказывали следующие утверждения:
Афродита. Я самая прекрасная. (1)
Афина. Афродита не самая прекрасная. (2)
Гера. Я самая прекрасная. (3)
Афродита. Гера не самая прекрасная. (4)
Афина. Я самая прекрасная. (5)
Парис, прилегший отдохнуть на обочине дороги, не счел нужным даже снять платок, которым прикрывал глаза от яркого солнца. Но богини были настойчивы, и ему нужно было решить, утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух остальных богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?
Ответ: Афродита – прекраснейшая из богинь, по “суду Париса”,так как истинными могут быть утверждения 1 и 4, ложными 2, 3, 5.
Задача 12
Летела стая гусей, а на встречу им летит один гусь и говорит: “Здравствуйте, сто гусей!” “Нас не сто гусей,- отвечает ему вожак стада,- если бы нас не было столько, да полстолька, да четверть столька, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей”. Сколько было в стае гусей?
x + x + x/2 + x/4 + 1 = 100 2x + 0,5x + 0,15x = 99 2,75x = 99 X = 36
Задача 13
Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил: “Аще придается к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 3/4, и 2/3, и убавится из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег”.
Пусть x рублей было у человека; x + x + x/2 + ¾*x + 2/3*x – 50 = 100 Умножим обе части уравнения на 12 24x + 6x + 9x + 8x – 600 = 1200 47x + 1800 x = 38*14/47
Задача 14
У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил: “Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24к.”. Три раза проходил лодырь мост, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько же денег было у лодыря?
Пусть x коп. было у лодыря, тогда после:
1) раза --> 2X – 24 2) раза --> 2(2x - 24) – 24 4x - 48 – 24 4x – 72 3) раза --> 2(4x - 72) – 24 8x -144 – 24 = 0 8x = 168 x = 21 Ответ: У него была 21 коп.
Задача 15
Жизнь Диофанта
Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей – И камень мудрым искусством его скажет успокоившего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец. Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил, Отнят он был у отца ранней могилою своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Сколько лет прожил Диофант?
Решение: Алгебраический способ Пусть Диофант прожил х лет. Тогда получим уравнение:
х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4=х х=84 Способ подбора Число лет Диофанта делится на 6,12,7, и 2. НОК (6,12,7,2) = НОК (12,7) = 84
Ответ: Диофант прожил 84 года.
Задача 16
Древнегреческая задача о статуе Минервы
Я изваяние из злата. Поэты то злато в дар принесли. Хоризий принес половину всей жертвы, Фестия часть восьмую дала, десятую – Солон. Часть двадцатая – жертва певца Фемисона. А девять – все завершивших талантов – Обет, Аристоником данный. Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?
Решение: Алгебраичеический способ Пусть поэтами в дар принесены х талантов. Уравнение выглядит так: х/2 + х/8 + х/10 + х/20 + 9=х х=40 Ответ: 40 талантов золота.
Задача 17
Задача о Музах
Видя, что плачет Эрот (бог любви), Киприда его вопрощает: “Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!” “Яблок я нес с Геликона немало”,- Эрот отвечает,- Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу. Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа, а Клио Пятую часть взяла, Талия – долю восьмую С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора. С частью седьмою Эрато от меня убежала, Тридцать плодов утащила Полигимния. Сотня и двадцать взяты Уратией, Триста плодов унесла Каллиопа. Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками. Только полсотни плодов мне оставили Музы на долю. Сколько яблок нес Эрот до встречи с Музами? Решение: Пусть х яблок нес Эрот до встречи с Музами. Составим уравнение: х/12 + х/5 + х/8 + х/20 + х/4 + х/7 + 120 + 300 + 50 + 30=х х=3360 Ответ: 3360 яблок нес Эрот до встречи с музами.
P.S. ВСЕ ЗАДАЧИ БЫЛИ В ТОЧЬ В ТОЧЬ КОПИРОВЫНЫ ИЗ ИСТОЧНИКОВ(в нашем случае это книги)
-- Смешарики ID 245 11:07, 24 октября 2008 (SAMST)
Bookworm ID 213
Задача № 1. Задача Льва Толстого: Продавец продаёт шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдаёт 10+10+5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 руб. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. Вопрос: на сколько обманули продавца? Решение: Была шапка и некоторое количество денег. Ему дали 25 рублей и забрали шапку со сдачей в 15 рублей. В результате получилось, что он отдал шапку и получил 10 рублей. Затем он отдал 25 рублей соседке и из +10 рублей получились –15 рублей. Вывод: его обманули на шапку и 15 рублей.
Задача № 2. Головоломка из «Книги абака» Леонардо Фибоначчи 1202 год: В январе тебе подарили новорождённых кроликов. Через два месяца они рождают новую пару кроликов. Каждая новая пара кроликов через два месяца после рождения рождает новую пару. Вопрос: Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре? Решение: Решая эту задачу можно увидеть, что количество кроликов, рождаемых каждый последующий месяц – это числа Фибоначчи. В январе 1 пара, в феврале 1 пара, в марте 2 пары, в апреле 3 пары, в мае 5 пар, в июне 8 пар, в июле 13 пар, в августе 21 пара, в сентябре 34 пары, в октябре 55 пар, в ноябре 89 пар, в декабре 144 пар. Ответ: 144 пары.
Задача № 3. Задача Эйлера: Крестьянка принесла на рынок некоторое количество яиц. Одному покупателю она продала половину того, что имела, и ещё пол яйца, второму половину того, что осталось и ещё пол яйца, третьему половину нового остатка и ещё пол яйца, наконец, четвертому половину того, что осталось после торговли, и ещё пол яйца. После этого у неё ничего не осталось. Вопрос: Сколько было яиц? Решение: Чтобы решить эту задачу составим уравнение, где х – число яиц в начале торга: (((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=х Получаем, что: 15=х Ответ: 15 яиц
Задача № 4. Задача Исаака Ньютона: Два почтальона А и В, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу. А проезжает за 2 часа 7 миль, а В – за 3 часа 8 миль, при этом В отправляется в путь часом позже А. Найти, сколько миль проедет В до встречи с А? Решение: Для начала узнаем, скорости обоих почтальонов: Скорость А=3,5 м/ч. Скорость В=8/3 м/ч. Если известно, что А проехал на час больше, вычитаем это расстояние из всего: 59-3,5=55,5 Затем делим полученную разность на скорость сближения: 55,5:37/6=9ч Скорость В умножить на время: 9*8/3=24м Ответ: 24 мили
Задача № 5. Из рассказа А.П.Чехова «Репетитор» Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540р. Сколько купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 р. За аршин, а черное – 3р.? Решение: Черное сукно – х аршин Синее сукно – y аршин Получаем систему уравнений: х+у=138 и 3х+5у=540. Решая систему получаем: х= 75, y= 63. Ответ: 75 аршин черного сукна и 63 аршина синего сукна.
Задача № 6. Старинная задача (Китай) В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов? Решение: Кролики – х Фазаны – y Получаем систему уравнений: х+у=35 и 4х+2у=94. Решая систему получаем: х= 12, y= 23. Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.
Задача № 7. Задача из «Счетной мудрости» (XVII век) Идет корабль по морю, на нем мужска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужска полу было и женска порознь? (1 гривна=10 копеек, 1 алтын=3 копейки) Решение: 120 гривен = 1200 копеек = 400 алтын Мужчины – х Женщины – y Получаем систему уравнений: х+у=120 и 4х+3у=400. Решая систему получаем: х= 40, y= 80. Ответ: мужска полу было 40, женска – 80.
Задача № 8. Задача, которую в юности решил Пуассон (1781–1840гг.). Эта задача определила жизненный путь Пуассона – математике он посвятил всю свою жизнь. Некто имеет 12 пинт меда и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 пинт. У него 2 сосуда: один вместимостью 8 пинт, а другой – в 5 пинт. Каким образом налить 6 пинт в сосуд на 8 пинт? Решение: Основные ходы на переливание по 2 сосудам представлены в следующей таблице. 8-пинтовый сосуд 8 3 3 0 8 6 6 5-пинтовый сосуд 0 5 0 3 3 5 0
Задача № 9. Из Древнего Вавилона (около 2 тыс. до н.э.) Длина и четверть ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе – 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности? Решение: Длина – а ладоней Ширина – b ладоней Тогда a+b=10 и а + 1/4 * b=7. Вычтем почленно из первого уравнения второе и получим: 3/4 * b=3. Решая данное уравнение, получаем b=4. Значит, ширина 4 ладони, тогда длина 10 – 4=6 ладоней.
Задача № 10. Из арифметики Магницкого (1703 г.) Спросил некто у учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придет еще столько учеников, сколько имею, и полстолька и четвертая часть и твой сын, тогда у меня будет 100 учеников. Спрашивается: сколько было учеников у учителя? Решение: Пусть в классе х учеников, тогда по условию задачи получаем уравнение: х+х+0,5х+0,25х+1=100 2,75х=99 х=36 Значит, в классе 36 учеников. Ответ: 36 учеников.
Задача № 11. Адам Рис (1492–1559 гг.) Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внес на покупку дома каждый из подмастерьев? Решение: Всего – 204 гульдена Первый – х гульдена Второй – 4х гульдена Третий – 12х гульдена Составим и решим уравнение: х+4х+12х=204 17х=204 х=12 Значит, 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий. Ответ: 12 гульденов внес первый, 4*12=48 гульденов – второй, 12*12=144 гульдена внес третий.
Задача № 12. Бхаскара I I (1114–1185гг.) Одна треть, одна пятая и одна шестая цветков лотоса в венке посвящена богам Шиве, Вишну, Сурье, одна четвертая –Бхавани. Остальные 6 цветков предназначены почитаемому праведнику. Сколько цветков лотоса сплетено в венок? Решение: В венке – х цветков Посвящены Шиве – 1/3х цветков Посвящены Вишну – 1/5х цветков Посвящены Сурье – 1/6х цветков Посвящены Бхавани – 1/4х цветков Почитаемому праведнику – 6 цветков Составим и решим уравнение: х – 1/3х –1/5х – 1/6х – 1/4х = 6 Решая уравнение, получаем х = 120 Значит, 120 цветков лотоса сплетено в венок. Ответ: 120 цветков Задача № 13. Жизнь Диофанта История сохранила мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи. Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, Сколь долог был век его жизни. Часть шестую его представляло прекрасное детство. Двенадцатая часть протекла еще жизни – Покрылся пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем Прекрасного первенца сына, коему рок Половину лишь жизни прекрасной и светлой Дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?
Решение: Возраст Диофанта – х Прекрасное детство – х/6 Покрылся пухом тогда подбородок – х/12 Бездетный брак – х/7 Осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына – 5 Прожил сын – х/2 По условию составим и решим уравнение: х=х/6+х/12+х/7+5+х/2+4 Решая уравнение, получаем х=84 Ответ: 84 года.
Задача № 14. Задача Брахмагупта Индия, около 600 года. Если число дней уменьшить на один затем разделить на 6 и прибавить 3, то получится одна пятая первоначального числа дней. Сколь велико число дней? Решение: х – число дней. Составим уравнение: (х-1)/6+3=х/5 Решив уравнение, получим, что х=85. Ответ: 85 дней. --Bookworm ID 213 12:23, 24 октября 2008 (SAMST)
ID 214 Великие математики
ЗАДАЧА №1.
Рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую два зерна, на третью -4 зерна и продолжать так удваивать число зерен на каждой следующей клетке.
РЕШЕНИЕ: 1+2+22+23+…+263=264-1=18446744073709551615
ОТВЕТ: 18446744073709551615 зерен.
ЗАДАЧА №2.
Некий человек продаёт коня за 156 рублей, раскаялся же, купец начал отдавать продавцу, глаголя: яко есть мне лепо взятии ситцевого коня. Недостойного такия высокия цены; продавец же предложил ему иную куплю, глаголя: аще ти мнится велика цена сему коню бытии, убо купи токмо гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвоздей во всякой подкове по шести: и за един гвоздь даждь ми едину полушку (1/4 коп.) за другу- две полушки, а за третий копейку. Итако все гвозди купи. Купец же видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взятии. Обещался тако цену ему плати, чая не больше 10 рублей за гвоздие дати.
РЕШЕНИЕ: ¼ +2/4+1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+2097152=4178703 ¾ (КОП.)
ОТВЕТ: 4178703 ¾ копейки.
ЗАДАЧА №3.
По сообщению «Газеты чиновника» от 14 июня 1914 г. У мирового судьи г. Новочеркасска разбиралось дело о продаже стада 20 овец по условию-уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую 2 копейки, за третью 4 копейки и т. д..
РЕШЕНИЕ: 2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+524288= 1050574
ОТВЕТ: 1050574 копеек.
ЗАДАЧА №4.
Два человека купили на 100 сальдо свиней и платили за каждые пять штук по два сальдо. Свиней они разделили, продали опять каждые пять штук по 2 сальдо и при этом получили прибыль. Как это могло случиться?
РЕШЕНИЕ:1)100/2*5=250 (св.)-купили;
2)250/2=125 (св.)-в каждом стаде;
3)125/2=60 (с.)-заработали в первом стаде и осталось 5 свиней;
4)125/3=40 (с.)-заработали во втором стаде и осталось 5 свиней;
5)60+40=100 (с.)-заработали.
ОТВЕТ: 100 сальдо они отработали и ещё заработали 10 свиней.
Я. И. Перельман.
Занимательная алгебра.
Номер автомашины.
Задача 5.
Пргуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математики, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифру одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?
Решение.
Обозначим первую (и вторую) цифру искомого числа через а, а третью (и четвертую) – через b. Тогда все число будет равно: 1000а + 100а + 10b + b = 1100а + 11b = 11(100а + b). Число делится на 11, а потому (будучи точным квадратом) оно делится и на 11*11. Иначе говоря, число 100а + b делится на 11. Применяя любой из двух вышеприведенных признаков делимости на 11, найдем, что на 11 делится число а + b. Но это значит, что а + b = 11, так как каждая из цифр а, b меньше десяти. Последняя цифра b числа, являющегося точным квадратом, может принимать только следующие значения: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Поэтому для цифры а, которая равна 11 – b, находим такие возможные значения: 11, 10, 7, 6, 5, 2.
Первые два значения непригодны, и остаются следующие возможности:
b = 4, а = 7,
b = 5, а = 6,
b = 6, а = 5,
b = 9 , а = 2.
Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырёх чисел: 7744, 6655, 5566, 2299.
Но последние три из этих чисел не являются точными квадратами: число 6655 делится на 5, но не делится на 25; число 2299 = 121*19 также не является квадратом. Остается только одно число 7744 = 88*88; оно и даёт решение задачи.
Замок с секретом. (6)
В одном советском учереждении обнаружен был несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться , нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определенное слово.
Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробывать все комбинации букв в кружкох. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени. Можно ли надеяться, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней?
Решение.
Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробывать.
Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно 36*36 .
К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую из 36 букв третьего кружка. Поэтому трехбуквенных комбинаций возможно 36*36*36.
Таким же образом определяем, что четырехбуквенных комбинаций может быть 36*36*36*36, а пятибуквенных 36*36*36*36*36 или 60466176. Чтобы составить эти 60
с лишним миллионов комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую, 3*60466176 = 181398528 секунд. Это составляет более 50000 часов, или почти 6300 восьмичасовых рабочих дней – более 20 лет.
Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течении ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6300, или 1 из 630. Это очень малая вероятность.
Яблоки.(7)
Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и т.д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?
Решение.
Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил (0,5x+0,5)
Второй 0,5(x-(0,5x+0,5))+0,5= 0,25х+0,25 и т.д.
Имеем уравнение (0,5x+0,5) +(0,25х+0,25)+…+0,57х+0,57=х
Всех яблок было 127.
На велодроме.(8)
По круговой дорожке велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположном направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дорожки 170 м?
Решение.
Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он поезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему на встречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т.е. 170-10х метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак, 170 – 0х = 170.
Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170х метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т.е. 170х – 170у = 170. После упрощения этих уравнений получаем: х + у = 17, х – у = 1, откуда х = 9, у = 8 (метров в секунду).
Юридический вопрос.(9)
Древние римляне ничего, или почти ничего, не сделали для развития математических наук. Они известны более в области законодательства. Дошедшие до нас римские математические сочинения носят преимущественно практический, утилитарный характер. Так, например, повод к составлению арифметических задач давали римские законы о наследстве. Вот одна из таких дошедших до нас задач.
Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 2/3 оставленного имущества, а 1/3 матери. В случае же рождения дочери - она должна получить 1/3, а мать 2/3 имущества. Вдова завещателя родила близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания? Решение.
Задачу эту, представляющую так называемый « юридический казус », решил, между прочим, знаменитый римский юрист Сальвиан Юлиан. Решение его состоит в том, что имущество должно быть разделено на семь равных частей. Четыре из этих частей должны перейти к сыну, две – к жене и одна к дочери. Предлагаем читателю решить эту задачу на основании не юридических, а математических соображений.
Задача 10-я
Прекрасная дева с блестящими очами, ты, которая знаешь, как правильно применять метод инверсии, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на ¾ этого произведения, разделено на 7, уменьшено на 1/3 частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня , прибавления 8 и деления на 10 дает число 2.
Решение.
Указание на способ решения заключается в самом условии задачи. Предполагается, что девушка умеет « правильно применять метод инверсии». Инверсией называется такой способ решения задачи, при котором начинают с последнего числа задачи, так сказать, « с конца», и идут в обратном порядке, производя действия также обратные названным в задаче.
Так, например, в данной задаче отправляемся от числа 2 и идем к искомому числу следующим путем:
2 * 10 = 20; 20 – 8 =12; 12 * 12=144; 144 + 52 =196;
Из 196 извлекаем квадратный корень = 14;
От 14 берем 3/2 = 21; 21 * 7 = 147; От 147 берем 4/7 = 84; 84:3=28. 28 и есть искомое число. То же решение при системе наших обозначений можно написать в одной строке:
(2*10-8)2 + 52=196; корень 196=14; 14* 3/2*7*4/7:3=28.
Древнейший из известных нам индусских математиков (5 век по Р.Х.) Арьябхатта объясняет способ инверсии с такой характерной краткостью:
« Умножение становится делением, деление становится умножением. Прибыль обращается в убыток, убыток в прибыль; инверсия».
Тот же Арьябхатта предлагает в ряду прочих и нижеследующую «практическую» для индусов задачу:
Задача 11-я
Цена рабыни.
Шестнадцатилетняя девушка-рабыня стоит 32 никша (индусская монета). Что стоит рабыня 20 лет?
Решение.
Решение этой любопытной для нас по условию задачи не отличается само по себе ничем особенным. Но исторически оно доказывает, что индусы уже не позже 5 века были хорошо знакомы с так называемыми у нас « тройным правилом », равно как , кстати сказать, были знакомы и со многими другими «правилами» решений задач, до сих пор еще часто без нужды обременяющими наши учебные курсы.
В частности, при решении задачи о цене рабыни Арьябхатта руководствуется началом « обратной пропорции», потому что, говорит он, « стоимость живых существ (рабов и скота) устанавливается сообразно их возрасту» - чем старше, тем дешевле.
На таком основании выходит, что если шестнадцатилетняя рабыня стоит 32 никша (индусская монета), то однолетняя будет стоить в 16 раз больше, т. е. 32*16 никша, а двадцатилетняя в 20 раз меньше последней суммы, т. е. 32*16:20=25 3/5 никша.
Приведем еще одну индусскую задачу, в которых говорится о более веселых и безобидных вещах , чем о продаже человека человеком. Задача взята из сочинений уже упомянутого Бгаскары. Решение уравнения, особенно для лиц, знакомых с квадратными уравнениями, не представит ни малейшего затруднения.
Задача 12-я
Пчелы.
Пчелы в числе, равном корню квадратному из половины роя, слетели на куст жасмина. 8/9 всего роя осталось дома. Одна пчела-самка летает вокруг цветка лотоса. Там жужжит неосторожный самец, привлеченный сладким запахом цветка и теперь заключенный внутри его. Скажи мне число пчел.
Решение. Пусть пчел в рое Х2, тогда уравнение Х2=Х+8/9Х2+2
Ответ:72.
--Великие математики ID 214 14:00, 24 октября 2008 (SAMST)
ID 215 МОЗГИ
МОЗГИ
Задачи из книги ГЕНРИ Э.ДЬЮДЕНИ
КЕНТЕРБЕРИЙСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Загадка брата-келаря
Аббат Дэвид обвел присутствующих суровым взглядом и заявил, что случай с бокалом вина напомнил ему о прискорбном факте: не далее как поутру Джона-келаря застали на месте преступления — он тайком наливал из бочонка вино, которое приберегалось для особых оказий. Аббат приказал привести вора.
— Ну, негодяй, — сказал он, когда краснорожий келарь предстал перед братией, — ты воровал лучшее наше вино, прикасаться к которому тебе было запрещено. Что можешь сказать в свое оправдание?
— Молю, отец мой, простить меня! — кинулся келарь на колени. — Истинно говорю, нечистый попутал, а бочонок был под рукой, вино-то такое славное, вот я и приложился вроде бы в беспамятстве, и...
— Нечестивец! Сие усугубляет твое прегрешение! Сколько ты выпил вина?
— Самую малость! В бочонке было сто пинт, я нали¬вал себе в этом месяце (был июнь) каждый день по пинте, сегодня тридцатое и значит... Если отец мой сумеет мне в точности сказать, сколько я всего выпил этого великолепного вина, то я готов вынести любую епитимью, какую ему угодно будет на меня наложить.
— Ну ясно, прохвост, ты выпил тридцать пинт.
— Нет-нет, ибо каждый раз, как я выпивал пинту из бочонка, я доливал туда пинту воды!
Удивительно, что это единственная загадка в старых записях, которая не снабжена решением. Быть может, она оказалась для монахов слишком крепким орешком? Сохранилась лишь пометка: «Джон-келарь не понес наказанья за свое прискорбное прегрешение».
В бочонке было 100 пинт вина, и Джон-келарь 30 раз отливал оттуда по пинте, наливая взамен пинту воды. После первого раза в бочонке оставалось 99 пинт вина; после второго раза его оставалось 9801/100 (квадрат 99, делённый на100); после третьего раза в бочонке оставалось 970299/10000 (куб 99, деленный на квадрат 100); после четвертого раза там оставалась четвертая степень 99, деленная на куб 100, а после тридцатого раза в бочонке оставалась тридцатая степень 99, деленная на двадцать девятую степень 100. Это при обычном методе вычисления приведет к делению 59-значного числа на 58-значное! Однако с помощью логарифмов удается быстро установить, что в бочонке осталось количество вина, очень близкое к 73,97 пинты. Следовательно, украденное количество приближается к 26,03 пинты. Монахам, конечно, не удалось получить ответ, поскольку у них не было таблиц логарифмов и они не собирались проводить долгие и утомительные выкладки, дабы «в точности» определить искомую величину, что оговорил в условии хитрый келарь. С помощью упрощенного метода вычислений я удостоверился, что точное количество украденного вина составило 26,0299626611719577269984907683285057747323737647323555652999 пинты. Человек, который вовлек монастырь в вычисление 58-значной дроби, заслуживал сурового наказания
Загадка крестоносцев.
Однажды в гостях у монахов аббатства Ридлуэл оказался некий рыцарь по имени Ральф де Боун. Когда обильная трапеза подходила к концу, он обратился к аббату со следующими словами:
— Господин аббат, хорошо зная твою любовь к за¬гадкам, я хочу, с общего позволенья, рассказать одну из них, которую я узнал в дальних странах. Отряд кресто¬носцев выступил, чтобы сыскать себе славу на поле бра¬ни, число ратников было таково, что они могли образо¬вать квадрат. Но по дороге к воинам присоединился еще один рыцарь, так что теперь они могли образовать три¬надцать меньших квадратов. Прошу вас, любезные мо¬нахи, скажите, сколько крестоносцев отправилось на поле брани?
Аббат отложил в сторону большой кусок пирога и быстро проделал какие-то вычисления.
— Сэр рыцарь, — сказал он через некоторое время,— эту загадку легко разгадать. Сначала было 324 человека, которые могли образовать квадрат 18 X 18, а затем их стало 325, и они могли образовать 13 квадратов по 25 человек в каждом. Но кто из вас скажет мне, сколько понадобится крестоносцев, чтобы • образовать не 13, а 113 квадратов при тех же условиях?
Монахи разошлись в молчании, на следующее утро аббату пришлось сообщить им ответ.
Правильным ответом будет 602 176. Такое число крестоносцев могло образовать квадрат . После того как к отряду присоединился еще один рыцарь, можно было образовать 113 квадратов по 5329 (73 X 73) человек в каждом. Другими словами, 113*(73)2—1=(776)2. Это частный случай так называемого уравнения Пелля.
Кошки монастыря святого Эдмондсбери.
— О монастыре святого Эдмондсбери, — начал од¬нажды отец Питер, — рассказывают, что как-то в давние времена его одолели мыши. Дабы искоренить это зло, доброму тамошнему аббату пришлось распорядиться, чтобы в святую обитель доставили кошек со всей округи. Записи свидетельствуют, что к концу года каждая кош¬ка уничтожила одинаковое число мышей и что всего их было уничтожено ровно 1 111 111 штук. Как вы думаете, сколько кошек собрали в монастыре?
— Мне думается, что всех мышей съела одна кош¬ка, — сказал брат Бенджамин.
— Брат мой! Я же сказал «сколько кошек».
— Хорошо, — настаивал Бенджамин, — тогда, навер¬ное, 1 111 111 кошек съело по одной мыши.
— Нет, — возразил отец Питер после того, как мона¬хи вволю насмеялись, — я сказал «мышей»; я хочу лишь добавить, что каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек. Мне сказали, что здесь все осно¬вано просто на делении чисел, но я не знаю ответа на эту загадку.
Правильный ответ сохранился в летописи монастыря, но там не сказано, как его получили.
Решение: . Читатель знает, что целые числа бывают простыми и составными. Далее, 1111111 не может быть простым числом, ибо если бы оно было таковым, то единственными возможными ответами оказались бы те, что предложил брат Бенджамин и отверг брат Питер. Точно так же оно не может разлагаться в произведение более двух простых сомножителей, ибо тогда решение оказалось бы не единственным. И действительно, 1 111 111 = 239 X 4649 (оба сомножителя простые); поскольку каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек, то кошек было 239.
В общем случае данная задача состоит в нахождении делителей (если они имеются) чисел вида (10n-1)/9.
Математические задачи из книги:
«Полный курс чистой математики, сочиненный артиллерии штык-юнкером и математики партикулярным учителем Ефимом Вохтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в математике». 4 тома, изд. 1820 г.
Задачи курса Вохтяховского более переработаны и приспособлены к русскому кругозору, а некоторые из них положительно остроумны, иногда, впрочем, до игривости, сбивающейся на «раешник». Не обходится в иных из них и без сатиры, предметом которой обыкновенно избираются в силу условий времени французы. Вот несколько задач из курса Вохтяховского. Решения их незамысловаты, так что даем только ответы.
Богатство Мадамы
Нововыезжей в Россию Французской Мадаме вздумалось ценить свое богатство в чемодане: новой выдумки нарядное фуро и праздничный чепец а ла фигаро; оценщик был Русак, сказал Мадаме так: богатства твоего первая вещь фуро вполчетверта дороже чепца фигаро; вообщеж стоют не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина; спрашивается какой вещи цена, с чем Француженка к Россам привезена.
Решение:
Четвертак=25коп Х-чепец; 12,5Х-фуро Х+12,5Х=30
Ответ. Чапец «а ла фигаро» стоит 11/2 коп., а нарядное фуро 51/4 коп.
Богатство гасконца
У приезжего гасконца оценили богатство: модной жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета; спрашивается каждой вещи цена.
Решение: Х-жилет 1/6Х-фрак; 1алтын=15коп; 1полутня=1/4 коп Х+1/6Х=443/4
Ответ. Цена фрака 61/4 коп., жилета 21/2 коп.
Веселый француз
Веселый француз пришел в трактир с неизвестною суммою своего богатства, знал у содержателя столько денег, сколько у себя имел; из сей суммы издержал 1 рубль. С остатком пришел в другой трактир, где опять занявши столько, сколько имел, издержал в оном также 1 рубль; потом пришед в третий и четвертый трактир учинил то же, наконец по выходе из четвертого трактира не имел ничего; спрашивается количество его денег.
Решение: Аршин=71.12см; Рубль=100коп; Х=кол-во денег за полсемажды полдевята аршина 1.5*1/6*71,12=11/4 1/14*1/1871,12=Х
Ответ. 933/4 коп.
З а д а ч а
Куплено сукна полторажды полтретья аршина, заплачено полчетвертажды полпята рубли; спрашивается, сколько должно заплатить за полсемажды полдевята аршина того же сукна?
Решение: Аршин=71.12см; Рубль=100коп; Х=кол-во денег за полсемажды полдевята аршина 1.5*1/6*71,12=11/4 1/14*1/1871,12=Х
Ответ. 232 руб. 5 коп.
Дележ
4 путешественника: купец с дочерью, да крестьянин с женою нашли без полушки 9 алтын да лапти, из коих крестьянке дали грош без полушки да лапти, а остальные деньги разделили между собой так: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купец вполтретья больше крестьянина; спрашивается, сколько которому досталось?
Решение: Алтын=15коп; Полушка=1/4коп; Грош=1/2коп; крестьянин-Х 1,5Х+Х+1/6Х=135-1/4
Ответ. Крестьянин получил 5 коп., дочь купца 71/2 коп., купец 121/2 коп.
Мена
Крестьянин менял зайцев на домашних куриц, брал за всяких двух зайцов по три курицы; каждая курица снесла яиц третью часть против числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйцы, брал за каждые девять яиц по стольку копеек, сколько каждая курица яиц снесла, за которые выручил он 24 алтына; спрашивается число кур и зайцов.
Решение: 2заяц=3курицы, пусть было Х кур; 1/3Х яиц снесла каждая курица; 9=1/3Х коп; 24коп за все яйца
Ответ. 12 зайцев и 18 кур.
__________________________________
Следующие составители наших арифметических учебников и задачников не развивали идеи Войтяховского - предлагать задачи и примеры в легкой, доступной и даже забавной форме. Об это надо пожалеть.
--МОЗГИ ID 215 14:16, 24 октября 2008 (SAMST)
.Задача из старинного русского учебника математики, носящего пространственное название "Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу употребление юношества и упражняющихся в Математике" (1795), заимствую следующую задачу:
--Пифагор ID 220 14:55, 24 октября 2008 (SAMST)
"Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб, 35 коп. Спрашивается число ран"
РЕШЕНИЕ: Составляем уравнение 
откуда имеем х=16
-результат, который легко находим путем испытаний. При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.
Уважаемые участники! Страница заполнена, продолжение на странице Копилка знаменитых задач продолжение.
