Семинар ДООМ: Урок-лекция "Гармонические четверки точек. Их свойства"

Автор: Шувалова Ю.Г.

Тема урока: Гармонические четверки точек. Их свойства.

Класс: 8-9 (углубленное изучение)

Тип урока: урок-лекция изучения нового материала.

МАТЕРИАЛ К УРОКУ

Введем обозначения: AB, CD (со стрелкой) – ненулевые коллинеарные векторы; AB, CD (с чертой)– их длины, взятые с одинаковыми знаками, если векторы сонаправлены, и с разными знаками, если они противоположно направлены. Тогда, в частности, выражения и будут представлять отношение и произведение, взятые со знаком «+», если векторы сонаправлены, и со знаком «–»,они противоположно направлены.

Воспользуемся принятыми обозначениями для определения гармонических четверок точек. Рассмотрим четыре точки А, В, С, D, лежащие на одной прямой. Будем говорить, что точки А, В, С, D (взятые в том же порядке, как указано) образуют гармоническую четверку, если

(*)

Из равенства следует, что среди данных векторов три вектора сонаправлены, а четвертый вектор направлен противоположно по отношению к ним.

Отметим, что данное равенство равносильно каждому из следующих равенств:

Можно написать еще несколько равенств, равносильных (*).

Задача: К двум окружностям разных радиусов, расположенным вне друг друга, проведены две внешние и две внутренние общие касательные. Внешние касательные пересекаются в точке А, внутренние – в точке В, точки С и D – центры окружностей. Доказать, что точки А, В, С, D образуют гармоническую четверку.

Решение: Точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Радиусы окружностей обозначим r, R. Тогда, используя подобие прямоугольных треугольников, получаем длины векторов АС:АD=r:R и длины векторов DВ:СВ=-r:R. Отсюда следует, что . Это равенство равносильно равенству (*), а это означает, что точки А, В, С, D образуют гармоническую четверку.

Замечание: Гармонические четверки обладают определенной симметрией: если А, В, С, D – гармоническая четверка, то C, D, A, B также гармоническая четверка. Это следует из того, что равенство равносильно равенству . При этом говорят, что точки А и В гармонически разделяют точки С и D, а точки С и D гармонически разделяют точки А и В.

Свойства гармонических четверок:

1. Через точки А, В, С, D, лежащие на одной прямой, проведем 4 параллельные прямые. Пусть А1, В1, С1, D1 – точки пересечения этих прямых с какой-нибудь другой прямой. Тогда, если А, В, С, D – гармоническая четверка, то А1, В1, С1, D1 также гармоническая четверка.

2. Аналогичным свойством обладают точки А1, В1, С1, D1 пересечения прямых МА, МВ, МС, MD с какой-нибудь прямой, параллельной прямой АD.

Рассмотрим задачу, связанную с гармоническими четверками.

Задача: Из данной точки А проведены к данной окружности с центром О касательные АК1, АК2 и секущая, пересекающая окружность в точках С и D, а отрезок К1К2 в точке В. доказать, что точки А, В, С, D образуют гармоническую четверку.

Решение: Введем систему координат с началом в точке А (как показано на рисунке) Пусть точки В1, С1, D1 проекции точек В, С, D на ось абсцисс. Докажем, что точки А, В1, С1, D1 образуют гармоническую четверку. Отсюда сразу же последует, что точки А, В, С, D образуют гармоническую четверку.

Уравнение окружности имеет вид: , где а=АО, R – радиус окружности. Уравнение секущей АD: y=kx, где k – некоторое число. Координаты точек С, D удовлетворяют данным уравнениям.

Если подставить y=kx в у равнение окружности, то получим квадратное уравнение , корни которого х1 и х2 равны абсциссам точек С, D, т.е. АС1=х1, AD1=х2. По теореме Виета:

Домашнее задание:

1. Напишите равенства, равносильные равенству .

2. Докажите свойства гармонических четверок.

3. Задача: В треугольнике АВС отрезок АА1 – высота, отрезок АА2 – биссектриса, А1 не совпадает с А2, точки К1 и К2 – точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной ВС. Доказать, что точки А1, А2, К1 и К2 образуют гармоническую четверку.