Семинар ДООМ Задачи на составление систем с числом уравнений больше двух
Цепенкова Ирина Павловна. ЗВЕЗДА ID 248
Здравствуйте, уважаемые участники методического семинара.
Всем известно, что учебник математики, даже самый замечательный, не может охватить огромное разнообразие текстовых задач. А так хочется разнообразить уроки нестандартными задачками. На уроках математики и в качестве дополнительных домашних задач я предлагаю ребятам задачи на составление систем с числом уравнений больше двух. Знакомить ребят с этими задачами необходимо, они предлагаются учащимся на олимпиадах. Сюжет задачи позволяет привлечь учащихся к анализу условия, составлению системы уравнений и поиску решения этой системы.
Задача 1
Таня купила в магазине шариковую ручку, карандаш, тетрадь и альбом для рисования. Ручка, карандаш и тетрадь вместе стоят 50 коп. Ручка, карандаш и альбом стоят вместе 78 коп, а карандаш, тетрадь и альбом – 55 коп. Сколько стоит каждый предмет в отдельности?
Решение:
Пусть ручка стоит х коп., карандаш – у коп., тетрадь – z коп., альбом – v коп. Составим и решим систему уравнений.
Сложив, уравнения, получим 3x + 3y + 3z + 3v =270.
Откуда x + y + z + v = 90.
От полученного уравнения отнимем последовательно каждое уравнение системы. Получим:
(x + y + z + v) – (x + y + z) = 90 – 50; v = 40;
(x + y + z + v) – (x + y + v) = 90 – 78; z = 12;
(x + y + z + v) – (x + z + v) = 90 – 87; y =3;
(x + y + z + v) – (y + z + v) = 90 - 55; x =35.
Ответ: ручка стоит 35 коп., карандаш – 3 коп., тетрадь – 12 коп., альбом – 40 коп.
Задача 2
От города А до города В по прямой дороге 35 км, На пути расположены 4 автобусных остановки. Зная, что расстояние от города А до второй остановки 12 км, от первой остановки до третьей – 11 км, от второй остановки до четвёртой – 12 км, от третьей остановки до города В – 16 км. Найдите расстояние от города А до первой остановки, от первой остановки до второй, от второй до третьей, от третьей до четвёртой и от четвёртой до города В.
Решение:
Сделаем чертёж и введём обозначение неизвестных.
Пусть АС – x км, СD – y км, DE – z км, EF – v км, FB – t км. По условию задачи составим систему уравнений.
Сложим уравнения (1) и (4): x + y + v + t = 28.
Сравним с уравнением (5):
28 + z = 35;
z =7.
Тогда из (2) получим y + 7 =11; y = 4.
Из (1) следует x + 4 =12; x = 8;
Из (3) получим 7 +v = 12; v = 5;
Из (4) получим 5 + t = 16; t =11.
Ответ: расстояние от города А до первой остановки 8 км, от первой остановки до второй – 4 км, от второй до третьей – 7 км, от третьей до четвёртой – 5 км, от четвёртой до города В – 11 км.
Задача 3
Катя и Маша вместе весят 40 кг, Катя и Света – 50 кг, Даша и Галя – 80 кг. Сколько весит каждая девочка?
Решение
Пусть Катя весит х кг, Маша – y кг, Света – z кг, Даша – u кг, Галя – t кг. Составим и решим систему уравнений.
Каждая буква в системе повторяется два раза. Сложим все уравнения, получим:
2(x + y + z + u + t) = 300;
x + y + z + u + t = 150. (6)
Обозначим это уравнение (6). В него вошли все пять неизвестных. Теперь будем складывать уравнения так, чтобы в сумму вошли 4 неизвестных по одному. И из уравнении (6) будем вычитать уравнения, полученные от сложения по два. Сложим (1) и (3), получим x + y + z + u =100. Из (6) вычтем полученное равенство
(x + y + z + u + t) - (x + y + z + u) = 150 - 100; t = 50.
Подставим t = 50 в (5): y +50 =80; y = 30;
в (1): x + 30 = 40; x = 10;
в (2): 10 + z = 50; z = 40;
в (3): 40 + u = 60; u = 20.
Ответ: Катя = 10 кг, Маша – 30 кг, Света – 40 кг, Даша – 20 кг, Галя – 50 кг.
Задача 4
Две пачки печенья, пачка сахара, банка варенья имеют массу 1 кг 900 г. Масса одной пачки печенья, двух пачек сахара и банки варенья 2 кг 200 г, а одной пачки печенья, пачки сахара и двух банок варенья 2 кг 700 г. Определите общую массу трёх банок варенья, четырёх пачек печенья и трёх пачек сахара.
Решение:
Пусть масса 1 пачки печенья – а г, 1 пачки сахара – b г, 1 банки варенья – г. Составим и решим систему уравнений.
После сложения уравнений получим: т. е. . Далее находим: а = 200; b = 500; c = 1000. Тогда масса трёх банок варенья, трёх пачек сахара и четырёх пачек печенья вместе 5 кг 300 г.
Несколько задач без решения, но с ответами:
Задача 6
В двух комнатах было 76 человек. Когда из одной комнаты вышли 30, а из второй 40, то людей в комнатах осталось поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?
(Ответ: 33, 43 человека).
Задача 7
На трёх полках 30 книг. На первой и второй 14 книг, на второй и третьей – 15. Сколько книг на каждой полке?
(Ответ: 15, 7, 8).
Задача 8
Пять учеников купили 100 тетрадей. Катя и Вася – 52 тетради, Вася и Юра – 43, Юра и Саша – 34, Саша и Серёжа – 30. Сколько тетрадей купил каждый из них?
(Ответ: Юра – 18, Вася – 25, Коля – 27, Саша – 16, Серёжа - 14).
Задача 9
На лугу паслись 90 телят и гусей. Всего у них было 256 ног. Сколько было телят и сколько гусей?
(Ответ: 38 телят, 52 гуся).
Желаю Всем удачи!.