Семинар ДООМ Кружок 5-8, Четность
Семинар ДООМ Кружок 5-8, Четность
Коннова Елена
Руководитель команд ДООМ 2008 МОЗГИ ID 215 и Великие математики ID_214
Предлагаю ряд статей, обьединенных в цикл "олимпиадные задачи. Кружок 5-8." Все они вошли в состав сборников, один из которых вышел издательстве Легион (Е.Г. Коннова. Математика. Серия «Готовимся к олимпиаде». Ростов н/Д: Легион, 2008.), а второй готовится к печати.
Четность
Занятие 1. Четные и нечетные числа. Признак делимости на два. Свойства четности.
Известно, что числа бывают четные и нечетные.
Четные числа можно записать в виде 2k, где k - целое число, а нечетные - в виде 2k+1.
Легко доказать (показать на примерах) такие свойства четности для целых чисел.
1. Сумма четных чисел четна.
2. Сумма 2 нечетных чисел четна.
3. Сумма четного и нечетного чисел нечетна.
4. Произведение любого числа на четное - четно.
5. Если произведение нечетно, то все сомножители нечетны.
6. Сумма четного количества нечетных чисел четна.
7. Сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна.
8. Разность и сумма двух данных чисел – числа одной четности.
9. Если объекты можно разбить на пары, то их количество четно.
Рекомендуется одно из этих свойств доказать учителю, одно всем вместе на доске и одно - самостоятельно.
Задача 1.
В магазин "Все для малышей" привезли новые игрушки. Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля?
Решение задачи №1.
Сумма четного количества нечетных чисел четна. У нас есть 10 чисел (цена одной игрушки), все они нечетные, значит их сумма должна быть четна. Но 53 - число нечетное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечетных чисел нельзя.
Задача 2.
Спонсор решил устроить телефонизацию деревни Курочкино. Он хочет 7 имеющихся телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими. Можно ли это сделать?
Решение задачи №2.
При решении этой задачи используется такое соображение - если мы рассматриваем объекты типа веревки - провода, дороги, рукопожатия, знакомства и т. д. - то при любом количестве объектов число концов должно быть четным.
Предположим, что мы соединили 7 телефонов между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими. Посчитаем количество концов проводов, соединяющих эти телефоны. Понятно, что их число должно быть четным. От каждого из 7 телефонов отходит 3 конца, всего 7•3 = 21 конец, число нечетное, значит нельзя 7 телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими.
Задача 3.
13 команд играют однокруговой турнир на первенство района. Докажите, что в любой момент есть команда, сыгравшая четное число матчей. (Однокруговой турнир – когда каждая команда играет с каждой ровно один раз.)
Указание: в общей сумме всех игр каждая игра учитывается два раза, если же подсчитать сумму игр 13 команд, сыгравших по нечетному числу матчей, результат будет нечетный. Чтобы общая сумма игр получилась четной, хотя бы одна команда должна сыграть четное число матчей.
Задача 4.
У Маши было 5 плиток шоколада фабрики "Красный октябрь". Может ли Маша, поделив каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?
Ответ. Нет, т.к. если сложить 5 нечетных чисел, получим нечетный результат. А 100 четно.
Задача 5.
Пять девятиногов с планеты Шуруру решили устроить турнир по армреслингу. Смогут ли он одновременно провести поединки для всех своих ног, чтобы все ноги принимали участие и в каждом поединке встречалось ровно две ноги?
Ответ. Девятиноги не смогут провести поединки для всех ног одновременно, так как в каждом принимает участие 2 ноги, а всего ног 5*9 = 45.
Практическое задание.
Вырезать 4 длинных ленты бумаги и склеить их концы. У первого кольца просто соединить концы без перекручивания. У второго и третьего (их называют листами Мёбиуса) концы ленты перекрутить один раз на 1800. У четвертого концы ленты перед склейкой перекрутить на 3600. После высыхания клея на первой, второй и четвертой ленте провести линию вдоль ленты посередине, не отрывая ручки от поверхности, пока не вернется в исходную точку. Посмотреть, что получилось. Лист Мёбиуса – односторонняя поверхность. А четвертое кольцо сколько поверхностей имеет?
После этого можно разрезать эти кольца по линии и посмотреть, что получится. (два отдельных кольца, одно вдвое длиннее, два кольца, сцепленные друг с другом.)
Попробуйте разрезать лист Мёбиуса на расстоянии в одну треть от края. Что при этом получится? (Одно большое кольцо и сцепленное с ним маленькое)
Другие работы:
Семинар ДООМ 2008 "Формула текста"
Семинар ДООМ Кружок 5-8, Четность
Семинар ДООМ Кружок 5-8, Задачи на проценты
Семинар ДООМ Кружок 5-8, Игры (задачи на стратегию)
Семинар ДООМ Кружок 5-8, Принцип Дирихле
Семинар ДООМ Кружок 5-8, Текстовые задачи, решаемые с помощью теории графов
Семинар ДООМ 2007 "Графы"
Семинар ДООМ Задачи, решаемые с помощью деревьев
Элективный курс Графы 6-8 класс Программа курса 18 часов
Материалы для курса Графы - Материалы для оценивания усвоения содержания Элективного курса
